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2015步步高高中数学理科文档第二章 2.9

时间:2014-10-17


§ 2.9

函数的应用

1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 (2)三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞)上的 增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结

论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 函数解析式 f(x)=ax+b (a、b 为常数,a≠0) k f(x)= +b (k,b 为常数且 k≠0) x f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a, b, c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c(a, b, c 为常数, b≠0, a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b (a,b 为常数,a≠0)

单调递增 越来越快 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行

单调递增 越来越慢 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行

单调递增 相对平稳 随 n 值变化而各有不同

存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 y=2x 的函数值比 y=x2 的函数值大. (2)幂函数增长比直线增长更快.
n (3)不存在 x0,使 ax0<x0 <logax0.

( × ( × ( ×

) ) )

(4)美缘公司 2010 年新上市的一种化妆品,由于脱销,在 2011 年曾提价 25%,2014 年想要 恢复成原价,则应降价 25%. ( × )

(5)某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,若按九折出 售,则每件还能获利. ( √ )

(6)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(4,+∞)时,恒有 h(x)<f(x)<g(x). ( √ )

2.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货 物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这 两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车 站 A.5 千米处 C.3 千米处 答案 A k1 解析 由题意得,y1= ,y2=k2x,其中 x>0,当 x=10 时,代入两项费用 y1,y2 分别是 2 x 4 20 4 20 4 20 4 万元和 8 万元,可得 k1=20,k2= ,y1+y2= + x≥2 ·x=8,当且仅当 = x, 5 x 5 x 5 x 5 即 x=5 时取等号,故选 A. 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路 程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( ) B.4 千米处 D.2 千米处 ( )

答案 A 解析 汽车加速行驶时,速度变化越来越快,而汽车匀速行驶时,速度保持不变,体现在 s 与 t 的函数图象上是一条直线,减速行驶时,速度变化越来越慢,但路程仍是增加的. 4.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是 A.118 元 B.105 元 C.106 元 D.108 元 答案 D 解析 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%· a,解得 a=108,故选 D. 5.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能繁 殖为________个. 答案 2ln 2 1 024 1 解析 当 t=0.5 时,y=2,∴2=e k, 2 ∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2, 当 t=5 时,y=e10ln 2=210=1 024. ( )

题型一 二次函数模型 例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的

抛物线的一段,已知跳水板 AB 长为 2 m,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m,CE=5 m,CF=6 m,为安全和空中姿态优美,训练 时跳水曲线应在离起跳点 h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m, 规定:以 CD 为横轴,CB 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要求,求达到压水花的训练要求 时 h 的取值范围. 思维启迪 (1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)利用 x=5,x=6 时函数值的符号求 h 范围. 解 (1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1, 设抛物线方程为 y=a[x-(2+h)]2+4,

当 h=1 时,最高点为(3,4),方程为 y=a(x-3)2+4, 将 A(2,3)代入,得 3=a(2-3)2+4,解得 a=-1. ∴当 h=1 时,跳水曲线所在的抛物线方程为 y=-(x-3)2+4. (2)将点 A(2,3)代入 y=a[x-(2+h)]2+4 1 得 ah2=-1,所以 a=- 2. h 由题意,得方程 a[x-(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解. 1 令 f(x)=a[x-(2+h)]2+4=- 2[x-(2+h)]2+4, h 1 1 则 f(5)=- 2(3-h)2+4≥0,且 f(6)=- 2(4-h)2+4≤0. h h 4 解得 1≤h≤ . 3 4 达到压水花的训练要求时 h 的取值范围为[1, ]. 3 思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等),可根据已知条件确定二次

函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解决,解题中一定注意函数的定义域. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总 成本)的最低产量是 A.100 台 C.150 台 答案 C 解析 设利润为 f(x)万元,则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000 (0<x<240,x∈N*). 令 f(x)≥0,得 x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是 150 台. 题型二 指数函数模型 例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励给分别在 6 项(物理、 B.120 台 D.180 台 ( )

化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总 金额是基金在该年度所获利息的一半, 另一半利息作基金总额, 以便保证奖金数逐年增加. 假 设基金平均年利率为 r=6.24%.资料显示:1999 年诺贝尔奖金发放后基金总额约为 19 800 万 美元.设 f(x)表示第 x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?,依次类推). (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是 否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 29=1.32)

思维启迪 从所给信息中找出关键词,增长率问题可以建立指数函数模型. 1 解 (1)由题意知,f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)· 6.24%=f(1)(1+3.12%), 2 1 f(3)=f(2)(1+6.24%)- f(2)· 6.24% 2 =f(2)(1+3.12%)=f(1)(1+3.12%)2, ∴f(x)=19 800(1+3.12%)x
-1

(x∈N*).

(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 136, 11 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为 ·f(10)· 6.24%≈136(万美元),与 150 万美元相比少了约 14 62 万美元,是假新闻. 思维升华 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型 y=N(1+p)x(其中 N 是基 础数,p 为增长率,x 为时间)和幂函数模型 y=a(1+x)n(其中 a 为基础数,x 为增长率,n 为 时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克) t 与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02- ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已 30 知 t=30 时,铯 137 含量的变化率 是-10ln 2(太贝克/年),则 M(60)等于 ... A.5 太贝克 C.150ln 2 太贝克 答案 D 1 t 解析 ∵M′(t)=- M02- · ln 2, 30 30 1 1 ∴M′(30)=- × M0ln 2=-10ln 2,∴M0=600. 30 2 t - ∴M(t)=600×2- ,∴M(60)=600×2 2=150(太贝克). 30 题型三 分段函数模型 例3 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 B.75ln 2 太贝克 D.150 太贝克 ( )

超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两户该月用 水量分别为 5x,3x(吨). (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 思维启迪 题中 y 关于 x 的函数为分段函数关系. 解 (1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也不超过 4 吨,y=1.8(5x+3x)= 14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨时, 乙的用水量不超过 4 吨, 即 3x≤4, 且 5x>4 时, y=4×1.8+3x×1.8 +3(5x-4)=20.4x-4.8.

当乙的用水量超过 4 吨,即 3x>4 时, y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.

? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8, 5<x≤3, ? . ?24x-9.6, x>4 3
14.4x

4 0≤x≤ , 5

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均单调递增; 4 4 当 x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4; 5 5 4 4 4 当 x∈( , ]时,y≤f( )<26.4; 5 3 3 4 当 x∈( ,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5. 3 所以甲户用水量为 5x=5×1.5=7.5 吨; 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 思维升华 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问 题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端 点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏. 某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其中 有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为 f(n)= k(n)(n-10),n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均

? ?100 成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而 k(n)=?200 300 ? ?400
0 A.600 元 B.900 元 C.1 600 元 D.1 700 元 答案 D

?n≤10?, ?10<n≤15?, ?15<n≤20?, ?20<n≤25?, ?n>25?. 现有甲、

乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分,而乙所教的学 生高考数学平均分超出省平均分 21 分.则乙所得奖励比甲所得奖励多( )

解析 ∵k(18)=200(元),∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元). 又∵k(21)=300(元),∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元), ∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元).故选 D.

函数应用问题

典例:(12 分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消 费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并 约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低 生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的 资料中: ①这种消费品的进价为每件 14 元; ②该店月销量 Q(百件) 与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的 余额最大?并求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 思维启迪 (1)认真阅读题干内容,理清数量关系.(2)分析图形提供的信息,从图形可看出函 数是分段的.(3)建立函数模型,确定解决模型的方法. 规范解答 解 设该店月利润余额为 L, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50 ?14≤P≤20?, ? ? 由销量图易得 Q=? 3 [2 分] ? ?-2P+40 ?20<P≤26?, 代入①式得 ?-2P+50??P-14?×100-5 600 ?14≤P≤20?, ? ? L=?? 3 ? ? ??-2P+40??P-14?×100-5 600 ?20<P≤26?, (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元.[8 分] (2)设可在 n 年后脱贫, 依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20. 即最早可望在 20 年后脱贫.[12 分]

[4 分]

解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型;

第三步:解模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的 合理性. 温馨提醒 (1)本题经过了三次建模: ①根据月销量图建立 Q 与 P 的函数关系; ②建立利润余 额函数;③建立脱贫不等式. (2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数,在实际问题中,由于在不同的背景下解决 的问题发生了变化,因此在不同范围中,建立函数模型也不一样,所以现实生活中分段函数 的应用非常广泛. (3)在构造分段函数时,分段不合理、不准确,是易出现的错误.

方法与技巧 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础; 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本 不等式等求得最值. 3.解函数应用题的四个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原. 失误与防范 1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

A 组 专项基础训练 一、选择题 1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(小 时)的函数关系用图象表示为 ( )

答案 B 解析 根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B. 2.利民工厂某产品的年产量在 150 吨至 250 吨之间,年生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) x2 之间的关系可近似地表示为 y= -30x+4 000,则每吨的成本最低时的年产量(吨)为 10 ( A.240 答案 B y x 4 000 解析 依题意,得每吨的成本为 = + -30, x 10 x y x 4 000 则 ≥2 · -30=10, x 10 x x 4 000 当且仅当 = ,即 x=200 时取等号, 10 x 因此,当每吨成本最低时,年产量为 200 吨,故选 B. 3.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a,则这两年内第二年某月的产值 比第一年相应月产值的增长率为 A.a12-1 C.a 答案 B 解析 不妨设第一年 8 月份的产值为 b, 则 9 月份的产值为 b(1+a), 10 月份的产值为 b(1 +a)2,依次类推,到第二年 8 月份是第一年 8 月份后的第 12 个月,即一个时间间隔是 1 个月,这里跨过了 12 个月,故第二年 8 月份产值是 b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两 b?1+a?12-b 年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为 =(1+a)12-1. b 4. 某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月 的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分 钟时,这两种方式电话费相差 A.10 元 C.30 元 答案 A 解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= , 5 1 t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20=10. 5 5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边 角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最 B.20 元 40 D. 元 3 ( ) B.(1+a)12-1 D.a-1 ( ) B.200 C.180 D.160 )

大时,矩形两边长 x、y 应为 A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 答案 A 24-y x 5 解析 由三角形相似得 = ,得 x= (24-y), 20 4 24-8 5 ∴S=xy=- (y-12)2+180, 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 二、填空题 B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

(

)

6.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余 的细沙量为 y=ae
-bt

(cm3),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________

min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案 16 解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae ∴e
-8b -8b

1 = a, 2

1 = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2 1 - 即 y=ae bt= a, 8 1 -bt -8b 3 - e = =(e ) =e 24b,则 t=24,所以再经过 16 min. 8 7. A、B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶. B 从乙地自北向南行驶, A 的速度是 40 km/h, B 的速度是 16 km/h,经过________小时,AB 间的距离最短. 25 答案 8 解析 设经过 x h,A、B 相距为 y km, 29 25 则 y= ?145-40x?2+?16x?2(0≤x≤ ),求得函数的最小值时 x 的值为 . 8 8 8.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按 每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 答案 9 解析 设出租车行驶 x km 时,付费 y 元, 9,0<x≤3 ? ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8 ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8 由 y=22.6,解得 x=9. ,

三、解答题 9.某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成反比 例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元, 则电价调至多少时, 本年度电力部门的收益将比上年 度增加 20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] k 解 (1)∵y 与(x-0.4)成反比例,∴设 y= (k≠0). x-0.4 把 x=0.65,y=0.8 代入上式, k 得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 0.2 1 ∴y= = , x-0.4 5x-2 1 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= . 5x-2 1 (2)根据题意,得(1+ )· (x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%). 5x-2 整理,得 x2-1.1x+0.3=0,解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75, 故 x=0.5 不符合题意,应舍去.∴x=0.6. ∴当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 10.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位: 千米/时)是车流密度 x(单位: 辆/千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解 (1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 再由已知得? ?20a+b=60, ?

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .

1

故函数 v(x)的表达式为

60, 0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ? ?3?200-x?, 20<x≤200. (2)依题意并由(1)可得 60x, 0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?, 20<x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x) 3 1?x+?200-x??2 10 000 ≤ 3? 2 ?= 3 , 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. B 组 专项能力提升 1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次 上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其 他费用)为 A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 答案 B 解析 设该股民购这支股票的价格为 a, 则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n=a×1.1n, 经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n· a<a, 故该股民这支股票略有亏损. 2. 某建材商场国庆期间搞促销活动, 规定: 顾客购物总金额不超过 800 元, 不享受任何折扣, 如果顾客购物总金额超过 800 元, 则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠, 按下表折扣分 别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 不超过 500 元的部分 超过 500 元的部分 0,0<x≤800, ? ? y=?5%?x-800?,800<x≤1 300, ? ?10%?x-1 300?+25,x>1 300. 折扣率 5% 10% B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 ( )

某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则 y 关于 x 的解析式为

若 y=30 元,则他购物实际所付金额为________元. 答案 1 350 解析 若 x=1 300 元,则 y=5%(1 300-800)=25(元)<30(元),因此 x>1 300. ∴由 10%(x-1 300)+25=30,得 x=1 350(元). 3.某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发现:当还未开始挂号时, 有 N 个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加 M 人.假定挂号 的速度是每个窗口每分钟 K 个人, 当开放一个窗口时, 40 分钟后恰好不会出现排队现象; 若同时开放两个窗口时,则 15 分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求 8 分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有________个. 答案 4 解析 设要同时开放 x 个窗口才能满足要求, N+40M=40K, ① ? ? 则?N+15M=15K×2, ② ? ?N+8M≤8Kx. ③
? ?K=2.5M, 由①②,得? ? ?N=60M,

代入③,得 60M+8M≤8×2.5Mx,解得 x≥3.4. 故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求. 4.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元, 1 当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元);当年产量不少于 80 千件时,C(x)=51x 3 10 000 + -1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元时,该厂年内生产的商品能 x 全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? (1)当 0<x<80,x∈N*时, 500×1 000x 1 2 L(x)= - x -10x-250 10 000 3 1 2 =- x +40x-250; 3 解 当 x≥80,x∈N*时, 500×1 000x 10 000 L(x)= -51x- +1 450-250 10 000 x 10 000 =1 200-(x+ ), x 1 - x2+40x-250?0<x<80,x∈N*?, 3 ∴L(x)= 10 000 1 200-?x+ ??x≥80,x∈N*?. x

? ? ?

(2)当 0<x<80,x∈N*时, 1 L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950. 当 x≥80,x∈N*时, 10 000 L(x)=1 200-(x+ )≤1 200-2 x =1 200-200=1 000, 10 000 ∴当 x= ,即 x=100 时, x L(x)取得最大值 L(100)=1 000>950. 综上所述,当 x=100 时,L(x)取得最大值 1 000, 即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 5.经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数,且日销售量 1 112 1 近似地满足 g(t)=- t+ (1≤t≤100,t∈N).前 40 天价格为 f(t)= t+22(1≤t≤40, 3 3 4 1 t∈N),后 60 天价格为 f(t)=- t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的 2 最大值和最小值. 解 当 1≤t≤40,t∈N 时, 1 112 1 S(t)=g(t)f(t)=(- t+ )( t+22) 3 3 4 112×22 1 2 1 2 500 =- t +2t+ =- (t-12)2+ , 12 3 12 3 2 500 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= . 3 当 41≤t≤100,t∈N 时, 1 112 1 S(t)=g(t)f(t)=(- t+ )(- t+52) 3 3 2 112×52 1 1 8 = t2-36t+ = (t-108)2- , 6 3 6 3 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= . 2 2 500 综上,S(t)的最大值为 ,最小值为 8. 3 10 000 x· x


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