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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

时间:2010-07-17


3.3.1二元一次不等式

(组)与平面区域
临沂一中 高二数学组

一,引入: 引入
一家银行的信贷部计划年初投入25 一家银行的信贷部计划年初投入 000 000 元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来 元用于企业和个人贷款 希望这笔资金至少可带来 30000元的收益 其中从企业贷款中获益 元的收益,其中从企

业贷款中获益 元的收益 其中从企业贷款中获益12%,从个 从个 人贷款中获益10%.那么 信贷部应刻如何分配资 那么,信贷部应刻如何分配资 人贷款中获益 那么 金呢? 金呢?

问题: 问题:这个问题中存在一些不等关系 应该用什么不等式模型来刻画呢? 应该用什么不等式模型来刻画呢?

设用于企业贷款的资金为x元 设用于企业贷款的资金为 元,用于个人贷款的资 金y元.则 元

x + y ≤ 25000000 (12%) x + (10%) y ≥ 30000 x ≥ 0, y ≥ 0

所以得到分配资金应该满足的条件: 所以得到分配资金应该满足的条件:

x + y ≤ 25000000 12 x + 10 y ≥ 3000000 x ≥ 0 y ≥ 0

新知探究: 新知探究:
1,二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 ,
(1)二元一次不等式: )二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式 的不等式; 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式; (2)二元一次不等式组: )二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组; 由几个二元一次不等式组成的不等式组; 的解集: (3)二元一次不等式(组)的解集: )二元一次不等式(
满足二元一次不等式( 满足二元一次不等式(组)的有序实数对(x,y)构成的集合; 的有序实数对( , )构成的集合;

(4)二元一次不等式(组)的解集可以看成是直角坐标系 )二元一次不等式( 内的点构成的集合. 内的点构成的集合.

2,二元一次不等式(组)的解集表示的图形 ,二元一次不等式(
(1)复习回顾 ) 一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 一元一次不等式( ——数轴上的区间. 数轴上的区间. 数轴上的区间

x+ 3 ≥ 0 的解集为数轴上的一个区间(如图). 如:不等式组 的解集为数轴上的一个区间(如图). x 4 ≤ 0
-3≤x≤4

思考:在直角坐标系内,二元一次不等式( 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集
表示什么图形? 表示什么图形?

下面研究一个具体的二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形. 的解集所表示的图形. 作出x 的图像—— 一条直线 作出 – y = 6的图像 的图像
直线把平面内所有点分成三类: 直线把平面内所有点分成三类
a)在直线 – y = 6上的点 a)在直线x 上的点 在直线 b)在直线 – y = 6左上方区域内的点 b)在直线x 在直线 左上方区域内 c)在直线 c)在直线x – y = 6右下方区域内 在直线 右下方区域内
的点

y
6

O
左上方区域
-6

x 右下方区域

x–y=6

验证:设点P( , 验证:设点 (x,y 1)是直

上的点, 线x – y = 6上的点,选取点 上的点 A(x,y 2),使它的坐标 ( , ),使它的坐标 满足不等式x 满足不等式 – y < 6,请完 成下面的表格, 成下面的表格,

y

x–y=6 x

O

横坐标 x

–3

–2 -8 -6

–1 -7 -5

0 -6 -3

1 -5 6

2 -4 4

3 -3 0

点 P 的纵坐标 y1 - 9 点 A 的纵坐标 y2 - 8

思考: 思考: (1) 当点 与点P有相同的横 当点A与点 有相同的横 与点 坐标时, 坐标时,它们的纵坐标有什么 关系? 关系?
y2>y1 y x–y=6 x

(2) 直线x – y = 6左上方的坐 直线 左上方的坐 标与不等式x 标与不等式 – y < 6有什么关 有什么关 系? (3) 直线 – y = 6右下方点的 直线x 右下方点的 坐标呢? 坐标呢?

O

结论
在平面直角坐标系中, 在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x 以二元一次不等式 – y < 6的解为坐标的点都在 的解为坐标的点都在 直线x 的左上方; 直线 – y = 6的左上方; 的左上方 反过来,直线 反过来,直线x – y = 6左 左 上方的点的坐标都满足 不等式x 不等式 – y < 6. . O
x y x–y=6

结论
不等式x 表示直线x 不等式 – y < 6表示直线 – 表示直线 y = 6左上方的平面区域; 左上方的平面区域; 左上方的平面区域

注意:把直
不等式x 表示直线x 不等式 – y > 6表示直线 – 表示直线 y = 6右下方的平面区域; 右下方的平面区域; 右下方的平面区域

线画成虚线以 表示区域不包 括边界

直线叫做这两个区域的边界. 直线叫做这两个区域的边界. 边界

一般地: 一般地:

二元一次不等式Ax 二元一次不等式 + By + C>0在平面直角坐标 > 在平面直角坐标 系中表示直线Ax 系中表示直线 + By + C = 0某一侧所有点组成 某一侧所有点组成 的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) .(虚线表示区域不包括边界直线

注1:
二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域

y

Ax + By + C = 0 x

O

直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代 入Ax+By+C所得实数的符号都相同,只 需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据 Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表 示直线的哪一侧区域,C≠0时,常把原 点作为特殊点

注2:

直线定界,特殊点定域. 直线定界,特殊点定域.

提出:采用"选点法" 提出:采用"选点法"来确定二元一次不等式所表
示的平面区域 强调:若直线不过原点,通常选( , ) 强调:若直线不过原点,通常选(0,0) 若直线过原点, ),(-1, ), 点;若直线过原点,通常选(1,0),( ,0), 若直线过原点 通常选( , ),( ),(0,-1)等特殊点代入检验并判断._ 等特殊点代入检验并判断. (0,1), , ), 等特殊点代入检验并判断

练习1 练习1: 请尝试画出下列式子所 表示的区域 (1)y = x + 1 (2)y ≥ x + 1 (3)y < x + 1
你有什么发现? 你有什么发现?

能不能猜想出y>kx+b表示的是直线 表示的是直线y=kx+b 能不能猜想出 表示的是直线 哪部分区域?同样, 的 哪部分区域?同样, y<kx+b表示的又是 表示的又是 直线y=kx+b的哪部分区域? 的哪部分区域? 直线 的哪部分区域

结论1:y>kx+b表示直线上方的平面区域 表示直线上方 结论1 表示直线上方的平面区域 y<kx+b表示直线下方的平面区域 表示直线下方 表示直线下方的平面区域 口诀: 口诀:上大下小斜截式

口诀: 口诀:上大下小斜截式

例题 : 例题1: 画出下列不等式所表示的平面区域

(1) y > 2 x + 1 (3) y > 2 (5) 2 x y + 1 ≤ 0

(2) x ≤ 2 (4) x y + 2 > 0

拓展引申
共同探讨:对于二元一次不等式Ax+By+C>0(A,B不同时为 共同探讨: 对于二元一次不等式 > ( , 不同时为 0),如何确定其所表示的平面区域? ) 如何确定其所表示的平面区域?
(注:由斜截式转化为一般式进行研究探讨或由一般式 化归为斜截式进行研究探讨,并作比较) 化归为斜截式进行研究探讨,并作比较)

结论2 结论2:当B>0时

Ax+By+C> 表示直线上方区域 Ax+By+C>0表示直线上方区域 上方 Ax+By+C< 表示直线下方 下方区域 Ax+By+C<0表示直线下方区域 口诀: 口诀:上正下负一般式 (B>0) )
强调: 时则恰好结论相反;若 则最易判断. 强调:若B<0时则恰好结论相反 若B=0则最易判断. 时则恰好结论相反 则最易判断

例题2:根据下列各图中的平面区域用不等式 例题 根据下列各图中的平面区域用不等式 表示出来( 包含y轴 表示出来(图1包含 轴)

6x+5y=22

3 y=x

1

1 -4

例题
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
直线定界:先画直线 解:(1)直线定界 先画直线 + 4y – 4 = 0(画成虚线) 直线定界 先画直线x (画成虚线) (2)特殊点定域 取原点(0,0),代入 + 4y - 4, 特殊点定域:取原点 ),代入 特殊点定域 取原点( , ),代入x , 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 × 所以,原点在x + 4y – 4 < 0 所以,原点在 表示的平面区域内, 表示的平面区域内, 不等式x 不等式 + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示. 表示的区域如图所示. 1 4 x x+4y―4=0 ―4=0

y

练习: 练习:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y 4x―3y-12=0 ―3y―3y x x x=1

(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域

y

例题
例2,用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集. x<2y
y

0 x-2y=0

x 3x+y-12=0

练习2 练习2:
1,不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线 – 2y + ,不等式 表示的区域在直线x 表示的区域在直线 6 = 0的( B ) 的 (A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方 ) ) ) ) 2,不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是( D ,不等式 表示的平面区域是( ) 表示的平面区域是

练习2 练习2: x 3y + 6 ≥ 0 x y + 2 < 0
3,不等式组 , 表示的平面区域是( 表示的平面区域是(

B)

课堂小结: 课堂小结:
二元一次不等式表示平面区域: ⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域. 直线某一侧所有点组成的平面区域. 判定方法: ⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域. 直线定界,特殊点定域. 二元一次不等式组表示平面区域: ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分. 各个不等式所表示平面区域的公共部分.

口诀: (4)口诀:上大下小斜截式 B>0) 上正下负一般式 (B>0) 画二元一次不等式表示的平面区域的方法: 即:画二元一次不等式表示的平面区域的方法:可根 据二元一次不等式与B的关系来确定 据二元一次不等式与 的关系来确定 Ax+By+C>0与B的关系为 的关系为:B>0时表示直线上方区 与 的关系为 时表示直线上方区 时表示直线下方区域. 域, B<0时表示直线下方区域.Ax+By+C<0与B的关系 时表示直线下方区域 与 的关系 时表示直线下方区域, 为:B>0时表示直线下方区域 B<0时表示直线上方区域 时表示直线下方区域 时表示直线上方区域

作业: 作业:

课本

p93

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