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圆(学生版)


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初三数学(下)VIP:谢馨仪

张老师

第九章
考点一、圆的相关概念



1、圆的定义:在一个个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端 点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定

的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示:以点 O 为圆心的圆记作“⊙O” ,读作“圆 O” 。 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (如图中的 AB) 。 (2)直径:经过圆心的弦叫做直径(如途中的 CD) ,直径等于半径的 2 倍。 (3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半 圆。 (4)弧、优弧、劣弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号 “⌒”表示,以 A,B 为端点的弧记作“ ” ,读作“圆弧 AB”或“弧 AB” ,大于半圆的弧叫做优弧(多用

三个字母表示) ;小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示) 。 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 直径 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。 the distance between dream and reality is called ACTION 梦想与现实的距离叫做行动。 1 知二推三

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2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的 弦想等,所对的弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O 的半径是 r,点 P 到圆心 O 的距离为 d,则有:d<r ? 点 P 在⊙O 内; d=r ? 点 P 在⊙O 上;d>r ? 点 P 在⊙O 外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的 外心。 4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件) :圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法 先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命 题成立,这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。 如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么: 直线 l 与⊙O 相交 ? d<r; the distance between dream and reality is called ACTION 梦想与现实的距离叫做行动。 2

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直线 l 与⊙O 相切 ? d=r; 直线 l 与⊙O 相离 ? d>r; 考点十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十二、切线长定理 1、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角。 考点十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系;如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种; 如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种;如果两个圆有两个公 共点,那么就说这两个圆相交。 2、圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r,圆心距为 d,那么:两圆外离 ? d>R+r 两圆外切 ? d=R+r 两圆相交 ? R-r<d<R+r(R≥r) 两圆内切 ? d=R-r(R>r) 两圆内含 ? d<R-r(R>r) 4、两圆相切、相交的重要性质:如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称 轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个 圆就是这个正多边形的外接圆。

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考点十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通 过正 n 边形的中心。 2、正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。 考点十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式:n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l ? 2、扇形面积公式: S 扇 ? 长。 3、圆锥的侧面积: S ?

n?r 180

n 1 ?R 2 ? lR 其中 n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧 360 2

1 l ? 2?r ? ?rl 其中 l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。 2

补充: (此处为大纲要求外的知识,但对开发学生智力,改善学生数学思维模式有很大帮助) 1、相交弦定理 ⊙O 中,弦 AB 与弦 CD 相交与点 E,则 AE ? BE=CE ? DE

2、弦切角定理 弦切角:圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。 弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。 即:∠BAC=∠ADC

3、切割线定理 PA 为⊙O 切线,PBC 为⊙O 割线,
2 则 PA ? PB ? PC

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二、详例精讲 例 1.(2010 年 河南模拟)如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O,与斜边 AC 交于 D,E 是 BC 边上 的中点,连结 DE. (1) DE 与半圆 O 相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由; (2) 若 AD、AB 的长是方程 x -10x+24=0 的两个根,求直角边 BC 的长.
2

第1题 例 2.(2010 年湖南模拟)如图 4,平行四边形 ABCD 中,以 A 为圆心,AB 为半径的圆分别交 AD、BC 于 F、G,? 延长 B A 交圆于 E.求证:EF=FG.
E F D

A

B

G

C

第2题

例 3.(2010 年湖南模拟)如图 ,以△ACF 的边 AC 为弦的圆交 AF、CF 于点 B、E,连结 BC,且满足 AC =CE·CF. 求证:△ABC 为等腰三角形.
C E

2

A

B

F

第3题

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例 4.(2010 年 中考模拟 2)如图,有一个圆 O 和两个正六边形 T1 , T 2 . T1 的 6 个顶点都在圆周上, T 2 的 6 条边都和圆 O 相切(我们称 T1 , T 2 分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形) . (1)设 T1 , T 2 的边长分别为 a , b ,圆 O 的半径为 r ,求 r : a 及 r : b 的值; (2)求正六边形 T1 , T 2 的面积比 S1 : S 2 的值 .

例 5. (2010 年长沙市中考模拟) 在 Rt△ ABC 中,?ACB ? 90°,D 是 AB 边上一点, 以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E ,连结 DE 并延长,与 BC 的延长线交于点 F . (1)求证: BD ? BF ; (2)若 BC ? 6,AD ? 4 ,求 ⊙O 的面积.

A D O B C E F

例 6.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)已知:如图,△ABC 的中,AB=AC,点 B、C 都在⊙O 上,AB、AC 交⊙O 于 D、E 两点,求证: BD ? CE
A
? ?

D

E

O B C

第 6 题图

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例 7.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C,连结 OA,OB,

OB 交⊙O 于点 D,已知 OA ? OB ? 6 , AB ? 6 3 .
(1)求⊙O 的半径; (2)求图中阴影部分的面积.
A C O D B

第 7 题图

例 8.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点 E,DA 平分∠BDE。 (1)求证:AE 是⊙O 的切线。 (2)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求 BD 的长。
O B C A E D

第 9 题图

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例 9.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)已知:如图,直径为 OA 的 ⊙M 与 x 轴交于点 O、A,点 B、C 把 弧 OA 分为三等分,连结 MC 并延长交 y 轴 于 D(0 ,3). (1)求证: △OMD ≌△BAO ; (2)若直线 l : y ? kx ? b 把 ⊙M 的面积分为二等分,求证: 3k ? b ? 0.

y

D ? 0, 3?
4

C

B

2 1

5

3

O

M

A x

三、随堂练习 一、填空题 1.(2010 年 湖里区 二次适应性考试)已知半径分别为 5 cm 和 8 cm 的两圆相交,则它们的圆心距可能是 ( A.1 cm ) B.3 cm C.10 cm D.15 cm

2.(2010 年教育联合体)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,⊙O 交 BC 的中点于 D,DE⊥AC 于 E,连接 AD,则下 列结论正确的个数是( )

C E A
A

1 ①AD⊥BC,②∠EDA=∠B,③OA= AC,④DE 是⊙O 的切线. 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个

D O
E C

B

3.(2010 安徽省模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D、E 是圆的三等分点,AE、BD 的延长线交于点 C,若 CE=2,则⊙O 中阴影部分的面积是( )
O D

4 A. ? ? 3 3

2 B. ? 3

2 C. ? ? 2 3

1 D. ? 3

B

第 3 题 8

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4.(2010 年重庆市綦江中学模拟 1).在直角坐标系中,⊙A、⊙B 的位置如图所示.下列四个点中,在⊙A 外部且在⊙B 内部的是( ) A.(1,2) B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1)

5.(2010年聊 城冠县实验中学二模)如下图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕 AB的长为( ) A.2cm B. 3 cm C. 2 3 cm D. 2 5 cm

第 5 题 图 6. (2010 年广州市中考六模) 、 如果圆锥的母线长为 6cm, 底面圆半径为 3cm, 则这个圆锥的侧面积为 (
2 A. 9?cm

第 4 题图



2 B. 18?cm

2 C. 27?cm

2 D. 36?cm

7.(2010 年广州市中考六模)如图,已知⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 E, 100°,则∠AEC 等于( A. 60° B. 100° ) C. 80° D. 130°

的度数为 60°,

的度数为

8.(2010 年广西桂林适应训练) 如图, 圆弧形桥拱的跨度 AB=12 米, 拱高 CD=4 米, 则拱桥的半径为 ( A.6.5 米 B.9 米 C.13 米 D.15 米

) .

7 题图

8 题图

9 题 图
?

9.(2010 年广西桂林适应训练)如图,BD 是⊙O 的直径,∠CBD= 30 ,则∠A 的度数为( A.30
?

) .

B.45

?

C.60

?

D.75

?

10.(2010 山东新泰)已知⊙O1 的半径为 5cm,⊙O2 的半径为 3cm,圆心距 O1O2=2,那么⊙O1 与⊙O2 的位置 关系是( A.相离 ) B.外切 C.相交 D.内切

11. ( 2010 年济宁师专附中一模)如图, A,B,C,D 为⊙ O 的四等分点,动点 P 从圆心 O 出发,沿

O ? C ? D ? O 路线作匀速运动,设运动时间为 t (s) .∠APB ? y(? ) ,则下列图象中表示 y 与 t 之间函数
关系最恰当的是( ) the distance between dream and reality is called ACTION 梦想与现实的距离叫做行动。 9

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D P O A

C

y
90 45

y
90 45

y
90 45

y
90 45

B

0 A.

t

0 B.

t

0 C.

t

0 D.

t

第 11 题图

12.(2010 年河南模拟)如图,圆心为 A、B、C 的三个圆彼此相切,且均与直线 l 相切,若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为 a,b,c,(0<c<a<b),则 a、b、c 一定满足的关系式为( A.2b=a+c C. B. b ? D. )

a? c

1 1 1 ? ? c a b

1 1 1 ? ? c a b
第 12 题

13.(2010 年湖南模拟)⊙O1 和⊙O2 半径分别为 4 和 5,O1O2=7,则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是( A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 )

)

14.(2010 年湖南模拟)圆锥的母线长为 3,底圆半径为 1,则圆锥的侧面积为( A.3 ? B.4 ? C. ? D.2 ?

15.(2010 年厦门湖里模拟)如图, 正三角形 ABC 内接于⊙O, 动点P在圆周的劣弧 AB 上, 且不与 A、 B 重合, 则∠BPC 等于 A. 30
?

B. 60

?

C. 90

?

D. 45

?

C

O A P B

第 15 题

16.(2010 年西湖区月考)如图,一种圆管的横截面是同心圆的圆环面,大圆的弦 AB 切小圆于点 C,大圆 弦 AD 交小圆于点 E 和 F.为了计算截面(图中阴影部分)的面积,甲、乙、丙三位同学分别用刻度尺测量 出有关线段的长度.甲测得 AB 的长,乙测得 AC 的长,丙测得 AD 的长和 EF 的长.其中可以 算出截面面 积的同学是( A.甲、乙 C.甲、乙、丙 ) B.丙 D.无人能算出 the distance between dream and reality is called ACTION 梦想与现实的距离叫做行动。 10

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17.(2010 年西湖区月考)四个半径为 r 的圆如图放置,相邻两个圆交点之间的距离也为 r ,不相邻两个圆 的圆周上两点间的最短距离等于 2,则 r 的值是( A. 6 ? 2 B. ) D. 6 ? 3

6 ?2

C. 2 ? 6

18.(2010 年铁岭加速度辅导学校)如图(3) ,已知 AB 是半圆 O 的直径,∠BAC=32?,D 是弧 AC 的中点, 那么∠DAC 的度数是( A.25? ) B.29? C.30? D.32°

D

C

A

O

B

19.(2010 年天水模拟)已知两圆的半径分别为 3 和 4,圆心距为 8,那么这两个圆的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外离 D.外切



二、填空题 1.(2010 年河南模拟)圆内接四边形 ABCD 的内角∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠D=____° 2.(2010 年 河南模拟)如图,已知⊙O 的半径为 R,AB 是⊙O 的直径,D 是 AB 延长线上一点,DC 是⊙O 的 切 C 是切点,连接 AC,若∠CAB=30 ,则 BD 的长为 3.(2010 年 河南模拟)如图,是一张电脑光盘的表面,两个圆心都是 O,大圆的弦 AB 所在的直线是小圆的 切线,切点为 C,已知大圆的半径为 5cm,小圆的半径为 1cm,则弦 AB 的长是
0

A

O

B

D
A

O B

C
第 2 题
第 10 题图

第3题

4题

4.(2010 年广东省中考拟)如图 2, AB 是⊙O 的直径,∠COB=70°,则∠A=_____度. 5.(2010 年武汉市中考拟)如图,点 P 在 y 轴上, ? P 交 x 轴于 A, B 两点,连结 BP 并延长交 ? P 于 C , 过点 C 的直线 y ? 2 x ? b 交 x 轴于 D ,且 ? P 的半径为 5 , AB ? 4 .若函数 y ? 点,则 k=___________.

k (x<0)的图象过 C x

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6.(2010 年铁岭加速度辅导学校)如图,在矩形空地上铺 4 块扇形草地.若扇形的半径均为 r 米,圆心角 均为 90 ,则铺上的草地共有平方米. C
?

B

B D A O E D
9题

. E
O A (第 8 题)

C

(第 6 题)

第 7 题图

7.(2010 年浙江永嘉)如图,PA、PB 是⊙O 的切线,切点分别为 A、B,点 C 在⊙O 上,如果∠P=50°,那 么∠ACB 等于____.13、65°; 8.(2010 年广州市中考六模) 、如图:AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,如果 AB=10 cm , CD=8 cm , 那么 AE 的长为 cm . 9.(2010 年广州市中考七模) 、如右图,直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,点 0 在斜边 AB 上,半 径为 2 的⊙O 过点 B,切 AC 边于点 D,交 BC 边于点 E,则由线段 CD,CE 及弧 DE 围成的隐影部分的面积为 .

y?? 10.(2010 年广州市中考六模) 、 如果点 P 在坐标轴上, 以点 P 为圆心, 为半径的圆与直线 l :
相切,则点 P 的坐标是.

12 5

4 x?4 3

三、解答题 1.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为 BC边上的中点,连接DE。 (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?

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2.(2010 年广西桂林适应训练) 、以 RtΔ ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O,与斜边交于点 D,E 为 BC 边上的中 点,连接 DE.(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)连接 OE、AE,当∠CAB 为何值时,四边形 AOED 是平行四边形?并在此条件下求 sin∠CAE 的值.

四、课后作业

第 13 题

1.(2010 年浙江杭州)已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点 C、D 为圆上两点,且弧 CB=弧 CD,CF⊥AB 于点

F,CE⊥AD 的延长线于点 E.
(1)试说明:DE=BF; (2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD 的面积.

E D C

A

O

F

B

2.(2010 年江西南昌一模)如图,在平面直角坐标系中, OP ? 4 ,直线 OA 与 y 轴的夹角为 30 ? ,以 P 为 圆心, r 为半径作⊙P,与 OA 交于点 B, C . (1) 当 r 为何值时,△ PBC 为等边三角形? (2) 当⊙P 与直线 y ? ?2 相切时,求 BC 的值.

y

A

P O
-

x y ? ?2

2

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