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圆锥曲线定点定值 技巧方法

时间:2013-02-26


高考圆锥曲线定点定值技巧
一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法 1. “特殊”探求 例 1 . 已 知 直 线 过 点 M (m, m ? 0) 且 与 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交 于 0)(

A( x1,y1 ) 、 B( x2,y 2 ) 两点,求证: x1 · x2 , y1 · y 2 均为定值,并求这个定值.

0)( 解:①特殊位置的探讨:如图 1,当过点 M (m, m ? 0) 的直线与 x 垂直时,

x1 · x2 = m 2 , y1 · y 2 = ? 2 pm ;
0)( ②一般性的证明:如图 2,当过点 M (m, m ? 0) 的直线与 x 垂直时,设过点 M (m, m ? 0) 的直线方程为: x ? ty ? m 【 0)( “基本特征式”的运算】 .
由?

? x ? ty ? m ? y ? 2 px
2

? y 2 ? 2 pty ? 2 pm ? 0 ? y1 · y 2 = ? 2 pm ? x1 · x2 = m 2 .

小结:①定点、定值、定形问题的求解,先“特殊”探求,再证明一般的情况; ②“特殊”是指:特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨 迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如:三棱锥→正四面体)、初始值(如数列问题, 首先用 a1 、 a2 、 a3 求出满足条件的参数,再证明一般的情况); ③华罗庚教授反复强调: “退,退,退到原始状态,退到最简单的位置” ,即“特 殊”探路; ④直线与 x 轴垂直,是很“容易遗忘”的失分参数.有了“特殊”探路的解题意 识,相反能提高警惕,提高得分能力;

p2 2 ⑤相关结论:当直线过焦点时, x1 · x2 = , y1 · y 2 = ? p ;当直线过点 4

p p2 (? ,) 时, x1 · x2 = 0 , y1 · y 2 = p 2 ; 2 4
例 2. (09、辽宁)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 . E、F 是椭圆 C 上的两个动点, 4 3

点 A(1, ) 是椭圆上的一个定点.如果直线 AE、AF 的斜率互为相反数,证明直线

3 2

EF 的斜率为定值,并求出这个定值.

0) 解:①“特殊”探讨:取点 F (2, (即右顶点) ? k AF ? ?

3 3 ? k AE ? ? 直线 2 2

3 ? 3 ?y ? x AE 的方程: y ? x .由 ? ? 2 2 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?
x ? ?1 ? y ? ? 3 ? 2

k EF

3 0 ? (? ) y ? yE 2 ? 1. ? ? F 2 ? (?1) 2 xF ? xE
3 2

②一般性的证明:设过点 A(1, ) 的直线方程为: y ? m( x ? 1) ?

3 2

3 ? 3 ? y ? m( x ? 1) ? ( 由? 2 ? 3+4m2)x 2 +4m(3 ? 2m) x ? 4( ? m) 2 ? 12 ? 0 . 2 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

3 4( ? m)2 ? 12 设方程的两根为 x1 、 x A ,则 x1 · x A = x1 ? x1 = 2 . 3 ? 4m2
分别用“ k ” ? k ”替换“ m ” “

9 3 ? 6 k 2 ? 6k ? 4( ? k )2 ? 12 4k 2 ? 12k ? 3 3 2, = , yE ? kxE ? ? k = xE ? 2 2 2 2 4k ? 3 3 ? 4k 4k 2 ? 3 9 ? 6k 2 ? 6k ? 2 4k ? 12k ? 3 2 .所以直线 EF 的斜率 , yF = xF = 2 2 4k ? 3 4k ? 3
9 9 (?6k 2 ? 6k ? ) ? (?6k 2 ? 6k ? ) y ? yE 2 2 ? 1 .即直线 EF 的斜率 = ? F 2 2 2 (4k ? 12k ? 3) ? (4k ? 12k ? 3) xF ? xE
1 . 2

k EF

为定值,其值为

小结:①取特殊点,求出定值,后续运算仅仅是一个填空程序; ②上述解题过程,运用了“对偶运算” ,减少运算、减轻思维负担. 2. “与参数 k 无关” 例 3. 已知直线 L 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A( x1,y1 ) 、B( x2,y 2 ) 两点, 且 x1 · x2 =

p2 .求证:直线 L 经过定点,并求出这个定点的坐标. 4

0) 0) 解:①直线 L ? x 轴,设其方程为 x ? m (m ? 0) ? A(m,,B(m, ?

x1 · x2 = m 2 .又 x1 · x2 =
0 过定点 ( ,) . p 2

p p2 p2 ? m2 = ?由 m ? 0 ? m ? ? 直线 L 2 4 4

②当直线 L 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y ? kx ? m ,由 ?

? y ? kx ? m
2 ? y ? 2 px

?

m2 p2 p2 m2 = 2 k x ? (2km ? 2 p) x ? m ? 0 ? x1 x 2 ? 2 ,又 x1 · x2 = ? 4 4 k k
2 2 2

?m ?

p k 2m2 kp ?m?? ?直线 L : y ? kx ? m ? y ? k ( x ? ) . 2 4 2

当x??

p p 0 时, y ? 0 , “与参数 k 无关” ? 直线 L 过定点 ( ,) ,或定点 2 2

p (? ,) . 0 2
小结:①“与参数 k 无关” ,是初一年级关于方程“ ax ? b ”解状讨论的直接应 用: a ? b ? 0 ? x ? R ; ②“与参数 k 无关” ,体现为“零”多项式理论,或“零次”多项式理论. 例 4.例 10.(07、湖南理 21)已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 ,
2 2

F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点. 【直接法求轨迹】 ????? ???? ???? ???? (1)若动点 M 满足 F M ? F A ? F B ? FO (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨 1 1 1 1
迹方程; (2)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标; 若不存在,请说明理由. 解:(1)由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .设 M ( x,y ) . 0) 0) 第一歩: “基本特征式” :设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,直线 AB : x ? ty ? 2 .

??? ?

??? ?

?x ? y ? 2 ?t 2 ? 1 ? 0 4 ? ????(*1); ? 4t ? x1 ? x 2 ? ? 2 t ?1 ? y1 ? y 2 ? ? 2 t ?1 ? ????? ???? 第 二 歩 : 向 量 特 征 式 ” F M ? ( x ? 2,y) , F A ? ( x1 ? 2,y1 ) , “ : 1 1 ???? ???? FO ? (2, , F1B ? ( x2 ? 2,y2 ) , 由 0) 1 ????? ???? ???? ???? ? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6 F1M ? F1 A ? F1B ? FO ? ? ? 1 ? y ? y1 ? y2 ? x1 ? x 2 ? x ? 4 ??(*2) ? ? y1 ? y 2 ? y
2 2

由?

? x ? ty ? 2

? (t 2 ? 1) y 2 ? 4ty ? 2 ? 0 ?

第三歩:代入(整体):

4 ? ? x ? 4 ? ? t 2 ? 1 ? (1) ? 由(*1)与(*2) ? ? ; ? y ? ? 4t ?? (2) ? t 2 ?1 ? y 2 2 第四歩:消参: (1)÷(2) ? t ? ,代入(1) ( x ? 6) ? y ? 4 . : x?4 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . ??? ??? ? ? 【(2)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;
若不存在,请说明理由】

0) 解:假设在 x 轴上存在定点 C ( m, ,使 CA · CB 为常数. 第一歩:先特殊探讨.
当 AB 与 x 轴垂直时,点 A, B 的坐标为 (2,2) , (2, 2) ? ? ??? ??? ? ? CA · CB = (1,2 ) · (1, 2 ) =-1=常数; ? 第二歩:再解决一般情况. 【以下是基本“特征式”的运算】 当 AB 不与 x 轴垂直时. ①两设:设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) , A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . ②方程组→一元二次方程→基本“特征式”

??? ?

??? ?

? ?1 ? k 2 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 1) 4k 2 ? 2 2 2 2 由? 2 ; ? (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 2 1? k 2 ?x ? y ? 2 ? ? 4k 2 ? 2 x1 x 2 ? 2 ? k ?1 ?
③运用基本“特征式”求解问题:

??? ??? ? ? CA · CB ? (k 2 ? 1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2 ??? ??? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? ? ? 4k 2 ? m 2 CA · CB ? ? 2 2 k ?1 k ?1 2 2(1 ? 2m)k ? 2 ? ? m2 2 k ?1

4 ? 4m ? m2 2 k ?1 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 因为 CA · CB 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA · CB = -1. 【与例 1 的注⑥,用“与 k 参数无关”的方法求定值】 ??? ??? ? ? 综合:在 x 轴上存在定点 C ,使 CA · CB =-1. 小结:①定点、定值的题目中,若存在(大多数是“隐含”条件)“与 k 参数无关” 类的语句,求解方法是:第一歩,将表达式→关于“参数 k ”的多项式;第二歩, 令含“参数 k ”的项的系数为零,即得到求解结论; ? 2(1 ? 2m) ?
②其理论依据: 若关于 x 方程 ax ? b 的解为 R ? a ? b ? 0 ,即“零”多项式理论;
2 若关于 x 方程 ax ? bx ? c ? 0 的解为 R ? a ? b ? c ? 0 , “零次” 即 多项式理论;

若关于 x 的函数 f ( x) ? (2m ? 1) x 2 ? (2k ? 2) x ? 2m ? k 的值与 x 无关 ? 函数 f (x) 是常数函数 ? 所有含 x 项的系数=0,即“零次”多项式理论; ③一般地,这类题目的运算结果,总是含有两个参数: “无关参数 k ”和“待求 参数 m ” .而本题很特殊:含“无关参数 k ”是关于“参数 k ”分式,增加了问题 的难度. 例 5 . (2011 、 武 汉 市 第 二 次 质 检 、 三 中 供 题 ) 已 知 点 P( x0 , y0 ) 是 椭 圆

E:

xx x2 ? y 2 ? 1 上任意一点 x0 y0 ? 1 , 直线 l 的方程为 0 ? y0 y ? 1 . (1)判断直线 l 2 2

与椭圆 E 交点的个数;(2)直线 l0 过 P 点与直线 l 垂直,点 M(-1,0)关于直线 l0 的对称点为 N,直线 PN 恒过一定点 G,求点 G 的坐标.

? x2 2 ? ? y ?1 x 2 ? 2 y0 2 2 ?2 x ? x0 x ? 1 ? y0 2 ? 0 ? △=0 ? 直线 l 与 解: (1)由 ? ? 0 4 ? x0 x ? y y ? 1 0 ? 2 ? 椭圆 E 只有一个交点. (2)直线 l0 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ? 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 . 设 M (?1,0) 关于直线 l0 的对称点 N 的坐标为 N (m, n) ?
? 2 x 3 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x0 ? n m? 0 ? ? m ?1 ? ? 2 y x0 2 ? 4 ? ? 0 ? ? ? 4 3 2 ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 ? ? 0 2 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 ? n ? y0 x0 4 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 8 PN 的斜率 k ? ? ?直线 ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4) 直线 PN 的方程为: x 4 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 y ? y0 ? 0 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4)

2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4) y ?1 ? x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 直线 PN 恒过定点 G (1, 0) .
即x?

小结:①这道题是证明的圆锥曲线的光学性质,先猜想直线 PN 经过另一个焦点 G(1,0),然后再给予证明; ②本题虽然计算量很大,但有了猜想的导向,运算方向清晰,中间过程可以猜想 性的表述. 二、先局部,后整体,有序地运算: “由局部→整体的重组” 小学解应用题的方法“先列分歩式,再列综合式” ,是数学解题的基本要求.数 学思维的有序性体现为解题的顺序性. “先解决一个子问题,再解决一个子问 题,?.当把所有的子问题完成,一个综合性的难题得到了解决” . 数学顺序非常重要, “设问语句干扰性”的题目,曾经使我们吃亏不小.究其原 因,是选择题设条件的顺序不当造成的. “数学是模式与顺序的科学” ,在处理复杂 的问题时,更应遵守这条原则. 从功利性目标考虑,每一个子问题的解决,都是得分哇! 解析几何中的数学顺序,表现为“由局部→整体的重组”“整体消参” , .而“对 称运算”与“对偶运算”是强力支撑. 例 5.(08、武汉模拟)过双曲线 m x - y 2 = m 的右顶点 A ,作两条斜率分别 为 k 1 、 k 2 的直线 AM 、 AN ,交双曲线于 M 、 N .其中 k 1 · k 2 =- m 2 , k 1 +
2 2 2

k 2 ? 0 ,且 k 1 > k 2 ,求直线 MN 的斜率为定值,并求这个定值.
解: 【分析: 题设条件是 k 1 ·k 2 =- m , 提示了解题顺序. 先局部地分别求出 k 1 、
2

k 2 ,然后重组为 k 1 · k 2 =- m 2 .可以预定:一定能消除参数 m 2 】
设过右顶点 A (1,0)的直线方程: y ? k ( x ? 1) ,由方程组:

?m 2 x 2 ? y 2 ? m 2 ? (m2 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? (k 2 ? m2 ) ? 0 ? ? y ? k ( x ? 1) ?

x1 · x2 =-

m2 ? k 2 m2 ? k 2 .由 x1 =1(?) ? x2 =- 2 ? m2 ? k 2 m ?k2

2 m 2 ? k12 m2 ? k2 【注:用的是“对偶”运算】 . x M =- 2 ? x N =- 2 2 m ? k12 m ? k2

又 m =- k 1 · k 2 ,代入上式: x M =-

2

k ? k2 k ? k1 k12 ? k1k 2 = 1 , xN = 2 . 2 k1 ? k 2 k 2 ? k1 ? k1k 2 ? k1

所以 y M = k1 ( x M ? 1) =-

k1k 2 , 【注: 用的是 “由局部→整体的重组” 下的 “整 k1 ? k 2

体消参” 由对称性: y N =- 】

k 2 k1 ? y M = y N ? MN ∥ x 轴,得直线 MN 的 k1 ? k 2

斜率 k ? 0 . 小结:①本题是“对偶运算”的经典题目,反复“复制”运算结果,节约了大量 的时间; ②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合 成为一体; ③本题可以先取 m 2 =4, k 1 =1, k 2 =-4,求出直线 MN 的斜率 k 后,再有目 标地运算. 三、 “代点配凑、代入消参”的运算定式 “代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算. “点差法” ,本质上是这 种定式的先期运用.反之: “代点配凑、代入消参”的定式,是“点差法”运算的 深化. 同时, “代点配凑、代入消参”的运算定式,也是“先局部,后整体,有序地运 算”的深化. 复杂一点的问题,其题型特征是:①曲线上有两个动点;②于是很容易误导 “直 线与曲线相交于两点”运算模式;③一旦用上式,得到的是无效运算. 先看下面的一道“定值”形式的题,做完后再小结,期望得到解题定式.
2 2 例 6. (09、宣武)已知 P、Q 是椭圆 T : x + 2y ? 1 上两个不同的点,满足

3 | OP | 2 + | OQ | 2 = ,求证:| K OP · K OQ |是定值,并求这个定值. 2
解:设 P( x1,y1 ) 、 Q( x2,y 2 ) ? ( x1 + y1 )+( x2 + y 2 )=
2 2 2 2

3 ; 2

2 2 2 2 ①代点: x1 + 2y1 ? 1 , x2 + 2y 2 ? 1

1 2 1 2 x1 + ( x1 + 2y12 )] 2 2 1 2 1 2 3 2 +[ x2 + ( x2 + 2y 2 )]= ; 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 2 2 ( x1 + )+( x2 + )= ? x1 + x2 =1. 2 2 2 2 2
②配凑:[

1 1 2 (1 ? x12 ) ? (1 ? x 2 ) y1 y 2 2 y y 2 2 2 ③代入消参: ( K OP · K OQ ) = ( = = ) = 2 x12 x 2 x1 x2 x x
2 1 2 1 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 1 ? ( x12 ? x2 ) ? x12 x2 1 1 ? 1 ? x12 x2 = ? = ? | K OP ·K OQ | ? ? 定值. ? 2 2 2 2 4 4 4 4 x1 x2 x1 x2

小结: “代点配凑、代入消参”的解题定式: ①代点: 因为 A( x1,y1 ) 、B( x2,y 2 ) 在曲线 F ( x,y ) ? 0 上 ? F ( x1,y1 ) ? 0 ,
2 2 【 F ( x2,y2 ) ? 0 ; x12 + 2y12 ? 1 , x2 + 2y 2 ? 1 】

②配凑:按照求解目标,两式相加或相减,得到关于 x1 、 x2 、 y1 、 y 2 的整体关 系式; x1 + y1 )+( x2 + y 2 )= 【(
2 2 2 2

3 】 2

把上述关系式,整合为含有 F ( x1,y1 ) 、 F ( x2,y 2 ) 的式子,经过配凑得到一
2 个新的关系式 f ( x1,y1,x2,y 2 ) ? 0 ; x1 + x2 =1】 【 2

③代入消元:把配凑得到的结果,代入求解目标,继续运算. ( K OP · K OQ ) = 【

2

1 1 2 (1 ? x12 ) ? (1 ? x 2 ) 2 y1 y 2 2 y12 y 2 1 2 = 】(是“点差法”运算的复制) ( ) = 2 2 =2 2 2 4 x1 x 2 x1 x2 x1 x2
小结:①“代点配凑、代入消参”的解题定式,在求定点定值和轨迹方程时常常 用到. 同时还要注意:用“特殊”探求处理定点、定值、定形问题,仅仅是一种方法, 并不是所有的问题都必须采用,不要构成错误的“思维定势” ; ②“代点配凑、代入消参”的解题定式是“点差法”运算的深化,所以求解时, 可以按照“点差法”的模式, “先局部,后整体,有序地运算” ; ③“代点配凑、代入消参”的解题定式,仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消 参”环节,从而得到常数; 【注:还有另外一种形式上的“代点配凑、代入消参” 】 例 7.(09、全国 1)过定点 P(m,n) 作直线 L 与椭圆 C :

x2 y2 + 2 =1 相交于 a2 b

| QB | PB 不同的两点 A、B ,点 Q 在线段 AB 上,且 | AP |· |?| AQ |· | .求证:点 Q
总在定直线

mx ny =1 上. ? a2 b2

证明:记λ =

| AP | | AQ | = ,则λ >0,且λ ≠1. | PB | | QB |

由 P、A、Q、B 四点共线 ? AP =-λ PB , AQ =λ QB . 设点 Q( x,y ) , A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) ?
2 2 x12 y12 x2 y2 ①代点: 2 + 2 ? 1 , 2 + 2 ; a a b b

②配凑: AP =-λ PB , AQ =λ QB

? m=

x1 ? ?x 2 y ? ?y 2 ,n= 1 , 1? ? 1? ?

2 2 x1 ? ?x 2 y1 ? ? y 2 x12 ? ?2 x 2 y12 ? ?2 y 2 mx ny ,y= , = 2 ; x= ? 2 = 2 1? ? 1? ? a b (1 ? ?2 ) a (1 ? ?2 ) b 2 2 2 y 2 ? ?2 y 2 mx ny x12 ? ?2 x 2 ? 2= 2 + 1 a2 b a (1 ? ?2 ) b 2 (1 ? ?2 )

③代入消参:



x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 ·[( 12 + 1 )- ? ( 2 + 2 )]= · (1- ? )=1, 2 2 2 2 2 1? ? 1? ? a a b b
mx ny ? =1. a2 b2

所以:点 Q 的轨迹方程为:

小结:①把线段的比,转化为向量关系.然后直接采用“定式”运算.这里没有使 用“基本特征式”参与运算; ②根据求解目标: “

mx ny ? ” 代入、配凑、消元,一气呵成. , a2 b2

四、 “代点配凑、代入消参”与求轨迹方程 高考试卷中的解析几何题,是干扰学生得高分的“瓶颈” .两种情况: ①无法取得适当的运算途径,往往是只做第一问,得到 4~5 分,心 安理得; ②期望突破第二问,但运算途径不合理,越算越复杂,耽误时间,耗 时耗精力.运气好,得到 2~3 分. 1. “代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元” 例 8. (09、 江西) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y2 ? 2 ? 1 上任一点, 8b 2 b

F2 为双曲线的右焦点.过 P 作右准线的垂线,垂足为 A .连接 F2 A 并延长交 y 轴 1 于 P2 .

(1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹的方程; 1 (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q( x1,y1 ) ,直 线 QB 、 QD 分别交 y 轴于 M、N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点. 解:(1)【分析:点 P 的运动,是因为已知曲线上的已知运点 P 生成的,标准的 1 “相关点法”求轨迹问题】

0) 由已知得 F2 (3b, ,A(

3y 8b ,y 0 ) .则直线 F2 A 的方程为: y ? ? 0 ( x ? 3b) , b 3

令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P (0,9 y0 ) . 2

x0 ? ? x? 2 ? 由 P( x,y ) 是 P P2 的中点 ? ? 1 ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y 0 ? ? 2

? x0 ? 2 x x2 y2 x2 y2 ? ? 1 为轨迹 E 的方程. 代入 0 2 ? 02 ? 1 ? 2 ? ?? y 8b b 2b 25b2 y0 ? ? 5 ?
(2) 【设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q( x1,y1 ) ,直 线 QB 、 QD 分别交 y 轴于 M、N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点】

解: 在

x2 y2 ? ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 . B(? 2b, ,D( 2b, ? 直 设 0) 0) 2b2 25b2

线 QB 的方程为: y ?

y1 x1 ? 2b

( x ? 2b) , 直线 QD 的方程为:

y?

2by1 ? 2by1 ) ),N(0, ) ( x ? 2b) . ? M (0, x1 ? 2b x1 ? 2b x1 ? 2b

y1

?以 MN 为直径的圆的方程为:
x2 ? ( y -
2by1 x1 ? 2b
)( y +

2by1 x1 ? 2b

) ? 0. 【注:圆的直径式】

2 令y?0?x ?

2b2 y12 . 【注:为什么想到 y ? 0 ?】 x12 ? 2b2

而 Q( x1,y1 ) 在

2 2 x2 y2 y1 ? x ? ?5b ? ? ? 1 上 ? x12 ? 2b 2 ? 2 2 25 2b 25b

MN 为直径的圆过两定点(-5b,0)、(5b,0). 【注: “代入消参” 】
小结:(1)“相关点法”(也叫“代入法”)求轨迹(注:求轨迹方程与求轨迹的关联 与递进关系)的条件特征: ①两个已知:已知的动点 P( x0,y0 ) 在已知的曲线 F ( x,y ) ? 0 上运动; ②“真动点” P( x,y ) 在已知的动点 P( x0,y0 ) 的“带动”“帮助”下运动. 、 (2)“相关点法”求轨迹的始终如一地“围绕求出 ?

? x 0 ? f ( x,y ) ” ,然后整体代 ? y 0 ? g ( x,y )

入消除参数; (3)第二问“求证: MN 为直径的圆过定点”的难点: ① “以 MN 为直径的圆的方程: 2 ? ( y - x

2by1 x1 ? 2b

)( y +

2by1 x1 ? 2b

) ? 0 ”求

出后,为什么“令 y ? 0 ”?【 “整体代入消元”的思维定式】 ; ②在得到“以 MN 为直径的圆”与 x 的交点的横坐标“ x 2 ?

2b2 y12 ”后,为 x12 ? 2b2

什么会想到“而 Q( x1,y1 ) 在

2 2 x2 y2 y1 ”的运算歩 ? ? 1 上 ? x12 ? 2b 2 ? 2 2 25 2b 25b

骤?【 “整体代入消元”的思维定式】 . 2. “参数法”求轨迹方程中的“整体消元” 例 9.(08、山东文 22)已知曲线 C1 :

|x| | y| ? ? 1(a ? b ? 0) 所 a b

围成的封闭图形的面积为 4 5 , 曲线 C1 的内切圆半径为

2 5 , 记 3

C 2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.(1)求椭圆 C 2 的标
准方程【几何量】 ; (2)设 AB 是过椭圆 C 2 中心的任意弦,L 是线段 AB 的 垂直平分线,M 是 L 上异于椭圆中心的点. ①若|MO|=λ |OA|(O 为坐标原点),当点 A 在椭圆 C 2 上运动时,求点 M 的轨迹 方程; 【代点法、k 参数】 ②若 M 是 L 与椭圆 C 2 的交点,求△AMB 的面积的最小值.

? 2ab ? 4 5 ? 2 2 解:(1)由题意得 ? ab 2 5 ? a ? 5,b ? 4 ? ? 2 2 3 ? a ?b

?椭圆方程:

x2 y2 ? =1. 5 4

(2)若 AB 所在的斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y=kx(k≠0),A( x A,y A ).

? x2 y2 20 20k 2 ?1 ? ? 2 2 ,y A ? ①由 ? 5 ? xA ? 4 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? y ? kx, ?
2 2 ? | OA |2 ? xA ? y A ?

20(1 ? k 2 ) . 4 ? 5k 2

设 M(x,y),由|MO|=λ |OA|(λ ≠0) ?
2 2 2 20(1 ? k ) |MO| =λ |OA| ? x ? y ? ? . 4 ? 5k 2 2

2

2

2

由 L 是 AB 的垂直平分线,所以直线 L 的方程为 y= ?

1 x x ? k= ? ,代入上式: k y

x2 20(1 ? 2 ) 2 2 y 2 2 2 2 20( x ? y ) ,由 x 2 ? y 2 ? 0 ? x ?y ?? ?? 2 2 2 x 4 y ? 5x 4 ? 5? 2 y

5x2 ? 4 y 2 ? 20? 2 .当 k=0 或不存时,上式仍然成立..
综上所述,M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? ? 2 , ? 0) (λ . 4 5

②当 k 存在且 k ? 0 时, xA ?
2

20 20k 2 2 ,y A ? ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

? x2 y2 ? 5 ? 4 ?1 20(1 ? k 2 ) ? 2 2 |OA|2= x A ? y A ? .由 ? ? 2 4 ? 5k 1 ?y ? ? x ? k ?
2 xM ?

20k 2 20 20(1 ? k 2 ) 2 ,yM ? . ? | OM |2 ? 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2

?

1 OA
2

?

1 OM
2

?

1 1 9 ? = . 2 2 20(1 ? k ) 20(1 ? k ) 20 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2

40 2 1 1 9 ? ? ? ? | OA | ? | OB | ≥ . 2 2 9 | OA | ? | OB | OA 20 OM 1 40 ? 2? | OA | ? | OB | = | OA | ? | OB | ≥ , 2 9 当且仅当 4+5k2=5+4k2 时,即 k= ? 1 时等号成立. 1 40 当 k ? 0,S ?AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? ; 2 9 1 40 当 k 不存在时, S ?AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 40 综上所述, ?AMB 的面积的最小值为 . 9 S ?AMB ?
小结:①椭圆的一个性质、极角、椭圆的参数方程的说明;

? x2 y 2 20 20k 2 20(1 ? k 2 ) ?1 ? ? 2 2 2 2 2 ,y A ? | ② ?5 “ , OA | ? x A ? y A ? ” ? xA ? 4 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? y ? kx ?
是由局部→整体,为实施“整体消参”作准备; ③不要忘记斜率为零和不存在的特殊情况. 本节内容小结:这节内容的难度较高,有题型、有方法、有运算定式.归纳起来: 1. “曲线过定点”“定点、定值”问题,两种常用方法:①先用特殊点、特殊位 、 置、特殊直线、极端位置、极限位置、特殊值、特殊图形,求出定点、定值.然后 有目标地运算;②“与 k 参数无关”问题的求解方法; 2.先局部,后整体,有序地运算: “由局部→整体的重组” ,是解题方法.熟练 地运用,功能很大; 3. “先局部,后整体,有序地运算,由局部→整体的重组”是“先列分歩式, 再列综合式”的高级形式; 4.由“点差法”“局部→整体的重组”的解题思想,生成了“代点配凑、代入 、 消参”的解题定式.运算过程比“点差法”多了“消参” .模式化为: ①代点: 因为 A( x1,y1 ) 、B( x2,y 2 ) 在曲线 F ( x,y ) ? 0 上 ? F ( x1,y1 ) ? 0 ,

F ( x2,y2 ) ? 0 ;
②配凑:按照求解目标,两式相加或相减,得到关于 x1 、 x2 、 y1 、 y 2 的整体关 系式; 把上述关系式,配凑为含有 F ( x1,y1 ) 、 F ( x2,y 2 ) 的式子,从而整体消除部 分表达式,得到一个新的关系式 f ( x1,y1,x2,y 2 ) ? 0 ;

③代入消参; 6. “代点配凑、代入消参”的方法,主要运用于“定点、定值” 、求轨迹方程两 个方面,增加了“对称、对偶运算” “代点配凑、代入消参”的方法; 、 6.本节内容,还巩固了“代入法”求轨迹方程、 “参数法”求轨迹方程问题.同 时深化了求轨迹方程中的整体消元问题;


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