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四川省南充高中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

时间:2012-12-25


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四川省南充高中 2012-2013 学年高一上学期期中考试数学试 题
(本试卷满分 120 分,100 分钟完成) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、 A ? ? x, y ? x ? y ? 3?, B ? ? x, y? x ? y ? 1?,则 A ? B ? (

? ? A x ? 2, y ? 1 B ?2,1? C ?2,1? D )

??2,1??
) D loga a ? 1 )

2、设 0 ? a ? 1 , x ? R ,下列结论错误的是( A loga 1 ? 0 B loga a x ? x

C loga x 2 ? 2 loga x

3、 a ? 0.32 , b ? log2 0.3 , c ? 2 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A a?c?b
1 3

B a?b?c

C b?c?a

D b?a?c )

4、函数 f ?x ? ? x ? x ? 4 的零点所在的区间是( A ?2,3? B ?1,2? C ?0,1?

D ?3,4? ) B f ?x ? ?
x2 ?1 , g ?x ? ? x ? 1 x ?1

5、下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A f ?x ? ? x 2 , g ?x ? ?

? x?

2

C f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1, g ?x ? ? x 2 ? 1

D f ?x ? ? x , g ?x ? ? x 2

6、张三在放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他 们索性停下来将问题彻底解决; 最后他快速地回到了家。下列图象中与这一过程 吻合得最好的是( )
离 家 的 距 离 离 家 的 距 离 离 家 的 距 离 离 家 的 距 离

A

时间

B

时间

C

时间

D

时间

x ?1 的图象, 只需将函数 y ? log3 x 图象上的所有点 ( 9 A 向右平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 B 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 C 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度 D 向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

7、 要得到函数 y ? log 3



8、已知函数 y ?

1 m x ? m x?1
2

的定义域是 R ,则实数 m 的取值范围是(



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A ?? ?,0? ? ?4,??? B ?0,4?

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C ?0,4? D ?0,4?

? ? ? 1 ? ? ? 9、记符号 A ? B ? ?x x ? A, 且x ? B?,若 A ? ? x ? 2 x ? 2 ? , B ? ? x log 1 x ? 1? , ? ? ? 2 ? 3 ? ?

则 A? B ?(
1? ? A ? ? 1, ? 3? ?


1? ? B ? ? 1, ? 3? ? ?1 ? C ? ,?? ? ?2 ?
? 1? D ? 0, ? ? 3?

10、已知函数 y ? f (x) 为 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 时,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1), 则 f (?11) ? f (12) 等于(
3 2 二、填空题(每题 4 分,共 16 分)



A log2 6

B log 2

C 1

D ?1

11、已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b, 用字母 a和b 表示 log5 12 ? 12、函数 y ? log0.2 ( x2 ? 3x ? 2) 的增区间是 13 、 设 f ( x) ?
1? x , 又 记 : f1 ( x) ? f ( x), f k ?1 ( x) ? f ( f k ( x) ) , 1,2,?, 则 k? 1? x

f 2012 (2012 ? )
14、以下结论正确的有 (写出所有正确结论的序号) 1 ①函数 y ? 在 ?? ?,0? ? ?0,??? 上是减函数; ②对于函数 f ?x? ? ? x 2 ? 1 , x1 ? x 2 当 x

? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x ? x2 ? 时, 都有 ③已知幂函数的图象过点 ? 2,2 5 ? , ? f? 1 ?; ? ? 则当 x ? 1 2 ? 2 ? ? ?
3

时,该函数的图象始终在直线 y ? x 的下方;④奇函数的图像必过坐标原点;⑤ 函数 f (x) 对任意实数 x, y , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1, 且当 x ? 0时,f ( x) ? 1, 则 f (x) 在 R 上为增函数。 三、解答题(15、16、17 每题 10 分,18、19 每题 12 分) 15、定义在 ?1,64? 上的函数 f ?x? ? log2 x ? 1 ,函数 g ?x? ? ? f 2 ?x? ? f x 3

? ?

(1)求函数 g ?x ? 的定义域; (2)求函数 g ?x ? 的最值以及取最值时相应的 x 的值。

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16、 《中华人民共和国个人所得税法》 规定, 公民全月工资、 薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表 分段累计计算: 全月应纳税所得额 税率(%) 3 不超过 1500 元的部分 10 超过 1500 元至 4500 元的部分 20 超过 4500 元至 9000 元的部分 (1)若某人全月工资、薪金所得为 x ( 0 ? x ? 12500 )元,应纳税为 y 元,写出

y 与 x 的函数关系式;
(2)若某人一月份纳税 145 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少元。

17、已知函数 f ? x ? ? ax ?

b ? 5? (其中 a , b 为常数)的图象经过 ?1,2? , ? 2, ? 两点。 x ? 2?

(1)求函数 f ?x ? 的解析式; (2)证明函数在 ?1,??? 上是增函数; (3)若不等式
4a ?1 ? ? 2 a ? f ?x ? 对任意的 x ? ? ,3? 恒成立,求实数 a 的取值集合。 3 ?2 ?

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18、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax , x ? ?? 1,1? (1)若函数 f (x) 的最小值为 g ?a ? ,求 g ?a ? ; (2)判断并证明函数 g ?x ? 的奇偶性; (3)若函数 h?x ? ? g ?x? ? x ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围。

19 、 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 不 恒 为 0 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的
a, b ? R有f (ab) ? af (b) ? bf (a) 。

(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f (x) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f (2) ? 2, 求使得
f (2 ? n ) 1 ? ? (n ? N ? ) 成立的最小正整数 n 的值。 n 8

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南充高中_______ 校区

_______级_______班 姓名_______________ 学号____________ 考号

/ / / / / / / / / / / / / / / / /密 / / / / / / / / / / / / 封 / / / / / / / / / / / / 线 / / / / / / / / / / / / / / / / / /

16、

15、

13、

11、

得分

题号

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二、填空题(每题 4 分,共 16 分)

三、解答题(15、16、17 每题 10 分,18、19 每题 12 分)

阅卷人

阅卷人

二 15 16 17

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18

高 2012 级期中考试数学答题卷

14、

12、

19 总分

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总分人

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17、

阅卷人

18、

阅卷人

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19、

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2012 级半期考试数学答案
一、选择题:DCDAD DBDAD 2a ? b 二、填空题:11、 12、 ?? ?,1? 1? a 三、解答题 13、2012 14、②③⑤

? 1 ? x ? 64 15 、 解 : 1 ) 由 已 知 有 ? ( ? 1 ? x ? 4 , 故 函 数 g ?x ? 的 定 义 域 为 3 ?1 ? x ? 64

?1,4?


……4 分 2
2



g ?x? ? ??log2 x ? 1? ? log2 x 3 ? 1 ? ? log2 x ? 5 log2 x ? 2 2
5 ? 17 ? ? ?u ? 5u ? 2 ? ?? u ? ? ? ? ? ?u ? 2? 4 ?
2 2

x ? ?1,4? , u ? log2 x ? ?0,2? ,?? ?u ? 在 ?0,2? 上单调递增
当 u ? log2 x ? 0 即 x ? 1 时, g min ?x ? ? ? ?0? ? ?2 ; 当 u ? log2 x ? 2 即 x ? 4 时, g min ?x? ? ? ?2? ? 4 。……10 分

0,0 ? x ? 3500 ? ? 0.03?x ? 3500?,3500? x ? 5000 ? 16、解: (1)根据题意有 y ? ? ? 45 ? 0.1?x ? 5000?,5000? x ? 8000 ?345? 0.2?x ? 8000?,8000? x ? 12500 ?

……5 分

00 4 ? (2) (1) y ? 15 时,3500 ? x ? 8000 , 45 ? 0.1?x ? 5000 ? 145 ? x ? 60 由 知 故

故该人当月的工资、薪金所得是 6000 元。 ? a?b ? 2 ?a ? 1 ? b 5?? 17、解: (1)由已知有 ? ?b ? 1 ?2a ? 2 ? 2 ? (2)设 x2 ? x1 ? 1 ,则 f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? x2 ?

……10 分
? f ?x ? ? x ? 1 x

…..3 分

x ? x2 1 1 ? x1 ? ? x2 ? x1 ? 1 x2 x1 x1 x2

? 1 ? ?x2 ? x1 ??x1 x2 ? 1? ? ?x2 ? x1 ??1 ? ? x x ?? ? x1 x2 1 2 ? ?

? x2 ? x1 ? 1

? x1 x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? 0
……6 分

故 f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0 即 f ?x2 ? ? f ?x1 ? , f ?x ? 在 ?1,??? 上是增函数。
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(3)要使不等式
4a ? 2a ? f m 3

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4a ?1 ? ? 2 a ? f ?x ? 对 任 意 的 x ? ? ,3? 恒 成 立 , 只 需 3 ?2 ?

a x

?x ?, x ? ? 1 ,3? ? ?
?2 ?

由(2)知 f ?x ? 在 ?1,??? 上单调递增,同理可证 f ?x ? 在 ?0,1? 上单调递减。
?1 ? ?1 ? 当 x ? ? ,3? 时, f ?x ? 在 ? ,1? 上单调递减, f ?x ? 在 ?1,3? 上单调递增。 ?2 ? ?2 ?
10 10 ?1 ? ?1? 5 又 f ? ? ? , f ?3? ? ,? 当 x ? ? ,3? 时, f max ? x ? ? f ?3? ? 3 3 ?2 ? ?2? 2

?

4a 10 ? 2a ? ? 4 a ? 3 ? 2 a ? 10 ? 0 ? 2 a ? 2 2 a ? 5 ? 0 ? 2 a ? 5 ? a ? log2 5 3 3

?

??

?

? a ? ?log2 5,???

……10 分
2

18、解: (1) f ?x? ? x 2 ? 2ax ? ?x ? a? ? a 2 , x ? ?? 1,1? 当 a ? ?1 时, f ?x ? 在 ?? 1,1?上单调递增,故 g ?a ? ? f min ?x? ? f ?? 1? ? 1 ? 2a ; 当 ? 1 ? a ? 1 时, g ?a? ? f min ?x? ? f ?a? ? ?a 2 ; 当 a ? 1 时, f ?x ? 在 ?? 1,1?上单调递减,故 g ?a ? ? f min ?x? ? f ?1? ? 1 ? 2a
? 1 ? 2a, a ? ?1 ? 故 g ?a ? ? ?? a 2 ,?1 ? a ? 1 ? 1 ? 2a, a ? 1 ?

……4 分

? 1 ? 2 x , x ? ?1 ? (2)由(1)知 g ? x ? ? ?? x 2 ,?1 ? x ? 1, g ?x ? 是偶函数,证明如下: ? 1 ? 2 x, x ? 1 ?

g ?x ? 的定义域为 R 关于原点对称

……5 分

当 x ? ?1 时, g ?x? ? 1? 2 x , ? x ? 1 ,则 g ?? x ? ? 1 ? 2?? x ? ? 1 ? 2 x ? g ?x ?
2 当 ? 1 ? x ? 1 时, g ?x ? ? ? x 2 , ? 1 ? ? x ? 1 ,则 g ?? x? ? ??? x? ? ? x 2 ? g ?x?

当 x ? 1 时, g ?x? ? 1? 2 x , ? x ? ?1 ,则 g ?? x ? ? 1 ? 2?? x ? ? 1 ? 2 x ? g ?x ? 故对任意 x ? R 都有 g ?? x ? ? g ?x ? ,所以 g ?x ? 是偶函数
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……8 分

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(3)函数 h?x ? ? g ?x? ? x ? m 有两个零点 ? 方程 h?x ? ? g ?x ? ? x ? m ? 0 有两个不 等实根

? 方程 g ?x? ? x ? m 有两个不等实根 ? 函数 g ?x ? 的图象与直线 y ? x ? m 有两个
交点 作出函数 g ?x ? 的图象与直线 y ? x ? m ,如图所示。 当抛物线 y ? ? x 2 与直线 y ? x ? m 只有一个交点时

?y ? x ? m 1 1 由? 得 x 2 ? x ? m ? 0 ,? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? m ? ,此时直线为 y ? x ? 2 4 4 ? y ? ?x
由图可知把直线 y ? x ?
y ? x ? m 有两个交点

1 向下平移时, m 的值减少,函数 g ?x ? 的图象与直线 4

1? ? 故 m ? ? ? ?, ? 4? ?

…… 12 分

19









1





a?b?0





f (0) ? 0; 令a ? b ? 1, 则f (1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0

……3 分

(2)∵ f (x ) 的定义域为 R,令 a ? ?1, b ? x, 则f (? x) ? ? f ( x) ? xf (?1) , 再令 a ? ?1, b ? ?1, 则f (1) ? ? f (?1) ? f (?1) = ? 2 f (?1) ? 0 ? f (?1) ? 0, 故 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f (x) 是奇函数
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……7 分

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(3)当 ab ? 0 时, 令 g ( x) ?

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f (ab ) f (a) f (b) ? ? ab a b

f ( x) , 即 f ( x) ? xg( x), 则 g (ab) ? g (a) ? g (b) ? g (a n ) ? ng(a) x

故 f (a n ) ? a n g (a n ) ? nan g (a) ? nan?1 ? ag(a) ? nan?1 f (a)
? f (a n ) ? a n ?1 f (a), n

f (2 ? n ) 1 1 故 ? ( ) n?1 f ( ), n 2 2
1 1 1 1 1 1 ? f (1) ? f (2 ? ) ? 2 f ( ) ? f (2) ? 2 f ( ) ? 1 ? 0, ? f ( ) ? ? , 2 2 2 2 2 2



1 1 1 1 1 f (2 ? n ) 1 ? ? (n ? N ? ) ? ( ) n ?1 f ( ) ? ? ? ( ) n ? ? n ? 3 2 2 8 2 8 n 8

故符合题意的最小正整数 n 的值为 4。

……12 分

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