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三种圆锥曲线定值题的共性


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20 0 1年 第 l 期  1

中学 数 学 月 刊 

? 3? 2  

三 种 圆锥 曲 线 定 值题 的 共 性 
余 合 桥  ( 北 省 孝 感 师 范 学校 湖 420 ) 3 10 

定值题 是

圆锥 曲线 中的一种 重要 题型 .   圆锥 曲线 中 的 定 值 题 类 型 很 多 , 合 性 很 强 , 综   解 答 它 有 一 定 的 难 度 . 是 圆 锥 曲 线 中 的 定  但 值 题 也 是 有 规 律 可 循 的 . 文 对 三 种 圆 锥 曲  本
线 定 值 题 的 共 性 进 行 一 些 探 索 , 中 揭示 一  从 些圆锥曲线定值题 的内在联系和共性.   椭 圆 、 曲 线 、 物 线 这 三 种 曲线 有 很 多  双 抛

此 题 即 为 三种 曲线 中 内容 完 全 相 同 的定 
值题.  

例 4 椭 圆 的 中 心 为 O, 椭 圆 上 任 取  在

两点PQ使 o = 0 则 ,,  PQ 9, 挪 + 。  
为定 值 ?  
双曲线亦有此定值题 .   3 三 种 曲线 中有 些 定 值 题 都 具 有 连锁 性 

共 性 , 曲 线 名 称 的 由来 、 义 、 程 以及 部  如 定 方 分 性 质 , 些 共 性 是 其 定 值 题 具 备 共 性 的 重  这
要依 据.   1 三 种 曲线 中 有 些 定 值 题 的 文 字 叙 述 完 全   
相 同 

圆锥 曲线 中可 以 由 一 个 定 值 题 引 申 出很  多 定 值 题 , 些 定 值 题 带 有 明显 的 连锁 性 . 这 如  有 心 圆锥 曲线 中关 于 面 积 的 定 值 题 就 有 很 多 
带有连锁性 .  

三 种 曲线 中有 些 定 值 题 不 论 是 定 值 表 达  式 还 是 定 值 结 论 都 完 全 相 同 , 此 可 用 完 全  因
相 同 的文 字 来 叙 述 .  

例 5 双 曲线 中 ,   共 轭 直 径 的 各 一 端 点  与 中 心 组 成 的 三 角 形 

例 1 过 椭 圆 的 焦 点 F 任 作 一 弦 AB, 则 
+  是 定值?  

的 面积 为一 定值 ( 图 
这 一 定 值 题 通 过 引 申 , 以变1 出很 多  可 图 换  

双 曲 线 、 物 线 都 有 这 一 定 值题 , 抛 因此 三  个 定 值 题 的 文 字 叙 述 完 全 相 同 , 至 可 以统  甚


连锁 定 值 题 . 圆亦 有 此共 性 . 如 关 于 切 线  椭 又 和 法线 的定 值题 也 有 很 多 带 有 连 锁 性 .  
例 6 P 为 椭 圆   
Y 

叙 述成一个定值题 .  
例 2 通 过 圆 锥 曲线 的焦 点 F 引 互 相 垂 

上 的一 点 ,   F F , z为 椭  圆 的 焦 点 . P 点 的  过



.  

直 两 F  F    的 弦PP, Q, Q 则
定值.  
题.  

+ 壶_     7 『 是

法 线 与 长 轴 交 于 Ⅳ,   NPF =0 则 J P J   , Fl    
?

l 0      |
|  
图 2  

此 题 也 可 分 述 成 三 个 完 全 相 同 的 定 值 
2 三 种 曲线 中 有 很 多定 值 题 的 内容 完 全 相 
同 

I 2   C S0是 一    P 1. O  F

个定值 ( 2. 图 )   利 用 余 弦 定 理 可 求 出 I   1 F P    F P  .I   1. C SO   定 值 ) O  =b( .   此 题 中,如 果 使 入 射 角  和 反 射 角  ,
F PⅣ 的 顶 点 沿 切 线 向两 方 移 动 至 Q Q    , 的位 置 , 使 F Q  F Q: 切 线 垂 直 , 时 , 并   ,  与 这  

三 种 曲 线 有 很 多 内 容 完 全 相 同 的 定 值  题 , 其 中 的两 种 曲 线 有 很 多 内 容 完 全 相 同  或 的定 值 题 . 如例 1 例 2就 是 两 种 内容 分 别 相  、 同 的定 值 题 .   例 3 过 一 定 点 P 引定 圆 锥 曲 线 的 直 交 

FQ    与 法 线 平 行 , =0 那 么 此 题 中 的 积 就  0 , 变 为 I    1 F Q  =b , 是 此 题 可 引 申 F Q .I   I   于  
出另 一个 连 锁定 值题 :  

两弦A -C ,  B7 D则  
定值.  

+南  

必为  

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中学 数 学 月 刊 
积为一常数 ( 4. 图 )  

20 0 1年 第 l 1期 

由椭 圆 上 任 一 点 作 切 线 , 两 焦 点 到 这  则 条 切 线 的 距 离 的乘 积 为 一 定 值 .   双 曲线 同样 有 类 似 的连 锁 定 值 .  
4 三 种 曲线 中 有 很 多 定 值 题 采 用 了相 同 的 
解 法 

  I

y  

先 探 求 定 值 : 切  把

线 放 在 与 实 轴 垂 直 的位 
置 , 时 切 线 过 顶 点 A, 这  
交 两 渐 近 线 于 E, 则  F,

\  .  

圆锥 曲 线 中 的定 值 题 一 般 来 说 有 多 种 解 
法 , 用 的有 定 义 法 、 析 法 、 坐标 法 、 数  常 解 极 参

l F l 2 ,    = 口,    一 b l E 0A l  
1  

Sxo 一 ÷ “ ?2 — a , z >  ̄" b b 
厶 

图 4  

法 等 , 三 种 曲 线 中 相 同 内 容 的定 值 题 多 采  但
用 相 同 的 解 法 . 关 于 弦 长 、 径 类 的定 值 题  如 半

故此 常数 应 为 口 . 6  
然 后 把 切 线 放 在 任 意 位 置 , 导 出切 线  推

常 采 用 极 坐 标 法 , 于 切 线 和 法 线 的 定 值 题  关

常采 用解析 法或参 数 法 , 于面 积 的定值题  关
常 采 用 解 析 法 再 用 面 积 公 式 , 于 距 离 的 定  关 值题常采用公式 法等.  
5 三 种 曲线 都 采 用 相 同 的 定 值 探 求 方 法 

与 其 两 渐 近 线 所 构 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于 
a ( 数) b常 .   6 三 种 曲线 中 的 某 些 定 值 题 都 能推 广 
例 9 设 F 为 椭 圆 的 焦 点 , B, 是椭  A, C 圆上 的 三 点 , 且  AF B= /BF C一  C FA,  

圆 锥 曲 线 中 的 定 值 题 , 于 定 值 等 于 什  由 么 题 中没 有 给 出 , 于 隐 去 了 结 论 的 一 类 命  属 题 , 要 我 们 事 先 进 行 估 值 , 后 对 估 值 进 行  需 然
证 明 , 证 明 过 程 就 是 此 题 的 解 题过 程 . 圆  其 而

则 

+  + 

+ 

为定值 ;  

+ 

亦 为定 值 ?  

锥 曲 线 中 的 三 种 曲 线 在 探 求 定 值 时 , 方 法  其 是相 同的, 是选择特殊位 置探求结论 , 都 如选 
曲线 的顶 点 、 点 、 交 弦 的端 点 等作 为 点 的  焦 正


用 极 坐 标 法 可 求 出前 一 个 定 值 为  , 后 
个 定 值 为   1十  3 1)
. 

特 殊 位 置 , 与 对 称 轴 平 行 或 垂 直 的 直 线 作  选 为直 线 的特 殊 位 置 .   例 7 若 椭 圆 焦   
点 为 F ,   P 为 椭 圆   F , 上 的任 一点 , △  P   中  P 的 平 分 线 交 椭 

前 一 个 定 值 题 已是 例 1的推 广 .  
此 定 值 题 可 推 广 到 椭 圆 上 有 ,个 点 ,   且 
A1 FA2 一  A2  _ . 一  A F FA3 . ?   A1的 情 

i 即丽 1 +  t g,  
D F  x   l    j

+…+  

是定值 ,  

圆 长 轴 于 D.求 证 :  
△ F PF:的 内 心  分    PD 为定 比 ( 3 . 图 )  
图 3  

去 十去 十 +去 也 定 .  +  + 十   是 值例   …  疋。 但  
9还 可 以 推 广 到 对 于 任 意 的 n∈ N+时 ,   (   ’, 2 …  的情形.  

先探求定值 : 们 可从特殊情况人手 , 我 探  求 出 定 比 的结 论 . 妨 设 P 为短 轴 的一 个 端  不
点 , 时点 D 重合 于原 点 , 此 内心 I在 PO 上 ,   有  一  :  一    a 1 I应 分 

双 曲线 和 抛 物 线 有 和 例 9完 全 相 同 的 定  值题和推广性.   例 1 过 椭 圆 的 焦 点 引 三 条 夹 角 均 为  0

PD 为 定 比  .  

1 。弦P  Q,R, 韦_   了 2的 P,     0 Q R 则 了+ _ 『 『  
+ 去  定 ?   为 值 
用 极 坐 标 法 可 求 出其 定 值 为 
例 是 例 2的 推 广 .  

然 后 把 P 放 在 任 意 位 置 来 证 明 这 个 探 
求 的结 论 .   例 8 试 证 双 曲 线 bx 一a y 一 ab z      Z 的  Z

. 此 

任 一 切 线 与其 两 渐 近 线 所 构 成 的 三角 形 的 面 

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中 学 数 学 月 刊 


?2   5?

双 曲 线 和 抛 物 线 也 有 此 定 值 题 , 且 都  并 可 以推 广 到 过 曲 线 的 焦 点 、 角 均 相 等 的  夹 条弦的情形.  
7 有 心 圆锥 曲 线 中的 某 些 定 值题 可 以叠 加 

点 P 引 切 线 和 法 线 , 别 交 实 轴 所 在 直 线  分

于 7 和 N , 从 P 作 实 轴 的垂 线 , 足 为 5, 1 又 垂  
求 证 :   (  I II OT ON —  I J  ) 定 值 . 如 图  OSJ 是 (
6  )
  J

\  

椭 圆 、 曲 线 中 的 某 些 定 值 题 叠 加 起 来  双

\ 
用 参 数 法 可 求 出 

后 可 以 成 为 新 的 定 值 题 , 别 是 关 于 切 线 和  特
法线的定值题这种情 形尤为多见.  
例 1  从 中  1

其定 值 为 b. 个 定 值   这 题 可 看 作 是 两 个 独 立 

心 为 0 的椭 圆上 任 
‘ 

的定 值 题 叠 加 而 成 的 .  
一  

图 6  

意 一 点 P 引 切线 交 

探 索 三 种 圆锥 曲线 定 值题 的 共 性 是 很 有 

长 轴 所 在 直 线 于 
7 , 从 切 点 P 作  1又


s ̄ T h r x 


趣 的 事 情 , 过 探 索 , 以 发 现很 多 定 值 题 之  通 可
间的 内在 联 系 , 我 们 解 答 定 值 题 、 拟 定 值  对 编
题都有帮助 .  
参 考 资 料  1 周 志文 . 锥 曲线 的八个 主 要 问题 . 州 : 建人  圆 福 福
民 出版 社 .  

/ 

2 范东 升. 于圆锥 曲线的 又一 组定 理 . 学通 报 , 关 数  
20 00,   9.

3 余 合 桥 . 曲 线 中 一 组 面 积 定 值 问 题 . 学 数 学  双 中
月 刊 , 0 0, . 2 0 7 
石 、  { 宕 ;   宕  ;  占  ;   ;   宕  穹  宕  ;   穹吧  宕  ;   穹  ;   寄  蟥   宕 ;  穹  穹  牙  

( 上接 第 1 7页 ) 刻 度 线 关 于 Y轴 的对 称 图  上 形 ( 击 Y轴 , 择 已 经 作好 的 刻 度 线 , 双 选 变换 \   反射) .  
4 标 出 刻 度 值 

5 新 坐标 系 的 特 点 

( ) 1 1 可 知 , 上 述 方 法 作 出 的 坐  1 由 () 用
标 系 , 《 何 画板 》 是 几 中原 有 坐 标 系 的一 部 分 .  

< ) 于刻 度 线 是 按 原 有 坐 标 轴 上 的 单  2由
位 向量 进 行 平 移得 到 的 , 因此 , 个 坐 标 系的  这

制 作 原 理 : 用 刻 度 线 的标 签 为 刻 度 值 、 利  
箭 头 的标 签 为 z轴 , Y轴 的标 记 .   ( ) 别 添 加  1分
Y 
2  

单 位 长度 与《 何 画板 》 几 中原 有 的坐 标 系一 
致 , 且保持在运动状态下 的不变性. 而 当改 变 

线 段 MN 的 标 签  为 0  N  标 签  , 的 为 1 其 它 刻 度 线  , 的 标 签 依 次 为 2  ,
3,… ,一 1,一 2,一 
3:  
一 -

原 有 坐 标 系 的 单 位 长 度 时 , 个 坐 标 系 的单  这
位长度也随之改变.  
‘ —  

l  

3 — —    l 2 3 4   2 1O        J
1   2  


() 3 由于刻 度 值 是 刻 度 线 的标 签 , z轴 ,   Y 轴 的标 记 是 箭 头 的标 签 , 因此 保 证 了 刻 度 之 
值 及 z轴 , Y轴 的 标 记 在 运 动 状 态 下 的不 变 
性.  

图 5  

( ) 加 z轴 箭 头下 方 线 段 的标 签 为 z, 2添   添 加 Y轴 箭 头 的左 方 线 段 的 标 签 为 Y;  

说 明  ① 如果 在 同一 画面 内再 作 一 个 坐  标 系 z O Y , 么 可 以 按 向 量 0 平 移 坐 标      那  
系 x y  O .

() 动点 M, 得 刻度线 长短适 度 , 3拖 使 隐 
藏不 需 要 的 点 ( 图 5 ; 如 ) 

② 如 果 不 用 原 有 坐 标 系作 函数 图 形 , 那  么 可 以 不 采 用 上 述 方 法 . 时 , 标 原 点 0, 这 坐  
平 移 向量 0  都 可 以任 意选 取 .  

用 同 样 的 方 法 作 出 Y轴 上 的 刻 度 线 、 标 
出刻 度值 .  


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