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广东省10大市2013届高三数学(文)一模试题分类汇编5:三角函数


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广东省 10 大市 2013 届高三数学(文)一模试题分类汇编
三角函数
一、选择、填空题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )已知函数 f

? x?

?

2 sin

2 x ,为了得到函数

g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,
只要将 y ? f

? x ? 的图象
B.向左平移

A.向右平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

C.向右平移 答案:D

D.向左平移

2、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)计算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =
2 2

答案:2 3、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)函数 y ? sin( x ? 坐标不变) ,右平移 A、 x ? ? C、 x ? 答案:B 在Δ 内角 B, b, 4、汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评) ABC 中, A, C 的对边分别是 a, c,若 ( b
2

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?
3

1 倍(纵 2

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 B、 x ? ? D、 x ?

?
4

?
2

?
8

?
4

sin C ?2, sin A

-a

2

=

A.

1 2

3 ac,则 cosB=( ) 2 1 1 1 B. C. D. 3 4 5

答案:C 5、(深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研)下列函数中,最小正周期为 A. y = tan 答案:D 6、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)△ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则△ABC 的面积是

? 的是 2

x B. y = sin2x 2

C . y = cos

x 4

D. y = cos 4 x

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A.

3 2

B.

3 3 2

C. 3

D. 3 3

答案:D 7、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )函数 y ? sin x ? sin ? x ? 值是 .

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

,最大

答案: 2? (2 分) 3 (3 分) ,

? ? ?t a n x x,? 2 0 1 0 8 、( 茂 名 市 2013 届 高 三 第 一 次 高 考 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? ,则 3 ? x ? 2010, x ? 2010 ?

f ? f ( 2 0 1?0 ) ?
答案:0



9、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )在△ABC 中,∠A= AC 的长为 A、1 答案:A 二、解答题 B、 3 C、2 D、1

?
3

,AB=2,且△ABC 的面积为

3 ,则边 2

1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

) (其中 x ? R ,

A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期为 8 .
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

(2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 cos ? POQ 的值. (1)解:∵ f ( x) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∴ A? 2. ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , ∴T ? ?????1 分

2?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????3 分 ?????4 分

∴ f ( x) ? 2sin(

?

x? ). 4 4

?

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????5 分

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?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ?

?????6 分

?????7 分 ?????10 分
2 2 2

6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .
OP ? OQ ? PQ
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 .??12 分 3
?????5 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????6 分

?????8 分 ?????10 分

??? ?

????

??? ???? ? y ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ?????12 分 ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
P

解法 3: ∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 ,?????5 分 4 ?2 4?

Q1 O P1 Q x

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????6 分 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ?????7 分

作 PP ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P ,Q1 , 1 1 ∴ OP ?

6, OP ? 2, PP ? 2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ? 1 1

2 . ???8 分

设 ?POP ? ? ,?QOQ1 ? ? , 1 则 sin ? ?

3 6 1 2 2 ,cos ? ? ,sin ? ? ,cos ? ? . 3 3 3 3

?????10 分

∴ cos ?POQ ? cos

??

? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 .???12 分 3
2

2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 , x ? R .

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⑴求 f (x) 的最大值; ⑵若点 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上,求 f (? ? 解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ??2 分

?
8

) 的值

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ??5 分(其中, 2 ”1 分, “ “

? ”2 分) 4

所以 f (x) 的最大值为 2 ??6 分。 ⑵由⑴得 f (? ?

?
8

) ? 2 sin[ 2(? ?

?
8

)?

?
4

] ? 2 sin( 2? ?

?
2

) ??7 分

? 2 cos 2? ??8 分
3 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上, cos ? ? ? ??10 分(这 2 分与上面 2 分相互独立) 5
所以 f (? ?

?
8

) ? 2 2 cos 2 ? ? 2 ??11 分

??

7 2 ??12 分. 25

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

a c . ? sin A 3 cos C
(1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小 解: (1)由条件结合正弦定理得,

a c c ----2 分 ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,-----------------------------------------------4 分 ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;--------------------------------------------------------------6 分

2? ? A -------------------------------------------------------------7 分 3 2? ∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos( ? A) 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A ------9 分 3 3
? 3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) --------------10 分 2 2 6

∵0 ? A ?

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

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当 A?

?
6

?

?
2

时, 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 取得最大值,------------------------------11 分

此时 A ?

?
3

,B ?

?
3

.-----------------------------------------------------------------------12 分

4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足

3 sin C cos C ? cos 2 C ?
(1)求角 C

1 。 2
?

(2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,且 c=3,求 a、b 的值。

??

5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)已知函数.
f ( x) ? A sin(

?
3

x ? ? ), x ? R, A ? 0,0 ? ? ?

?
2

,y=f(x)的部分图像如图所示,点

是该图象上的一 点 和

点,P,Q 分别为该图像在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 第 一 个 最 低 点 , 且 (1) 求 ?和 A的 值 ; =1.

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(2)若

, 求

的 値 .

M ) N 1, 6、深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, (sin 2 ? , 1 , ( ? 2cos2 ?) ? ? R ) ( ,

???? ???? ? 3 且 OM ? ON ? ? . 2
(1)求点 M , N 的坐标; (2) 若角 ? , ? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合, 终边分别经过点 M , N , tn (? ? ? ) 求a 的值.

3 2 3 ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? ? , 2

解:(1) ? OM ? ON ? ? , ………………….2 分

???? ???? ?

3 ? sin 2 ? ? 2(1 ? sin 2 ? ) ? ? , 2 5 1 解得 sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 6 6 5 1 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) 3 6 5 1 (2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? ) 3 6 5 ? tan ? ? 6 , tan ? ? ? 3

………………….6 分

……………………………….10 分

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? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

5 1 ? 6 ? (? ) 3 13 ? 33

?

6?

5 3

……………………………….12 分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以及向量的有 关知识.考查了运算能力. 7、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ∈R. (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 在区间 [ ? 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?
3

) ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ,x

? ?

?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

3 ? sin 2 x ? cos 2 x

? cos 2 x sin

?

3

? cos 2 x cos

?

6

? sin 2 x sin

?
6

? cos 2 x (3 分)

(4 分) (5 分) (6 分)

? 2 sin( 2 x ?

?

4

) 2? ?? . 2

所以函数 f (x) 的最小正周期 T ? (2)因为 f (x) 在区间 [ ? 又 f (?

? ?

?

) ? ?1 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 1 , 4 8 4

?

, ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数, (8 分) 4 8 8 4

? ?

?

(11 分)

故函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1. (12 分) 4 4

8、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值. 解析: (1)∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

7 . 25

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 C 2 ,∴ cos ? ? , D B 25 25 第 16 题图
-----------------5 分

) ,∴ cos ? ?

3 . 5

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(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

4 , 5

∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

----------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C
A ----------11 分

CD ? sin ?C ? ∴ AD ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? , AD 5

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m

---------8 分

? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4 9、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟) 如图所示,角 A 为钝角,且 cos A ?

----------10 分 ----------12 分

4 ,点 P 、 Q 分别在角 A 5

的两边上. (1)已知 AP =5,AQ =2,求 PQ 的长; (2) ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos ? ? 设

12 , 求n s i ( 13

2? ? ? ) 的值.

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10、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 象如图所示。 (1)求函数 f(x)的表达式; ( 2 ) 若 f (? ?

?
2

) 的部分图

1 ? ) ? (? ? (0, )) , 求 12 3 2

?

tan ? 的值。


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