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2011年广州市二模数学试题(理科)

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2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(理科)
? 1 ? ?? ? 2?i?
D. ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 的虚部记作 Im ? z ? ? b ,则 Im ?

A.

1 3

B.

2 5

C. ?

1 3

1 5

2.已知全集 U ? A ? B ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? , A ? ? B ? ?2, 4, 6? ,则集合 B ? U A. ?2, 4, 6? B. ?1,3,5? C. ?1,3,5, 7? D. ?1, 2,3, 4,5, 6, 7?

?

?

3.设随机变量 ? 服从正态分布 N ? 3, 4 ? ,若 P ?? ? 2a ? 3? ? P ?? ? a ? 2 ? ,则 a 的值为 A.

7 3
3

B.

5 3
2

C.5

D.3

4.已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? A. 12 3 2 B. 16

1 x a

? a ? 0? ,则 f ? 2 ? 的最小值为
C. 8 ? 8a ?

2 a

D. 12 ? 8a ?

1 a

5.已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x , f n ?1 ? x ? 是 f n ? x ? 的导函数,即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? , f 3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,?,

f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N* ,则 f 2011 ? x ? ?
A. ? sin x ? cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x ? cos x D. sin x ? cos x

6.一条光线沿直线 2 x ? y ? 2 ? 0 入射到直线 x ? y ? 5 ? 0 后反射,则反射光线所在的直线方程为 A. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 9 ? 0

7.三个共面向量 a 、 b 、 c 两两所成的角相等,且 a ? 1 , b ? 2 , c ? 3 ,则 a + b + c 等于 A. 3 B.6 C. 3 或 6 D.3 或 6

8. 正方形 ABCD 的边长为 2, E 、F 分别在边 AB 、BC 上, AE ? 1 ,BF ? 点 且

1 , 将此正方形沿 DE 、 2

1

DF 折起,使点 A 、 C 重合于点 P ,则三棱锥 P ? DEF 的体积是
A.

1 3

B.

5 6

C.

2 3 9

D.

2 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? 值为

? ?

??

? ?? ? 0 ? ,若函数 f ? x ? 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小 6?


? ,则 ? 的值为 3

10. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ,
3 2

v(cm/s) 4 2

则当 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式为



? 11.若C ?3C ?3 C ? ? 3
1 n 2 n 2 3 n

n2 ?

C

n? 1 n

? 3

n? 1

?85

,则 n 的值为

. O 1 2 图1 3 4 t(s)

12.如图 1 为某质点在 4 秒钟内作直线运动时,速度函数 v ? v ? t ? 的图象, 则该质点运动的总路程 s ? 厘米.

13.将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1?12 , 2 ? 6 , 3 ? 4 三种,其中 3 ? 4 是这三种分解中,两数 差的绝对值最小的,我们称 3 ? 4 为12的最佳分解.当 p ? q p ? q且p, q ? N 时,我们规定函数 f ? n ? ?

?

*

? 是正整数 n 的最佳分解

p 3 ,例如 f ?12 ? ? . q 4

关于函数 f ? n ? 有下列叙述:① f ? 7 ? ? 正确的序号为

1 3 4 9 ,② f ? 24 ? ? ,③ f ? 28 ? ? ,④ f ?144 ? ? .其中 7 8 7 16

(填入所有正确的序号) .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)在梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? 2 , BC ? 5 ,点 E 、 F 分别在 AB 、

CD 上,且 EF ? AD ,若

AE 3 ? ,则 EF 的长为 EB 4
? ?



15.坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2, ( 线 l 的极坐标方程为 ... .

??

? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,则直 6? 3

?

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 如图2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12 海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔 船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. C
?



西

?
B

60?

A



南 17. (本小题满分12分) 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学 生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记 忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能 力为中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概 率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ? ,求 随机变量 ? 的数学期望 E? . 18. (本小题满分14分) 一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成, A 、B 、C 在圆 O 的圆周上, (主) 点 其正 视图、 (左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 3 所示, 其中 EA ? 平面ABC ,AB ? AC , ? AC , AB

AE ? 2 .
(1)求证: AC ? BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图
图3 3

侧(左)视图

19. (本小题满分14分) 已知数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ?

? n ? 1? an ,且 a
2

1

? 1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? ln an ,是否存在 k ( k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.若存在,求出 所有符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.
?

20. (本小题满分14分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O :x 2 ? y 2 ? b2(其中原点 O 为圆心) 过双曲线 C 上 , 2 a b

一点 P ? x0 , y0 ? 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B . (1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求双曲线离心率 e 的取值范围;
?

(2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值.

21. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k ?Z ,且 k ?

f ? x? x ?1

对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值;

n (3)当 n ? m ? 4 时,证明 mn

?

? ? ? nm ? .
m m n

4

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.

3 2

10. f ? x ? ? ? x ? x
3

2

11.4

12.11

13.①③

14.

23 7

15. ? sin ?

4? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1或 ? cos ? ? ? ? ? 1 或 ? sin ? ? ? ? ? 1 或 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 3 ? ?3 ? ? ?6 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等. ) 解: (1)依题意, ?BAC ? 120 , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , ?BCA ? ? .?????????2分
?

在△ ABC 中,由余弦定理,得

北 C

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ????????4分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .
解得 BC ? 28 . ?????????????????????6分

BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.?????????????7分
所以渔船甲的速度为 (2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 ,
?

西

?
B

60

?

A





?BCA ? ? ,
由正弦定理,得

AB BC .????????????????9分 ? sin ? sin120?

AB sin120? 即 sin ? ? ? BC

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14
5

答: sin ? 的值为

3 3 .????????????????????12 分 14

方法2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由余弦定理,得 cos ? ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 .???????????????9分 2 AC ? BC

即 cos ? ?

202 ? 282 ? 122 13 ? . 2 ? 20 ? 28 14
2 2

3 3 ? 13 ? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 14 ? 14 ?
答: sin ? 的值为

3 3 .????????????????????12 分 14

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识,考查运算求解能力等. ) 解: 由表格数据可知, (1) 视觉记忆能力恰为中等, 且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 ?10 ? a ? 人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A , 则 P( A) ?

10 ? a 2 ? ,解得 a ? 6 .??????????????????2 分 40 5

所以 b ? 40 ? (32 ? a) ? 40 ? 38 ? 2 . 答: a 的值为 6, b 的值为 2.?????????????????????3 分 (2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法 1:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 所以 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

C3 124 123 32 ? 1? ? . 3 C40 247 247

答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概 率为

123 .???????????????????????6 分 247
2 2 3 C1 C32 ? C8 C1 ? C8 123 8 32 ? . C3 247 40

方法 2:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 所以 P ? B ? ?

答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概 率为

123 .????????????????????6 分 247
3

(3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C40 ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超

6

常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏 高或超常的结果数为 C 24 C16 ,?????????7 分 所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概 率为 P(? ? k ) ?
3? Ck C16 k 24 , ? k ? 0,1, 2,3? ??????????8 分 C3 40
k 3? k

? 的可能取值为 0,1,2,3,??????????????????9 分
因为 P (? ? 0) ?
3 C0 C16 14 C1 C2 72 24 ? , P (? ? 1) ? 243 16 ? , 3 C40 247 C40 247

P (? ? 2) ?

C 2 C1 C3 C 0 552 253 24 16 ? , P(? ? 3) ? 243 16 ? , 3 C 40 1235 C40 1235

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 0 ?

0

1

2

3

14 247

72 247

552 1235

253 1235

????????10 分

14 72 552 253 2223 9 ? ? . ?3 ? ?1? ?2 ? 247 247 1235 1235 1235 5 9 答:随机变量 ? 的数学期望为 .????????????????12 分 5
(若将抽取的 3 人理解为可重复抽取,而采用二项分布求解,可酌情给分) 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线线、线面关系,二面角,三视图等知识,考查化归与转化数学思想方法,以及空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. ) 方法 1: (1)证明:因为 EA ? 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即 ED ? AC . 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .???????????????4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ? ????????????????6 分 ? ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
?r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

E C A1
1

O B

A

D1
1

D

所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .?????????????????????????7 分

7

过点 C 作 CH ? BD 于点 H ,连接 AH , 由(1)知, AC ? BD , AC ? CH ? C ,所以 BD ? 平面 ACH . 因为 AH ? 平面 ACH ,所以 BD ? AH . 所以 ?AHC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.????????????9 分 由(1)知, AC ? 平面 ABD , AH ? 平面 ABD , 所以 AC ? AH ,即△ CAH 为直角三角形. 在 Rt △ BAD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 ,则 BD ? 由 AB ? AD ? BD ? AH ,解得 AH ? 因为 tan ?AHC ?
?

AB 2 ? AD 2 ? 2 3 .

2 6 . 3

AC ? 3 .?????????????????????13 分 AH

所以 ?AHC ? 60 . 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .????????????14 分
?

方法 2: (1)证明:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ? ????????????????2 分 ? 1 ?2rh ? ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
?r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

E C A1
1

O B

A

D1
1

D

所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .?????????????????3 分 以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

???? ??? ? D ? 0, 0, 0? , D1 ? 4, 0, 0 ? , A ? 0, 0, 2 ? , B ? 2, 2, 2 ? ,C ? 2, ?2, 2 ? , AC ? ? 2, ?2, 0 ? , DB ? ? 2, 2, 2 ? .
???????5 分

???? ??? ? 因为 AC ?DB ? ? 2, ?2, 0 ?? 2, 2, 2 ? ? 0 , ?
所以 AC ? DB . 所以 AC ? BD .???????????????????9 分 A1
1

z E C O B D y A

??? ?

??? ?

??? ? (2)解:设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量,因为 BC ? ? 0, ?4,0 ? ,

??? ? ?n?BC ? 0, ??4 y ? 0, ? 所以 ? ??? 即? ? ?n?DB ? 0. ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?

x D1
1

取 z ? ?1 ,则 n ? ?1, 0, ?1? 是平面 BCD 的一个法向量.????????11 分

8

由(1)知, AC ? BD ,又 AC ? AB , AB ? BD ? B ,所以 AC ? 平面 ABD . 所以 AC ? ? 2, ?2, 0 ? 是平面 ABD 的一个法向量.????????????12 分

????

???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? , ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
所以 n, AC ? 60 .
?

????

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .??????????????14 分
?

????

方法 3: (1)证明:因为 EA ? 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即 ED ? AC . 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD , 所以 AC ? BD .??????????????????????????4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ? ????????????????6 分 ? 1 ?2rh ? ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
?r ? 2, 解得 ? ?h ? 2.

E C A1
1

O B

A

D1
1

D

所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .????????????????????7 分 以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

??? ? ??? ? D ? 0, 0, 0? , D1 ? 4, 0, 0 ? , A ? 0, 0, 2 ? , B ? 2, 2, 2 ? ,C ? 2, ?2, 2 ? , BC ? ? 0, ?4, 0 ? , DB ? ? 2, 2, 2 ? .
?????9 分 设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量, z E C A1
1

??? ? ?n?BC ? 0, ??4 y ? 0, ? 则 ? ??? 即? ? ?n?DB ? 0. ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
取 z ? ?1 ,则 n ? ?1, 0, ?1? 是平面 BCD 的一个法向量.???11 分 由(1)知, AC ? BD ,又 AC ? AB , AB ? BD ? B , 所以 AC ? 平面 ABD .

O B

A

x D1
1

D y

???? 所以 AC ? ? 2, ?2, 0 ? 是平面 ABD 的一个法向量.???????????12 分

9

???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? , ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
所以 n, AC ? 60 .
?

????

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .??????????????14 分
?

????

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,以及函 数与方程、化归与转化等数学思想. ) (1)解法 1:当 n ? 2 时, an ? Sn ? S n ?1 ? 即

? n ? 1? an ? nan?1 ,?????????2 分
2 2

an an?1 ? ? n ? 2 ? .????????????????????????4 分 n n ?1 a1 ? an ? ? 是首项为 ? 1 的常数列.?????????????????5 分 1 ?n?

所以数列 ? 所以

an ? 1 ,即 an ? n ? n ? N* ? . n

所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? n n ? N 解法 2:当 n ? 2 时, an ? Sn ? S n ?1 ?

?

*

? .???????????????7 分
2

? n ? 1? an ? nan?1 ,???????????2 分
2



an n ? ? n ? 2 ? .?????????????????????????4 分 an ?1 n ? 1 an an ?1 a a n n ?1 3 2 ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ? ? ??? ? ? 1 ? n .????5 分 an ?1 an ?2 a2 a1 n ?1 n ? 2 2 1

所以 an ?

因为 a1 ? 1 ,符合 an 的表达式.?????????????????????6 分 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? n n ? N (2)假设存在 k k ? 2, m, k ? N
2

?

*

? .???????????????7 分

?

*

? ,使得 b

k

、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列,

则 bk bk ? 2 ? bk ?1 .?????????????????????????????8 分 因为 bn ? ln an ? ln n (n≥2) , 所以

10

bk bk ? 2

2 2 ? ln k ? ln ? k ? 2 ? ? ? ln ? k ? 2k ? ? ? ? ln k ? ln(k ? 2) ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? ?

2

????????11 分

? ln ? k ? 1?2 ? 2 ?? ? ? ?ln ? k ? 1? ? ? bk2?1 .????????13 分 ? ? 2 ? ? ? ?
这与 bk bk ? 2 ? bk ?1 矛盾.
2

2

故不存在 k ( k ? 2, k ? N ) ,使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.????????14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及 数形结合、分类讨论思想和创新意识等. )

?

c b 解: (1)因为 a ? b ? 0 ,所以 ? 1 ,所以 e ? ? a a

a2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? ? 2 .??1 分 a ?a?
2

? 由 ?APB ? 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP ?

2b .
2

c b 2 因为 OP ? 2b ? a ,所以 ? ,所以 e ? ? a a 2
故双曲线离心率 e 的取值范围为 ?
2 2 2

a2 ? b2 6 ?b? ? 1? ? ? ? .3 分 a 2 ?a?

? 6 ? , 2 ? .????????????????4 分 ? ? 2 ?
2 2 2

(2)方法 1:因为 PA ? OP ? OA ? x0 ? y0 ? b , 所以以点 P 为圆心, PA 为半径的圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x0 ? y0 ? b .???5 分
2 2 2 2 2

因为圆 O 与圆 P 两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB ,???????????6 分

? x 2 ? y 2 ? b2 , ? 所以联立方程组 ? ????????????7 分 2 2 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x02 ? y02 ? b2 . ? ?
2 消去 x , y ,即得直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b .????????????8 分
2

2

方法 2:设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ,已知点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 y , kOA ? 1 ? 其中x1 ? x0 , x1 ? 0 ? . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 ? ? ?1 .???????????5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ? OA ,所以 k PA kOA ? ?1 ,即 整理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x1 ? y1 .
2 2

因为 x1 ? y1 ? b ,所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b .?????????????????6 分
2 2 2

2

因为 OA ? OB , PA ? PB ,根据平面几何知识可知, AB ? OP .

11

因为 kOP ?

y0 x ,所以 k AB ? ? 0 .????????????????????7 分 x0 y0
x0 ? x ? x1 ? . y0

所以直线 AB 方程为 y ? y1 ? ? 即 x0 x ? y0 y ? x0 x1 ? y0 y1 .

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b .???????????????????8 分
2

方法 3:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,已知点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 y , kOA ? 1 ? 其中x1 ? x0 , x1 ? 0 ? . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 ? ? ?1 .???????????5 分 x0 ? x1 x1
y A

因为 PA ? OA ,所以 k PA kOA ? ?1 ,即 整理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x1 ? y1 .
2 2

因为 x ? y ? b ,所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b .??6 分
2 1 2 1 2

2

P

这说明点 A 在直线 x0 x ? y0 y ? b 上. ????7 分
2

同理点 B 也在直线 x0 x ? y0 y ? b 上.
2

O B

x

所以 x0 x ? y0 y ? b 就是直线 AB 的方程. ??8 分
2

(3)由(2)知,直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b ,
2

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

b2 x0 2 ? y0 2



因为 AB ? 2 OA ? d 2 ? 2 b2 ?
2

2b x0 2 ? y02 ? b2 b4 , ? x0 2 ? y0 2 x0 2 ? y0 2

所以三角形 OAB 的面积

S?

b 1 ? AB ? d ? 2

3

x0 2 ? y0 2 ? b 2 x0 2 ? y0 2

.??????????????10 分

以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法: 方法 1:因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上, a 2 b2

所以

2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 2 ? 2 ? 1 ,即 y0 ? ? x02 ? a 2 ? . 2 2 a a b

设t ?

? b2 ? x0 2 ? y0 2 ? b2 ? ?1 ? 2 ? x0 2 ? 2b2 ? a 2 ? b2 , ? a ?

12

所以 S ? 因为 S ? ?

b 3t .????????????????????????????11 分 t 2 ? b2

?b3 ? t ? b ?? t ? b ?

? t 2 ? b2 ?

2



所以当 0 ? t ? b 时, S ? ? 0 ,当 t ? b 时, S ? ? 0 . 所以 S ?

b 3t 在 ? 0, b ? 上单调递增,在 ? b, ?? ? 上单调递减.????????12 分 t 2 ? b2
2

当 a ? b ? b ,即 b ? a ?
2

2b 时, S最大值 ?

b3 ? b 1 2 ? b ,????????13 分 b2 ? b2 2

当 a ? b ? b ,即 a ?
2 2

2b 时, S最大值 ?

?

b3 ? a 2 ? b 2 a 2 ? b2
2

? ?b

?
2

b3 a 2 ? b 2 . a2

综上可知,当 b ? a ? 方法 2:设 t ?

b3 a 2 ? b 2 1 2b 时, S最大值 ? b2 ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? .???14 分 a2 2

x0 2 ? y0 2 ? b 2 ,则 S ?

b3t b3 .???????????11 分 ? b2 t 2 ? b2 t? t

2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y2 2 因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,即 2 ? 2 ? 1 ,即 y0 ? ? x02 ? a 2 ? . 2 a b a a b

所以 t ?

? b2 ? 2 x0 ? y0 ? b ? ?1 ? 2 ? x0 ? 2b2 ? a 2 ? b2 . ? a ?
2 2 2

b2 b2 ? t ? b ?? t ? b ? ? ?t ? ? 1 ? 2 ? 令 g ?t ? ? t ? ,则 g . t t t2
所以当 0 ? t ? b 时, g ? ? t ? ? 0 ,当 t ? b 时, g ? ? t ? ? 0 . 所以 g ? t ? ? t ?
2 2

b2 在 ? 0, b ? 上单调递减,在 ? b, ?? ? 上单调递增.????????12 分 t
2b 时, S最大值 ?

当 a ? b ? b ,即 b ? a ?

b3 1 ? b 2 ,????????13 分 2 b 2 b? b
b3 b2 a 2 ? b2 b3 a 2 ? b 2 ? . a2

当 a ? b ? b ,即 a ?
2 2

2b 时, S最大值 ?

a 2 ? b2 ?

综上可知,当 b ? a ?

b3 a 2 ? b 2 1 2b 时, S最大值 ? b2 ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? .???14 分 a2 2

13

b3 t ? b 2 ?1? 1 ? b3 ?b 2 ? ? ? .???????11 分 方法 3:设 t ? x0 ? y0 ,则 S ? t ?t ? t
2

2

2

2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y2 2 因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,即 2 ? 2 ? 1 ,即 y0 ? ? x02 ? a 2 ? . 2 a b a a b

所以 t ? x0 ? y0 ? ?1 ?
2 2

? ?

b2 ? 2 x ? b2 ? a 2 . 2 ? 0 a ?
2

令 g ? u ? ? ?b u ? u ? ?b ? u ?
2 2

? ?

1 ? 1 ? 2, 2 ? 2b ? 4b

2

所以 g ? u ? 在 ? ??,

? ?

1 ? ? 1 ? 上单调递增,在 ? 2 , ?? ? 上单调递减.???????12 分 2 ? 2b ? ? 2b ?

因为 t ? a ,所以 u ? ? ? 0, 当

1 ? t ?

1? ?, a2 ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ,即 b ? a ? 2b 时, ? g ? u ? ? max ? g ? 2 ? ? 2 ,此时 S最大值 ? b3 ? ? b2 . ? ? 2 2b a 2b 2 ? 2b ? 4b
????13 分



2 2 b3 a 2 ? b 2 1 1 ? 1 ? a ?b ,此时 S最大值 ? . ? 2 ,即 a ? 2b 时, ? g ? u ? ? max ? g ? 2 ? ? ? ? a2 a4 2b 2 a ?a ?

综上可知,当 b ? a ?

b3 a 2 ? b 2 1 .???14 分 2b 时, S最大值 ? b2 ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? a2 2

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及创新 意识. ) (1)解:因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1 .???????????1 分 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e ? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 . 所以 a ? 1 .???????????????????????????????2 分 (2)解:由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以 k ?

f ? x? x ?1

对任意 x ? 1 恒成立,即 k ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立.?????????3 分 x ?1

令 g ? x? ?

x ? x ln x , x ?1

14

则 g? ? x? ?

x ? ln x ? 2

? x ? 1?

2

,??????????????????????????4 分

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , 则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0, x x

所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.?????????????????5 分 因为 h ? 3? ? 1 ? ln 3 ? 0, h ? 4 ? ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4 ? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,??????6 分 所以函数 g ? x ? ? 所以

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增. x ?1
x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ? 1 x0 ?1 ? x0 ? 2 ? x0 ? 1 ? x0 ? ? 3, 4 ? .???????7 分

? g ? x ? ? min ? g ? x0 ? ? ? ?

?

所以 k ? ? g ? x ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? . ? ? min 故整数 k 的最大值是 3.?????????????????????????8 分 (3)证明 1:由(2)知, g ? x ? ?

x ? x ln x 是 ? 4, ?? ? 上的增函数,????????9 分 x ?1 n ? n ln n m ? m ln m 所以当 n ? m ? 4 时, .????????????????????10 分 ? n ?1 m ?1
即 n ? m ? 1??1 ? ln n ? ? m ? n ? 1??1 ? ln m ? . 整理,得

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? ? n ? m ? .???????????????11 分
因为 n ? m , 所以 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n .???????????12 分 即 ln n
mn

? ln mm ? ln mmn ? ln nn .
m

即 ln n m 所以

?

mn

? ? ln ? m
m n

mn

n n ? .??????????????????????13 分

? mn ? ? ? nm ? .???????????????????????????14 分
n m

证明 2:构造函数

f ? x ? ? mx ln x ? m ln m ? mx ln m ? x ln x ,???????????????9 分
则 f ? ? x ? ? ? m ? 1? ln x ? m ? 1 ? m ln m .??????????????????10 分

15

因为 x ? m ? 4 ,所以 f ? ? x ? ? ? m ? 1? ln m ? m ? 1 ? m ln m ? m ? 1 ? ln m ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? m, ?? ? 上单调递增.??????????????11 分 因为 n ? m , 所以 f ? n ? ? f ? m ? . 所以

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? m2 ln m ? m ln m ? m2 ln m ? m ln m ? 0 .?12 分
即 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n . 即 ln n
mn

? ln mm ? ln mmn ? ln nn .
m

即 ln n m
n 所以 mn

?

mn

? ? ln ? m

mn

n n ? .???????????????????????13 分

?

? ? ? nm ? .????????????????????????14 分
m m n

16


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