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第三讲 函数的性质学生使用


第三讲
第 1 课时
基础过关

函数的性质
函数的单调性

一、单调性 1.定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 、x2, 当 x1、<x2 时,①都有 个 函数的一个 ;②都有 . . ,则称 f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一

,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称

若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f(x)称为 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ .

(2) 导数法, 若函数 y=f (x)在定义域内的某个区间上可导, ①若 在这个区间上是增函数;②若 二、单调性的有关结论 1.若 f (x), g(x)均为增(减)函数,则 f (x)+g(x) 2.若 f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; ; 函数; ,则 f (x)在这个区间上是减函数.

, 则 f (x)

4.复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同,则 f [g(x)] 为 ,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为 . .

5.奇函数在其对称区间上的单调性 典型例题
x

,偶函数在其对称区间上的单调性

例1.

已知函数 f(x)=a +

x?2 (a>1),证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.? x ?1

变式训练 1:讨论函数 f(x)=x+

a (a>0)的单调性.? x

例2.

判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.
2

? 变式训练 2:求函数 y= log (4x-x )的单调区间.?
1 2

2

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例 3. 求下列函数的最值与值域:? (1) y=4- 3 ? 2 x ? x ; (2)y=x+
2

4 ;(3)y= x 2 ? 1 ? (2 ? x) 2 ? 4 .? x

? 例 4. (2009·广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( 且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;? (2)判断 f(x)的单调性;? (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.?
x1 ) =f(x1)-f(x2), x2

变式训练 4:函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.? 小结归纳
2

1.证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有:(1) 定义法.其过程是:作差——变形 ——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;(2) 求导法. 其过程是:求导——判断导函数的符号——下结论. 2.确定函数单调区间的常用方法有:(1)观察法;(2)图象法(即通过画出函数图象,观察 图象,确定单调区间) ;(3)定义法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内. 3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类 是给定单调性求参数范围, 其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式, 结合定义域求出 参数的取值范围.

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第 2 课时
基础过关

函数的奇偶性

1.奇偶性: ① 定义:如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有 若 有 ,则称 f (x)为奇函数;

,则称 f (x)为偶函数. 如果函数 f (x)不具有上述性质,则 f (x)不具 . 如果函数同时具有上述两条性质,则 f (x) .

② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 对称. 对称;一个函

2) 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 2.与函数周期有关的结论:

①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、或 f ( x ? a) f ( x) ? m( a 、 m 均为非零常 数, a ? 0 ) ,都可以得出 f ( x) 的周期为 ;

② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线

x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f ( x) 周期
典型例题

例 1.

判断下列函数的奇偶性.?
2 2

(1)f(x)= x ? 1 ? 1 ? x ;? (2)f(x)=log2(x+ x ? 1 ) (x∈R);?
2

(3)f(x)=lg|x-2|.? 变式训练 1:判断下列各函数的奇偶性:? (1)f(x)=(x-2) (2)f(x)=
2? x ;? 2? x

lg(1 ? x 2 ) ;? | x 2 ? 2 | ?2
?x ? 2 ?? x ? 2 ? ( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 ) .

(3)f(x)= ? ?0

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例2

已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).?
1 2

(1)求证:f(x)是奇函数;? (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值.?
+

变式训练 2:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式.

例3

已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x)?.?
1 2 1 2

(1)求证:f(x)是周期函数;? (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 009]上的所有 x 的 个数.?

变式训练 3:已知函数 f(x)=x +|x-a|+1,a∈R.? (1)试判断 f(x)的奇偶性;? (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. . 小结归纳 1. 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质, 对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判 断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断 (或证明) 函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性, 可以在定义域内找到 一对非零实数 a 与-a,验证 f(a)±f(-a)≠0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究 y 轴一侧的性质,再根据其对 称性得到整个定义域上的性质. 3.函数的周期性:第一应从定义入手,第二应结合图象理解.
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2

1 2

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