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3.2.1直线的点斜式方程公开课课件


3.2.1 直线的点斜式方程

复习
1.倾斜角 ? 的定义及其取值范围;

2. 已知直线上两点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),如果x2 ? x1 , 那么直线PQ的斜率.

y
P( x1 , y1 )

Q( x2 , y2 )

/>?

?
O
B

x

直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)
y2 ? y1 ?y k? ? ? t an? x2 ? x1 ?x

问题引入
在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P 和斜率 k ,能否将直线上所有 0 ?x0 , y0 ?

的点的坐标 ? x, y ?满足的关系表示出来呢? y
l

P0 O
x

问题引入
直线经过点 P ,且斜率为 k ,设点 P?x, y ? 0 ?x0 , y0 ? 是直线上不同于点 P 的任意一点,因为直线 l 的斜率
0

为 k,由斜率公式得:

y

y ? y0 k? , x ? x0
即: O

l P
P0

x

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

概念理解
(1)过点 P ,斜率是 的直线 上的每 ? ? x , y l k 0 0 0 (2)坐标满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 的点都

一点,其坐标都满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

在过点 P ,斜率为 的直线 上吗? l k ? ? x , y 0 0 0

经过探究,上述两条都成立,所以这个方程就是
过点 P ?x , y ?,斜率为 k 的直线 l 的方程. 0 0 0

直线的点斜式方程
方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 由直线上一点及

其斜率确定,把这个方程叫做直线的点斜式方
程,简称点斜式(point slope form).
y l P0 O

直线l的斜率为 k
x

坐标轴的直线方程
(1) x 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l 的倾斜角为 0? 时,即 tan 0? ? 0 .这时 直线 l与 x轴平行或重合,l 的方程就是

y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0

故 x 轴所在直线的方程是: y ? 0 y

P0 l
O x

坐标轴的直线方程
(2) y 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l的倾斜角为 90?时,直线没有斜率,这

时直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜式
表示.这时,直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0,所

以它的方程就是

x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0


y

l

y 轴所在直线的方程是:
x?0

P0
O x

典型例题
例1 直线 l 经过点 P ,且倾斜角 ? ? 45? , 0 ?? 2,3? 求直线 l 的点斜式方程,并画出直线 l . 代入点斜式方程得:y ? 3 ? x ? 2. 画图时,只需再找出直线 上的另一点 P ?x , y ? ,例 1 1 1 如,取 x1 ? ?1, y1 ? 4 ,得 P1 的坐标为 ?? 1,4?,过 P 0,P 1 的直线即为所求,如图示. 解:直线 l 经过点 P0 ?? 2,3? ,斜率 k ? tan 45 ? ? 1

P 1

y
4 3

P0
l
-2 -1 O

2 1

x

直线的斜截式方程
代入直线的点斜式方程,得: y ? b ? k ?x ? 0? 也就是: y ? kx ? b 如果直线 l的斜率为 k,且与 y 轴的交点为 ?0, b ?,

y

l
b

P0

我们把直线与 y轴交点的纵坐标b O x 叫做直线在y轴上的截距 (intercept). 该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定, 所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式 (slope intercept form).

直线的斜截式方程

观察方程 y ? kx ? b ,它的形式具有什么特点?

我们发现,左端 y 的系数恒为1,右端 x的系数

k 和常数项 b 均有明显的几何意义: k是直线的斜率, b 是直线在 y 轴上的截距.
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。 直线在坐标轴上的横、纵截距及求法: 截距的值是实数,它是坐标值,不是距离

直线的斜截式方程
方程 y ? kx ? b与我们学过的一次函数的表达式 类似.我们知道,一次函数的图象是一条直线.你如 何从直线方程的角度认识一次函数 y ? kx ? b ?一次 函数中 k 和 b的几何意义是什么? 你能说出一次函数 y ? 2 x ? 1, y ? 3x 及 y ? ? x ? 3 图象的特点吗?

典型例题
例2 已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 , 试讨论:(1)l1 // l2的条件是什么?(2)l1 ? l2 的条件 是什么? 解:(1)若 l1 // l2,则 k1 ? k 2,此时 l1,l2与 y 轴的交点不同,即 b1 ? b2 ;反之, k1 ? k,且 b1 ? b2 2 时, l1 // l2. (2)若 l1 ? l2,则 k1k2 ? ?1;反之,k1k2 ? ?1 时, l1 ? l2 .

典型例题
例2 已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2, 试讨论:(1)l1 // l2 的条件是什么?(2)l1 ? l2的条 件是什么? 解: 于是我们得到,对于直线:

l1 : y ? k1 x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2

l1 // l2
l1 ? l2

? ?

k1 ? k2 ,且 b1 ? b2; k1k2 ? ?1.

知识小结
(1)直线的点斜式方程: y
直线l的斜率为 k l

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

O

P0

x

(2)直线的斜截式方程:

y

直线l的斜率为 k l
b

y ? kx ? b

P0
O

x

作业 A本
?

第100页第1题的(1)、(2)、(3)、(5) 和第3、5题


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