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集合的概念(南师附中高考复习资料)


集合的概念

一、集合的基本概念及表示方法
1. 集合与元素 一般地,某些指定的对象集中在一起就成为一个 集合,也简称集,通常用大写字母A、B、C…表示.集 合中的每一对象叫做集合的一个元素,通常用小写字 母a、b、c…表示; 2.集合的分类 集合按元素多少可分为:有限集(元素个数是有 限个),无限集(元素个数是无限个),空集(不含任何 元素).

也可按元素的属性分,如:数集(元素是数(x)), 点集(元素是点(x,y))等
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3.集合与元素的性质 集合有两个特性:整体性与确定性。而一个给定的 集合,它的元素具有:确定性、互异性、无序性。
A ? ?x | y ? lg x? ,B ? ? y | y ? lg x? , C ? ?( x, y) | y ? lg x?

中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是函数值域, 而C表示的却是函数上的点的轨迹。

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(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集
合P+Q={a+b| a∈P, b∈Q},若P={0, 2, 5},

Q={1, 2, 6},则P+Q中元素的有________个。 8

(2)非空集合S

?{1,2,3,4,5},且满足“若

7 a∈S,则6-a∈S”,这样的S共有_____个

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4.集合的表示方法:

列举法; 描述法; 图示法(韦恩图法);
区间表示法。

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二、元素与集合、集合与集合之间的关系
? 1. 元素与集合是 “∈” 或 “ ?” 的关系,元 素与集合之间是个体与整体的关系,不存 在大小与相等关系. 2. 集合与集合之间的关系 (1) 包含关系 ; (2) 相等关系 ; (3) 真子集关系 。
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空集是任何集合的子集,? 是任何非空集
合的真子集(应当特别注意空集是一个特殊而 又重要的集合,解题时切勿忽视空集的情形)。

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三、集合的运算
①交集:由所有属于集合A且属于集合B的元 素所组成的集合叫做集合A与B的交集,记 为A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B} ②并集:由所有属于集合A或属于集合B的元 素所组成的集合叫做集合A与B的并集,记为 A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
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③补集:一般地设U是一个集合,A是U的一
个子集(即A

? U),由U中所有不属于A的

元素组成的集合,叫做集A在全集U中的补
集(或余集).

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四、有限集合的子集个数公式
设有限集合A中有n个元素,则A的子集 个数共有2n个, 其中真子集的个数为2n–1个,非空子集 个数为2n–1个,非空真子集个数为2n–2个.

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例:满足

{1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} ?

集合M有______个。 7

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五、特别注意:
1. 认清集合中元素是什么, 例如{y|y=f(x),x∈R}是数集. 其元 素为函数y=f(x)的值域中的数; {x|y=f(x)}是数集,其元素为函数 y=f(x)的定义域中的数; {(x, y)|y=f(x),x∈M}是有序实数对集 其元素为函数y=f(x)的图象上的点的坐标
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E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z}

该集合是在坐标平面xOy内,函数

y=x2+2x+1图象上坐标为整数的点的集合
y G ? {z | y ? x ? 2 x ? 1, z ? } x
2

该集合是在坐标平面xOy内,函数 y=x2+2x+1图象上各点与原点间连线的斜 率的集合
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2. 认清集合中元素所具有的性质,并能将 集合语言等价转换成为熟悉的数学语言, 这才是避免错误的根本办法.

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六、规律总结:
1.集合中元素的特性
(1)确定性:按照明确的判断标准给定一 个元素或者在这个集合里,或者不在,不能 模棱两可. (2)互异性:集合中的元素没有重复. (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺 序(通常用正常的顺序写出).
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2.集合的表示方法 使用列举法,需注意以下几点: (1)元素间用分隔号“ ,”; (2)元素不重复; (3)元素无顺序; (4)对于含较多元素的集合,如果构成该 集合的元素有明显规律,可用列举法,但 是必须把元素间的规律显示清楚后才能有 删节号.
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使用描述法,需注意以下几点: (1)写清楚该集合中元素的代号(字母或字母 表达的元素符号); (2)说明该集合中元素的性质; (3)不能出现未被说明的字母; (4)多层描述时,应当准确使用“且”、 “或”; (5)所有描述的内容都要写在集合符号内; (6)用于描述的语句力求简明、准确.
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3. 常用数集及其记法:

非负整数集(或自然数集):记作N
正整数集: 记作N*或N+;

整数集:记作Z;
有理数集:记作Q;

实数集:记作R;
复数集:记作C;
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4、集合的相关性质

A ? A, ? ? A, A ? B( A ? B或A ? B) ?
A? B ? A ? A ? B A? B ? A ? B ? A

? A? B ?U ? A ? B U ? A? B ? ? ? B ? A U 痧( A ? B) ? U 痧( A ? B) ? U
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U

A? U B A? U B

U

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七.关于集合运算注意几点:
1. 集合的运算有交集、并集、补集 三种.集 合的运算结果仍然是集合.进行集合的运算 时应当注意: (1)勿忘对空集情形的讨论;

(2)勿忘集合中元素的互异性;

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(3)对于集合A的补集运算,勿忘A必须 是全集的子集;

(4)对于含参数(或待定系数)的集合问 题,勿忘对所求数值进行合理取舍.

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2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”: (A)意义化:即首先分清集合的类型,是表 示数集、点集,还是某类图形?是表示函数 的定义域、值域,还是表示方程或不等式的 解集? (B)具体化:具体求出相关集合中函数的定 义域、值域或方程、不等式的解集等;不能 具体求出的,也应力求将相关集合转化为最 简形式.
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(C)直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩 图等将有关集合直观地表示出来,从而借助 数形结合思想解决问题

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例题讲解
例1.设集合 M ? ? x x ? k ? 1 , k ? Z ? , N ? ? x x ? k ? 1 , k ? Z ? ? ? ? ? 则(
? 2 4 ?

)

?

4

2

?

A.M=N
C.M ? N

B.M ? N
D. M ? N ? ?

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法一
法二

从赋值入手,令k=0、±1、±2等,列举
从缩小代表元素表示形式差异入手,

部分元素后观察分析知选B.

2k ? 1 M中的代表元素 x ? , 4

k ? 2 (k ? 1) ? 1 ? N中的代表元素 x ? 4 4

通过比较化归为判断 ?2k?与?k ? 1?(k ? Z )
间的关系,选B.
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k 1 1 k 1 1 法三:从函数思想入手, ? 4 ? 4 (2k ? 1), 4 ? 2 ? 4 (k ? 2), k ? Z 2

时,函数 f (k ) ? 2k ? 1 的值域是奇数集,

函数 g (k ) ? k ? 2 的值域是整数集Z,故选B. 点评:不同的解题思路可以区分具有不同层次基本 功与能力水平的考生,可谓平淡之中见功底.

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例2.设集合, A ? ? x x ? 2 ? 2, x ? R? A.R B. x x ? R, x ? 0? ?

B ? ? y | y ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2? ,则 ?R ? A ? B ? 等于( )

C.{0}

D.?

提示:集合B中的元素应是函数y=-x2的值域 中的数值。 解: A ? [0, 4] , B ? [?4, 0] ,

所以 痧? A ? B? ? R{0} ,故选B。 R
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例3、已知集合M={x|

=3x2+1,x?R},则M?N=( )

x ?0 3 ( x ? 1)

},N={y|y

A.?

B. {x| x?1}

C.{x| x?1} D. {x| x?1或x?0} 解:集合M={x|
x ?0 3 ( x ? 1)

}= {x | x ? 1或 x ≤0}

N={y|y=3x2+1,x?R}= { y | y ≥1} , ∴ M?N={x| x?1},选C.
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例4.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B
={3,m2}.若B ? A,则实数m= 解:由 m 2 ? 2m ?1? m ?1 ,经检验,m=1 为所求; 问题:若将集合A改为{1,3,-2m+3}, 则所求实数m 的值又是多少? 答案:m=-1或m=-3。
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例5. 若A={2, 4, a3-2a2-a+7}, B={-4, a+3, a2-2a+2, a3+a2+3a+7},且A∩B={2, 5},

求实数a的值,并求出A∪B。
解:∵A∩B={2, 5}, ∴5∈A,则a3-2a2-a+7=5, 解得a1=-1, a2=1, a3=2. 当a=-1时, B={-4, 2, 5, 4}, A∩B={2, 4, 5},不合 题意,舍去; 当a=1时, B={-4, 4, 1, 12}, A∩B={4}, 不合题意, 舍去; 当a=2时, B={-4, 5, 2, 25}, A∩B={2, 5}, A∪B= {-4, 2, 4, 5, 25}。
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例6. 若A、B、C为三个集合且 A ? B ? B ? C, 则一定有( ) (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ? 思路点拨:本题主要考查集合的并集与交集 运算,集合之间关系的理解。
解答:因为 A ? A ? B 且 C ? B ? C, 由题意得 A ? C ,所以选A
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A? B ? C ? B

例7、设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2}, ( ? UA) ∩B={4},( ?UA) ∩( ? B)={1,5},则A U = {2,3} ,B= {2,4} .
U A 3 1 2 4 5 B

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? ? 例8、设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ?(3, 4), ? ? R}
? ? ? N ? {a | a ? (2,3) ? ?(4,5) , ? R} ,

则 M ? N ? {(?2,?2)} .
解:集合M是过点(1,2),斜率为4/3的一条直 线,直线方程为4x?3y+2=0,集合N是过点(2, 3),斜率为5/4的一条直线,直线方程为 5x?4y+2=0,它们的交点坐标是(?2,?2)。所以 交集是{(?2,?2)}。
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例9. 设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合B的个数是( ) (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8 解析:A={1, 2} ,A∪B={1, 2, 3} ,则集合B 中必含有元素3,即此题可转化为求集合{1, 2} 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B 共有 4 个。故选择答案C。
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例10.已知集合A={(x, y)| y=-x2+nx-1}, B={(x, y)| x+y=3, 0≤x≤3},若A∩B是单元素

集,求实数n的取值范围。

解:∵A∩B是单元素集,∴ 只有一组解, 即方程x2-(n+1)x+4=0在 0≤x≤3内仅有一解, 10 ① 当f (0)f (3)<0时, 得n> ; 10 3 ② 当f (3)=0时, 得n= 3 ; ③ 当△=0时, 解得n=3或n=-5(舍去), 10 综上得n≥ 3 或n=3 2012年12月7日星期五 南京师范大学附属中学数学组

? y ? ? x 2 ? mx ? 1 方程组 ? x ? y ? 3 ?

例11. 定义集合运算:A⊙B={z|z= xy(x+y), x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2, 3},则集合A⊙B的所有元素之和为( ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 答案:D 分析:新定义的集合A⊙B中的元素是什么 身份?是怎么构成出来的?读懂集合的关 键是对集合中元素身份的认识。涉及到集 合的表示、元素的互异性等,也考查了阅 读理解能力。新而不难。
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例12、已知函数 f ( x) ? 4x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间[?1,1]上至少存在一个实数c,使 f(c)>0,求实数p的取值范围。 解:从反面考虑,若函数f(x)的图象在[?1,1]之 间始终在x轴下方,则应满足f(?1)≥0且f(1)≥0,整 理得不等式组
? 2 p2 ? p ?1 ? 0 解得 ? 2 ?2 p ? 3 p ? 9 ? 0
1 ? p ? 1或 p ? ? ? ? 2 ? , 3 ? p ? 或 p ? ?3 ? ? 2

3 即 p ? 2 或 p ? ?3

3 所以使f(c)>0的实数p的取值范围是(?3, ) 2 2012年12月7日星期五 南京师范大学附属中学数学组

再 见

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