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2015年最新高考总复习高三文科数学作业第2篇 第4讲幂函数与二次函数

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第4讲

幂函数与二次函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1? ? 1.幂函数的图象过点?2,4?,则它的单调递增区间是 ? ? A.(0,+∞) C.(-∞,0) 解析 B.[0,+∞) D.(-∞,+∞) ( ).

1 设幂函数 y=xα,则 2α=4,解得 α=-2,所以 y=x-2,故函

数 y=x-2

的单调递增区间是(-∞,0). 答案 C

2. (2013· 浙江七校模拟)二次函数 y=-x2+4x+t 图象的顶点在 x 轴上, 则 t 的值 是 A.-4 C.-2 解析 =-4. 答案 A B.4 D.2 ( ).

二次函数图象的顶点在 x 轴上,所以 Δ=42-4×(-1)×t=0,解得 t

3.(2014· 郑州检测)若函数 f(x)=x2+ax+b 的图象与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0), 则函数 f(x) A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增 B.在(-∞,3)上递增 C.在[1,3]上递增 D.单调性不能确定 解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为 x=2,又二次项系数为 1>0,所 ( ).

以 f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 答案 A

4.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是 A.5-a<5a<0.5a C.0.5a<5-a<5a 解析 B.5a<0.5a<5-a D.5a<5-a<0.5a

(

).

1 ?1? 5-a=?5?a,因为 a<0 时,函数 y=xa 单调递减,且5<0.5<5,所以 5a ? ?

<0.5a<5-a. 答案 B ( ).

5.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是

解析

由 A,C,D 知,f(0)=c<0.

b ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=-2a>0, 知 A,C 错误,D 符合要求. b 由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-2a<0,B 错误. 答案 D

二、填空题 6.二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x)(x∈R),且 f(x)=0 有两个实根 x1,x2, 则 x1+x2=________. 解析 由 f(3+x)=f(3-x),知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=3 对称,应有

x1+x2 2 =3?x1+x2=6. 答案 6

7.(2013· 南昌检测)已知函数 y=-x2+4ax 在区间[1,3]上单调递减,则实数 a 的 取值范围是________. 解析 答案 1 根据题意,得对称轴 x=2a≤1,所以 a≤2. 1? ? ?-∞,2? ? ?

2 ? ? ,x≥2, 8.已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3,x<2.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,

则实数 k 的取值范围是________. 解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点.

作出函数 f(x)的图象,如图,由图象可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的 图象有两个不同的交点,所以所求实数 k 的取值范围是(0,1).

答案

(0,1)

三、解答题 9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方 程 f(x)+6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3) (a<0),

则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a, Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,即(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=-5或 a=1(舍去). 1 6 3 因此 f(x)的解析式为 f(x)=-5x2-5x-5. 10.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解 ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在

区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a; 当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时, ymin=-1.
2 ?a -2a,-2<a<1, 综上,g(a)=? ?-1,a≥1.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是 A.(0,1) C.(0,+∞) 解析 B.(-∞,1) D.(-∞,0) ( ).

当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x

的图象的下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象,由图象可知 α<1 时 满足题意,故选 B. 答案 B

2. 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧, 则实数 m 的取值范围是 A.(0,1) C.(-∞,1) 解析 B.(0,1] D.(-∞,1] ( ).

1 用特殊值法.令 m=0,由 f(x)=0 得 x= 适合,排除 A,B.令 m=1, 3

由 f(x)=0 得 x=1 适合,排除 C. 答案 D

二、填空题
1

3.已知函数 f(x)=x2 ,给出下列四个命题: ①若 x>1,则 f(x)>1; ②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1f(x2); ④若 0<x1<x2,则 f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ?. <f? 2 ? 2 ?

其中,所有正确命题的序号是________. 解析 1 对于①:∵y=x2在(0,+∞)上为增函数,

1 ∴当 x>1 时,f(x)>f(1)=1,①正确;对于②:取 x1=4,x2=4,此时 f(x1)

1 f?x? =2,f(x2)=2,但 f(x2)-f(x1)<x2-x1,②错误;对于③:构造函数 g(x)= x - x 2 x x x = x ,则 g′(x)= =-2x2<0,所以 g(x)在(0,+∞)上为减函数, x2 f?x2? f?x1? 当 x2>x1>0 时,有 x < x ,即 x1f(x2)<x2f(x1),③错误;对于④:画出 f(x)
2 1

x

f?x1?+f?x2? ?x1+x2? 1 ?,④正确. =x2在(0,+∞)的图象,可知 <f? 2 ? 2 ? 答案 ①④

三、解答题 4.(2014· 辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.

(2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
2 ?x -2x?x>0?, ∴f(x)=? 2 ?x +2x?x≤0?.

(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值;当 a+1> 2,即 a>1 时,

g(2)=2-4a 为最小值. 2a?a≤0?, ?1-2 综上,g(x)min=?-a -2a+1?0<a≤1?, ?2-4a?a>1?.


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