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26.复数与算法


算法与复数
(一)知识结构

复数与复数分类 复数相等的充要条件 复数的概念 共轭复数 复数的模 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 复数 复数的加法法则 复数加法的几何意义 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 复数的减法法则 复数减法的几何意义 复数的运算 复平面上两点间的距离 d=|z1-z2| 复数的乘法法则

(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

复数的除法法则

a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(二)课时目标 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法和几何意义,会进行复数代数形式的四则运算. 3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

4.了解算法的程序框图的三种逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构. 5.了解几种基本的算法语句——赋值语句、输入和输出语句、条件语句、循环语句,

基础训练
1.已知复数 z=1+i,则 等于 . .

2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值

3.若(1+ai) =-1+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则|a+bi|=

2

.

典型例题
1.执行如图的程序框图,如果输入的 x, y ? R ,求输出的 S 的最大值

2.实数 m 分别取什么数值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i
(1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方.

3.已知关于 x 的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值.

(2)若复数满足| -a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.

检测训练
1.根据如图所示的框图,对大于 2 的整数 N,求输出的数列的通项公式__________..

2.运行下列程序,则其输出的结果为__________.

S=0 n=2 i=1 DO S=S+1/n n=n*2 i=i+1 LOOP UNTIL i>=7 PRINT S END 3.已知复数 z1=cosθ -i,z2=sinθ +i,则 z1·z2 的实部的最大值为 值为 . ,虚部的最大


基础训练
1.【解析】. = =



=2i.

2.【解析】i=1 时,T=3,S=3;i=2 时,T=5,S=15; i=3 时,T=7,S=105,i=4 输出 S=105.
3.【解析】∵(1+ai) =-1+bi,
2

∴1-a +2ai=-1+bi,∴

2

解得



∴|a+bi|=

=

=

.

答案:

典型例题
1.【解题提示】方法一:利用不等式的基本性质;方法二:利用线性规划求解. 【解析】选 C. 方法一:程序框图的实质是若 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ,则 S ? 2 x ? y ;否 则, S ? 1 .当 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 时, 0 ? y ? 1 ? x ,得 0 ? x ? 1 ,从而

0 ? 2 x ? y ? 2 ,即,当 x ? 1, y ? 0 时, Smax ? 2 ?1 ? 0 ? 2 ( ? S ? 1 );

方法二:程序框图的实质是若 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ,则 S ? 2 x ? y ;否则, S ? 1 .当

?x ? 0 ? ? y ? 0 时,由线性规划如图,可知,当 x ? 1, y ? 0 时, Smax ? 2 ?1 ? 0 ? 2 ?x ? y ? 1 ?
( ? S ? 1 ).

2 ? ?m +5m+6=2, ? 2.解:(1)根据复数相等的充要条件得 2 解得 m=-1. ?m -2m-15=-12, ?

?m2+5m+6=12, ? (2)根据共轭复数的定义得? 2 解得 m=1. ?m -2m-15=-16, ? (3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0,解得 m<-3 或 m>5.

【解析】(1)∵b 是方 程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, ∴(b -6b+9)+(a-b)i=0, ∴ 解得 a=b=3. (2)设 z=s+ti(s,t∈R),其对应点为 Z(s,t), 由| -3-3i|=2|z|, 得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2), 即(s+1)2+(t-1)2=8, ∴Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示,
2

当 Z 点在 OO1 的连线上时, |z|有最大值或最小值. ∵|OO1|= ,半径 r=2 ,

∴当 z=1-i 时, |z|有最小值且|z|min= .

【变式备选】若虚数 z 同时满足下列两个条件: ①z + 是实数;②z+3 的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由. 【解析】设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), 则 z+ =a+bi+

=a(1+

)+b(1-

)i.

又 z+3=a+3+bi,z+ 是实数,

根据题意有

∵b≠0, ∴.

解得



∴z=-1-2i 或 z=-2-i

检测训练
1.【解析】 当 S=1,i=1 时,执行循环体,a1=2,S=2,i=2, 若不满足条件 i>N,执行循环体,a2=4,S=4,i=3, 若不满足条件 i>N,执行循环体,a3=8,S=8,i=4, 若不满足条件 i>N,执行循环体,a4=16,S=16,i=5, 若输入条件 N=4,此时满足条件 i>N,即输出 a4=16, 所以 an=2n.
1 3 2.解析:第 1 次循环:S= ,n=4,i=2;第 2 次循环:S= ,n=8,i=3; 2 4 7 第 3 次循环:S= ,n=16,i=4; 8 15 第 4 次循环:S= ,n=32,i=5; 16 31 第 5 次循环:S= ,n=64, i=6; 32 63 第 6 次循环:S= ,n=128,i=7. 64 63 满足条件结束循环,输出 S 的值为 . 64

【解析】z1·z2=(cosθ sinθ +1)+i(cosθ -sinθ ). 实部为 cosθ sinθ +1=1+ sin 2θ ≤ ,

所以实部的最大值为 .

虚部为 cosθ -sinθ = 所以虚部的最大值为

sin( -θ )≤ .答案:

,


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