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2.1.1 指数与指数幂的运算

时间:2014-11-11


2.1.1 指数与指数幂的运算
目标:分数指数幂的概念和分数指数幂的运算

一.整数指数幂的回顾. 1.整数指数幂的概念. 初中阶段我们已经学习了整数指数幂的概念,即: n a ? a ? a ? ? ? a (n ? N * ) .

a 0 ? 1 (a ? 0) . a ?n ? 1n (a ? 0, n ? N * ) .

a
2.整数指数幂的运算法则. ①. a ? a ? a
m n m? n

(m, n ? Z ) . (m, n ? Z ) . (n ? Z ) .

m n m?n ②. (a ) ? a n n n ③. (ab) ? a b

m a 特别地: n ? a m ? a ?n ? a m?n . a

特别地: ( a )n ? (a ? b?1)n ? a n ? b?n ? an .

n

b

b

二.根式. 1. n 次方根 2 如果 x ? a ,那么 x 就叫做 a 的平方根,求 a 的平方根就是解方程 x2 ? a . 比如: 2 求 4 的平方根,就是解方程 x ? 4 ,得 x ? ?2 ,所以 4 的平方根有两 个,即 ? 2 和 ? 2 ; 2 求 3 的平方根,就是解方程 x ? 3 ,得 x ? ? 3 ,所以 3 的平方根有 两个,即 ? 3 和 ? 3 ; 2 求 0 的平方根,就是解方程 x ? 0 ,得 x ? 0 ,所以 0 的平方根只有一 个,即 0; 2 求 ? 2 的平方根,就是解方程 x ? ?2 ,方程无解,所以 ? 2 没有平方 根. 所以正数 a 的平方根有两个,即 ? a ;0 的平方根是 0;负数没有平 方根. 如果 x ? a ,那么 x 就叫做 a 的立方根,求 a 的立方根就是解方程
3

x3 ? a .
比如: 求 8 的立方根,就是解方程 x3 ? 8 ,得 x ? 2 ,所以 8 的立方根只有一 个,即为 2 ; 求 ? 27 的立方根,就是解方程 x3 ? ?27 ,得 x ? ?3 ,所以 ? 27 的立 方根只有一个,即为 ? 3 ; 求 0 的立方根,就是解方程 x3 ? 0 ,得 x ? 0 ,所以 0 的立方根只有一 个,即为 0; 所以实数 a 的立方根只有一个,即 3 a .
n 定义:一般地,如果 x ? a (n ? 1, n ? N ) ,那么 x 就叫做 a 的 n 次方
*

根,求 a 的 n 次方根就是解方程 xn ? a . 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负 数,0 的 n 次方根是 0,这时实数 a 的 n 次方根记为 n a ,即方程 x n ? a 的解 为x?n a. 比如: 方程 x ? 27 的解为 x ? 27 ? 3 ,即 27 的立方根 3 27 ? 3; 5 5 方程 x ? ?32 的解为 x ? ? 32 ? ?2 即 ? 32 的 5 次方根 5 ? 32 ? ?2 .
3
3

当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,即 ? n a (方程 x ? a 的解为 x ? ? n a ) ;0 的 n 次方根是 0;负数没有 n 次方根(方程 xn ? a 无解).
n

4

比如: 4 方程 x ? 81的解为 x ? ?4 81 ? ?3 ,即: 81的正的四次方根是 81 ? 3 ; 81的负的四次根是 ? 4 81 ? ?3 .

2.根式. a称 在 n 次方根的定义中出现的式子 n a 称为根式, 其中 n 称为根指数, 为被开方数. n 根据 n 次方根的定义,我们有以下结论: (n a ) ? a . 但是 n a n 则不一定等于 a ;比如 3 (?2)3 ? ?2 ,但 4 (?2)4 ? 2 ,而不是 ? 2 . 关于 n a n 我们有如下结论:

①.当 n 为奇数时, n a n ? a . n ②.当 n 为偶数时, n a ?| a | .

三.分数指数幂. 设 m, n ? N * , a ? 0 . 定义: a ? n a ;
m m n
?m n

定义: a

1 ; ? 1 m ? n am an

定义:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.

有了分数指数幂的概念后,幂的运算就可以从整数指数幂的运算推广 到有理数指数幂的运算,类似于整数指数幂的运算法则,有理数指数幂的 运算遵循如下法则:
r a (a ? 0, r, s ? Q) . 特别地: s ? ar ? a?s ? ar ?s . ①. a ? a ? a a r s r ?s (a ? 0, r, s ? Q) . ②. (a ) ? a r r ?1 r r ?r ③. (ab)r ? ar br (a ? 0, r ? Q) . 特别地: ( a ) ? (a ? b ) ? a ? b ? ar . b b
r s r?s

四.注意以下几个方面的理解: n 1. a n 与 ( a ) n 的区别
n

(1). a n 是实数 an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的奇偶性 限制,a∈R,但这个式子的值受 n 的奇偶性限制:当 n 为大于 1 的奇 n n 数时, an ? a ;当 n 为大于 1 的偶数时, a n ?| a | .
n (2). ( a ) n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值由 n 的奇偶 n 性决定:当 n 为大于 1 的奇数时, ( a )n ? a ,a∈R;当 n 为大于 1

n

n n 的偶数时, ( a )n ? a ,a≥0,因此,只要( a)n 有意义,其值恒等于 a,
n 即 ( a )n ? a .

2.有理指数幂运算的一般思路:化负指数为正指数,化根式为分数指数幂, 化小数为分数,灵活运用指数幂的运算性质.同时要注意运用整体的观

点、方程的观点处理问题,或利用已知的公式、换元等简化运算过程. 3.有关指数幂运算的几个结论: (1).a>0 时,ab>0; (2).a≠0 时,a0=1; (3).若 ar=as,则 r=s; (4). a ? 2a b ? b ? (a ? b ) , (a ? 0, b ? 0) ; (5). (a ? b )(a ? b ) ? a ? b , (a ? 0, b ? 0) . 4.分数指数幂的指数不能随便约分!比如 (?3) 6 ? (?3) 3 ? 5.幂的运算不仅可以从整数指数幂的运算推广到有理数指数幂的运算, 还可 以进一步地推广到实数指数幂的运算,并且,实数指数幂的运算有着类 似于有理数指数幂的运算法则,具体的定义和证明要用到极限的概念, 我们只要了解和接受这个事实就可以了。
2 1

1 2

1 2

1 2

1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

五.典型例题 1.给出下列说法: ①.16 的 4 次方根是 2; 4 ②. 16 的运算结果是 ?2 ; n ③.当 n 为大于 1 的奇数时, a 对于任意的 x ? R 都有意义; n ④.当 n 为大于 1 的偶数时, a 只有当 a ? 0 时才有意义; 其中正确的是 ( ) A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④

2.若 a ? 2 ? (a ? 4)0 有意义,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 2 B. a ? 2 且 a ? 4 C. a ? 2
4

( ) D. a ? 4

3.若 2 ? a ? 3 ,化简 (2 ? a)2 ? (3 ? a)4 的结果是 A. 5 ? 2a B. 2a ? 5 C.1
4

( D. ?1



4.在 (? )?1 、 2 2 、 ( ) 2 、 2?1 中,最大的是 B. 2
? 1 2

1 2 1 A. (? )?1 2

?

1

1 2

?

1

( )

C. ( )

1 2

?

1 2

D. 2?1

5.化简 a a 的结果是 A. a B. a
1 2

3

( ) C. a2 D. a
1 3

6. (P 11) 求值: 123 ①. n (3 ? ? )n (n ? 1,且 n ? N *) . ②. 2n ( x ? y)2n (n ? 1,且 n ? N *) .

7.求使得等式 (a ? 3)(a2 ? 9) ? (3 ? a) a ? 3 成立的实数 a 的取值范围.

8.当 a, b ? R 时,下列各式总能成立的是: ①. ( 6 a ? 6 b )6 ? a ? b ②. 8 ( a ? b ) ? a ? b
2 2 8 2 2

③. 4 a 4 ? 4 b 4 ? a ? b

④. 10 (a ? b) ? a ? b
10

9.计算或化简下列各式:
?1 0 ?2 0.5 3 1 ①. (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01) ; 5 4

②. (3 25 ? 125 ) ? 4 25 ;

③. a 2 a

3

9

?3

?

3

a ?7 ? 3 a13 (a ? 0) ;

④. a

2

ab3 ab5 .

10.已知 a ? a ①. a ? a
?1

1 2

?1 2

? 3 ,求下列各式的值:
②. a ? a
2 ?2





2 2 ③. a 1 ? a 1 . ? a2 ? a 2

3

?3

11.若 a ? 0 ,且 a ? 3 , a ? 5 ,求 a
x y

2 x?

y 2

的值.

12. (P 12412) 若代数式 2x ? 1 ? 2 ? x 有意义, 化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 4 ( x ? 2)4 .

13. (P ) 若 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? xy ? 2 y ? 0 ,求 12413

2 x ? xy 的值. y ? 2 xy

六.补充练习 1. 27 的平方根和立方根分别是 A. 3 3, 3 B. ? 3 3, 3

( C. 3 3, ? 3 D. ? 3 3, ? 3



2.若 (1? 2x) 4 有意义,则 x 的取值范围是 A.任意实数 B. x ?

?

3

( )

1 2

C. x ?

1 2

D. x ?

1 2
( )
2

3.下列式子中正确的是 A. (1 ? tan 45 ) ? 0 B. (?2) ?
? 0
6

2

3

? 2 C. (?2) ? ?2 D. 2 ? 2
6

6

6

4

3

4.下列式子中正确的是 A. ? x ? (?x) C. x
?3 4
4

( B. y ? y
6



1 2

(x ? 0)

2

1 3
3

( y ? 0)

? ( 1 )3 ( x ? 0) x

D. x

?1 3

? ? x (x ? 0)

5.若 4x 2 ? ?2x ,则实数 x 的取值范围是 A. (0, ? ?) B. (??, 0) C. [0, ? ?)

D. (??, 0]





? x3 6.化简 的结果是 x A. ? ? x B. x
7.求下列各式的值: ①. ( ? 3) ?
3

( ) C. ? x D. ? x

3

; ②. ? 32 ?
5


2

③. (?3) ?
4



④. ( 2 ? 3) ?



8.化简或计算: ①. x ? 4x ? 4 ? | 3 ? x | ( x ? 2) ;
2

②. ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (1 ? x) ;
2
4

4

3

3

( 4ab?1 )3 11 2 ③. ( ) ? . 4 (0.1)?2 (a3b?3 )1 2

9.已知 (1 ? 2x) ? 5 ,求 x 的值.
6

6

10.计算化简: (

3 6

a9 )2 (

6 3

a9 ) .

11.计算化简: 2?(2k ?1) ? 2?(2k ?1) ? 2?2k .

12.已知 a

2x

? 2 ? 1,求 a x ? a ? x 的值.
3x ?3 x

a ?a


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