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2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修2-2


2015-2016 高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教 A 版选修 2-2

知识点一 合情推理与演绎推理 (1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论,破解的方法是充分考虑这部分结果提 供的信息,从中发现一般规律,解题的一般步骤是:①对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理;②提出带有规律性的结论,即猜想;③检验猜想. (2)类比是从已经掌握了的事物

的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识 为基础,类比出新的结果;类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;类比 的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 找出圆与球的相似性质,并用圆的下列性质类比球的有关性质. (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦. (2)与圆心距离相等的两弦相等. (3)圆的周长 c=π d(d 为直径). π 2 (4)圆的面积 S= d . 4 解析:圆与球具有下列相似性质. 1.圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合,球面是空间中到一定点 的距离等于定长的所有点构成的集合. 2. 是平面内封闭的曲线所围成的对称图形, 球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. 与圆的有关性质相比较,可以推测球的有关性质: 圆 (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 (2)与圆心距离相等的两条弦长相等 (3)圆的周长 c=π d π 2 (4)圆的面积 S= d 4 球 球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于 截面 与球心距离相等的两个截面圆面积相等 球的表面积 S=π d π 3 球的体积 V= d 6
2

1 由实数构成的集合 A 满足条件:若 a∈A,a≠1,则 ∈A,证明: 1-a (1)若 2∈A,则集合 A 必有另外两个元素,并求出这两个元素;
1

(2)非空集合 A 中至少有三个不同元素. 分析:从集合中的元素满足的条件“若 a∈A,则 依次进行检验,即可得证. 证明:(1)∵a∈A,a≠1,则 1 ∈A. a-1 1 ∈A(a≠1)”出发;当 a=2 时, a-1

1 ∴2∈A 时,有 =-1∈A. 1-2 由于-1≠1,有 1 1 = ∈A. 1-(-1) 2

1 1 由于 ≠1,有 =2∈A. 2 1 1- 2 1 如此循环可知集合 A 中的另外两个元素为 ,-1. 2 (2)∵集合 A 非空,故存在 a∈A,a≠1,有 ∴ 1 1 ∈A 且 ≠1, 1-a 1-a 1 ∈A, 1- a

1 a-1 1 a-1 1 即 a≠0 时, 有 = ∈A, 即如此循环出现三个数 a, , ∈A.若 a= , 1 a 1-a a 1-a 1- 1-a 则 a -a+1=0,方程无实根. 1 a-1 2 若= = ,则 a -a+1=0,方程无实根. 1-a a 若 a=
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a-1 2 ,则 a -a+1=0,方程无实根. a

1 a-1 ∴a, , 互不相等,故集合 A 中至少有三个不同元素. 1-a a

知识点二 综合法与分析法 分析法和综合法是对立统一的两种方法,在使用这两种方法解题是,一般步骤是: (1)分析条件和结论之间的联系和区别,选择解题方向. (2)确定恰当的解题方法,若能够结合题设条件,通过相关的公理、定理、公式、结论 推得所求结果,则用综合法,若从条件出发,应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得 所求结果,则可以考虑使用分析法. (3)解题反思,回顾解题过程,对所得结果和解题步骤进行检查,确保解题的严谨性和
2

完备性. 1 1 1 设 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8.

a b ab

证明:方法一 综合法 因为 a>0,b>0,a+b=1, 1 1 1 所以 1=a+b≥2 ab, ab≤ ,ab≤ ,所以 ≥4, 2 4 ab 1 1 b a ?1 1? 又 + =(a+b)? + ?=2+ + ≥4,

a b

?a b?

a b

1 1 1 1 所以 + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 方法二 分析法 1 1 1 因为 a>0,b>0,a+b=1,要证 + + ≥8.

a b ab

?1 1? a+b≥8, 只要证? + ?+ a b ? ?
ab

?1 1? ?1 1? 只要证? + ?+? + ?≥8, ?a b? ?b a?
1 1 即证 + ≥4.

a b

也就是证

a+b a+b + ≥4. a b

即证 + ≥2, 由基本不等式可知,当 a>0,b>0 时, + ≥2 成立, 所以原不等式成立.

b a a b

b a a b

知识点三 反证法 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命题“若 p,则 q”的否 定是“若 p,则?q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若 p,则?q”为假,从 而可以导出“若 p,则 q”为真,从而达到证明的目的.反证法反映了“正难则反”的解题 思想. 一般以下题型用反证法: ①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、 更具体、 更明确; ②否定性命题、 唯一性命题, 存在性命题、 “至多”“至少”型命题; ③有的肯定形式命题, 由于已知或结论涉及无限个元素,用直接证明比较困难,往往用反证法.用反证法证明不等
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式要把握三点:①必须先否定结论,即肯定结论的反面;②必须从否定结论进行推理,即应 把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;③推导出的矛盾可能多种多样,有 的与已知矛盾, 有的与假设矛盾, 有的与已知事实矛盾等, 但是推导出的矛盾必须是明显的. 已知直线 ax-y=1 与曲线 x -2y =1 相交于 P,Q 两点,证明:不存在实数 a,使得 以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O. 证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,则 OP⊥OQ. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 · =-1, 所以(ax1-1)(ax2-1)=-x1·x2, 即(1+a )x1·x2-a(x1+x2)+1=0. 由题意得(1-2a )x +4ax-3=0, -4a -3 所以 x1+x2= 2,x1·x2= 2. 1-2a 1-2a -3 -4a 2 所以(1+a )· 2-a· 2+1=0, 1-2a 1-2a 即 a =-2,这是不可能的. 所以假设不成立.故不存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.
2 2 2 2 2 2

y1 y2 x1 x2

知识点三 数学归纳法 数学归纳法的两关关注 (1)关注点一: 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型, 其关键点在于“先 看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始 n0 是多少. (2)关注点二: 由 n=k 到 n=k+1 时, 除等式两边变化的项外还要利用 n=k 时的式子, 即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 设数列{an}满足 an+1=an-nan+1,n∈N . (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥2 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+1. 解析:(1)由 a1=2,得 a2=a1-a1+1=3. 由 a2=3,得 a3=a2-2a2+1=4. 由 a3=4,得 a4=a3-3a3+1=5. 由此猜想 an 的一个通项公式为 an=n+1(n≥1). (2)证明:①当 n=1 时,∵an=a1≥2,n+1=1+1=2,∴不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+1. 那么当 n=k+1 时,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+1)(k+1-k)+1=k+2.
4
2 2 2 2 *

也就是说,当 n=k+1 时,ak+1>(k+1)+1. 根据①和②,对于所有 n≥1,有 an≥n+1.

一、选择题

x ?1? x 1. “因为指数函数 y=a 是增函数(大前提),而 y=? ? 是指数函数(小前提),所以函 ?3? x ?1? 数 y=? ? 是增函数(结论)”,以上推理的错误的原因是(A) ?3?
A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 解析:推理形式没有错误,而大前提“y=a 是增函数”是不正确的,当 0<a<1 时,y =a 是减函数;当 a>1 时,y=a 是增函数.故选 A. 2.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ =2( + +? )时, 若已假设 n=k(k≥2 为偶数)时命题 2 3 4 n-1 n+2 n+4 2n 为真,则还需要用归纳假设再证(B) A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 解析:因为 n 为正偶数,n=k(k≥2 为偶数),所以下一步要证明的命题也应该是在偶 数条件下成立,所以,还需要证明 n=k+2 时等式成立,故选 B. 3.若 m,n 是正整数,则 m+n>mn 成立的充要条件是(D) A.m,n 都等于 1 B.m,n 都不等于 2 C.m,n 都大于 1 D.m,n 至少有一个等于 1
5
x x x

解析:∵m+n>mn,∴(m-1)(n-1)<1. ∵m,n∈N ,∴(m-1)(n-1)∈Z, ∴(m-1)(n-1)=0. ∴m=1 或 n=1,故选 D. 4.下列结论正确的是(B) 1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ ≥2 lg x B.当 x>0 时, x+ 1
*

x

≥2

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2

x

1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值

x

1 解析:A 错在 lg x 的正负不清;C 错在等号成立的条件不存在;根据函数 f(x)=x- 的

x

3 单调性,当 x=2 时,f(2)max= ,故 D 错.故选 B. 2 5.已知 a+b+c=0,则 ab+bc+ca 的值(D) A.大于 0 B.小于 0 C.不小于 0 D.不大于 0

解析:解法一 因为 a+b+c=0, 所以 a +b +c +2ab+2ac+2bc=0, 所以 ab+bc+ca=-
2 2 2

a2+b2+c2
2

≤0.

解法二 令 c=0,若 b=0,则 ab+bc+ca=0,否则 a、b 异号,所以 ab+bc+ca=ab <0,排除 A、B、C,故选 D. 6.已知 1+2×3+3×3 +4×3 +?+n×3 么 a,b,c 的值为(A) 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 B.a=b=c= 4 1 C.a=0,b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c 解析:令 n=1,得 1=3(a-b)+c, 令 n=2,得 1+2×3=9(2a-b)+c,
6
2 3

n- 1

=3 (na-b)+c 对一切 n∈N 都成立,那

n

*

令 n=3,得 1+2×3+3×3 =27(3a-b)+c. 3a-3b+c=1 ? ? 1 1 即?18a-9b+c=7 ,∴a= ,b=c= .故选 A. 2 4 ? ?81a-27b+c=34 7.若凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)(k≥3 且 k∈N )等 于(B) π A.f(k)+ 2 3 C.f(k)+ π 2 B.f(k)+π D.f(k)+2π
*

2

解析:由凸 k 边形到凸(k+1)边形,增加了一个三角形,故 f(k+1)=f(k)+π .故选 B. 8.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则

S10=(C)
A.18 B.24 C.60 D.90 56 2 2 解析:由 a4=a3a7 得(a1+3d) =(a1+2d)(a1+6d),2a1+3d=0.再由 S8=8a1+ d=32, 2 90 得 2a1+7d=8,则 d=2,a1=-3.所以 S10=10a1+ d=60,选 C. 2 二、填空题 9 .若数列 {an} 满足: a1 =1 ,an +1 =2an(n∈N ),则 a5 =________ ;前 8 项的和 S8 = ________(用数字作答). 2 -1 解析:a1=1,a2=2a1=2,a3=2a2=4,a4=2a3=8,a5=2a4=16,易知 S8= =255, 2-1 ∴应填 255. 答案:16 255 10.(2014·郑州高二检测)图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2,图 3 是由这样 的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木 块总数就是________.
8 *

解析:分别观察正方体的个数为:1,1+5,1+5+9,?
7

归纳可知,第 n 个叠放图形中共有 n 层,构成了以 1 为首项,以 4 为公差的等差数列, 所以 Sn=n+[n(n-1)×4]÷2=2n -n, 所以 S7=2×7 -7=91. 答案:91 11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截 下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有 c =a +b .设想正方形换成正方体, 把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 S1、
2 2 2 2 2

S2、S3 表示三个侧面面积,S 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:类比如下:正方形? 正方体;截下直角三角形? 截下三侧面两两垂直的三棱锥; 直角三角形斜边平方? 三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和? 三棱锥三个侧 面面积的平方和,结论 S =S1+S2+S3.(这个结论是正确的,证明略) 答案:S =S1+S2+S3 12.(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式: 3 1 1 3 1 × =1- 2, × + 1×2 2 2 1×2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

4 1 1 3 1 4 1 5 1 1 × 2=1- × + × 2+ × 3=1- 2, 3,??,由以上等式推测到 2×3 2 3×2 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×2 3 1 4 1 n+2 1 * 一个一般的结论:对于 n∈N , × + × 2+?+ × n=________. 1×2 2 2×3 2 n(n+1) 2 解析:由已知中的等式: 3 1 1 × =1- 2 1×2 2 2

3 1 4 1 1 × + × 2=1- 2, 1×2 2 2×3 2 3×2 3 1 4 1 5 1 1 × + × 2+ × 3=1- 3,?, 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×2 3 1 4 1 n+2 1 1 * 所以对于 n∈N , × + × 2+?+ × n=1- n. 1×2 2 2×3 2 n(n+1) 2 (n+1)2 1 答案:1- n (n+1)·2 三、解答题 1 3 2n-1 1 * 13.证明不等式: × ×?× < (n∈N ). 2 4 2n 2n+1

8

1 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= ,右边= ,显然 < ,不等式成立. 2 2 3 3 (2)假设 n=k 时,不等式成立, 1 3 2k-1 1 即 × ×?× < , 2 4 2k 2k+1 1 3 2k-1 2k+1 1 2k+1 2k+1 则 n=k+1 时, × ×?× × < × = , 要证 n=k+1 时, 2 4 2k 2k+2 2k+1 2k+2 2k+2 不等式成立,只要 2k+1 1 < 成立. 2k+2 2k+3 即证(2k+1)(2k+3)<(2k+2) , 即证 4k +8k+3<4k +8k+4. 该不等式显然成立. 即 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)知,对任意的正整数 n,不等式成立. 14.如图所示,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的 中点. (1)若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求 MN 的长; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线. (1)解析:如下图,取 CD 的中点 G,连接 MG,NG,
2 2 2

因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF. 所以 MG⊥GN. 所以 MN= MG +GN = 6. (2)证明:假设直线 ME 与 BN 共面,则 AB? 平面 MBEN, 且平面 MBEN∩平面 DCEF=EN. 由已知,两正方形 ABCD 和 DCEF 不共面,故 AB?平面 DCEF.
2 2

9

又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF. 所以 EN∥AB,又 AB∥CD∥EF, 所以 EF∥NE,这与 EF∩EN=E 矛盾, 故假设不成立. 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. 15.在圆 x +y =r (r>0)中,AB 为直径,C 为圆上异于 A、B 的任意一点,则有 kAC·kBC
2 2 2

x2 y2 =-1.你能用类比的方法得出椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中有什么样的结论?并加以证明. a b
解析:类比得到的结论是:在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,A、B 分别是椭圆长轴的左右端 点,点 C(x,y)是椭圆上不同于 A、B 的任意一点,则 kAC·kBC=-

x2 y2 a b

b2 a2

证明如下:设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 关于中心的对称点 B 的坐标为 B(-

y-y0 y+y0 y2-y2 0 x0, -y0), 点 P(x, y)为椭圆上异于 A, B 两点的任意一点, 则 kAP· kBP= · = 2 2. x-x0 x+x0 x -x0 x y ? ?a +b =1, 由于 A、B、P 三点在椭圆上,∴? x y ?a +b =1. ?
2 2 2 0 2 2 0 2 2 2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减得, 2 + 2 =0, a b


y2-y2 b2 b2 0 =- ,即 k · k =- . AP BP x2-x2 a2 a2 0 x2 y2 a b

故在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,长轴两个端点为 A、B、P 为异于 A、B 的椭圆上的任意一 点,则有 kAB·kBP=- 2. 1? 1? 16.在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ?an+ ?. an? 2? (1)求 a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 1? 1? 2 解析:(1)由 S1=a1= ?a1+ ?得 a1=1, a? 2? ∵an>0,∴a1=1. 1? 1? 2 由 S2=a1+a2= ?a2+ ?得 a2+2a2-1=0. a2? 2? ∴a2= 2-1.

b2 a

10

1? 1? 2 由 S3=a1+a2+a3= ?a3+ ?得 a3+2 2a3-1=0.∴a3= 3- 2. a3? 2? (2)猜想 an= n- n-1(n∈N ). 证明如下:①n=1 时,a1= 1- 0命题成立. ②假设 n=k 时,ak= k- k-1成立, 则 n=k+1 时,
*

ak+1=Sk+1-Sk= ?ak+1+ ?- ?ak+ ?, a a
k+1

1? 2?

1 ?

?

1? 2?

1?
k

?

1 1 ? 1? 1? ? 即 ak+1= ?ak+1+ - ? k- k-1+ ? ak+1? 2? 2 ? ? k- k-1? 1 ? 1? = ?ak+1+ ?- k, a 2? k+1? ∴ak+1+2 kak+1-1=0.∴ak+1= k+1- k. 即 n=k+1 时,命题成立, 由①②知,n∈N ,an= n- n-1.
* 2

11


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