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坐标系与参数方程(教案)精

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极坐标与参数方程
适用学科 适用区域 知识点
数学 全国

适用年级
课时时长(分钟)

高中二年级 60

1、极坐标与普通方程的互相转化;极坐标与直角坐标的相互转化。 2、参数方程与普通方程的互相转化;参数方程与直角坐标的相互转化。 3、利用参数方程求值

域;参数方程的几何意义。

教学目标 教学重点 教学难点

熟练应用极坐标、直角坐标以及参数方程之间的相互转化; 极坐标与普通方程的互相转化;参数方程与普通方程的互相转化; 直线参数方程中 t 的几何意义的应用

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教学过程
一、复习预习
极坐标与直角坐标之间的转换

A( r ,q ) ? A( r cosq , r sin q )

x =r cos q y , =r

sq in

x2 + y 2 = r

2

r = a :表示半径为 a 圆心为原点的圆
r = q :表示顶点在原点,与 x 轴的正半轴夹角为 q 的射线

r = 2a cos q (-

p # q 2

p ) 表示圆心为 ( a, 0) ,半径为 a 的圆(注意角的取值范围,范 2

围不同表示曲线不同)

r = 2a sin q (0 # q
不同表示曲线不同)

p ) 表示圆心为 (0, a ) ,半径为 a 的圆(注意角的取值范围,范围

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二、 知识讲解
考点易错点一:常见的参数方程 1、直线的参数方程 形式一: (倾斜角)

ì x = x0 + t cosq ? ( t 为参数) í ? y = y0 + t sin q ?
形式二: (向量式)

ì ? x = x0 + mt ( t 为参数) í ? ? y = y0 + lt
过定点 P( x0 , y0 ) ,直线斜率 k =

sin q l = cos q m

ì m t ? x = x0 + ì m2 + l 2 ? x = x0 + mt ? 两种形式的转化方法: í ( t 为参数) ? í ( t 为参数) l ? ? ? y = y0 + lt t ? y = y0 + 2 2 ? m + l ?
2、圆的参数方程

ì q ? x =rcos ( q 为参数) í y = r s i n q ? ?
3、椭圆的参数方程

ì ? x = a + r cosq ( q 为参数) í y = b + r sin q ? ?

ì q ? x = acos ( q 为参数) í q ? ? y = bs i n
4、双曲线的参数方程

ì ? x = x0 + a cosq ( q 为参数) í ? ? y = y0 + b sin q

ì q ? x = as e c ( q 为参数) í y = b t a n q ? ?
5、抛物线的参数方程

ì ? x = x0 + a secq ( q 为参数) í y = y + b tan q ? 0 ?

y 2 = 2 px

ì t2 ? ?x= 2 p ( t 为参数) í ? ? ? y =t

2 ì ? x = 2 pt ( t 为参数) í ? ? y = 2 pt

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考点易错点二:直线参数方程中 t 的几何意义的应用

ì ? x = x0 + t cosq ( t 为参数) í ? ? y = y0 + t sin q

t 表示直线上任意一点到定点 P( x0 , y0 ) 的距离.
直线参数方程 í

ì x2 y 2 ? x = x0 + t cosq ( t 为参数) ,椭圆方程 C : 2 + 2 = 1,相交于 A, B 两点, a b ? y = y0 + t sin q ?

直线上定点 P( x0 , y0 ) 将直线的参数方程带入椭圆方程,得到关于 t 的一元二次方程,则:

AB = t1 - t2 = (t1 + t2 )2 - 4t1t2

ì ? t1 + t2 ‥‥t1t2 > 0 PA + PB = t1 + t2 = í ? ? t1 - t2 ‥‥t1t2 < 0

PA ? PB

t1 t2
t1 + t2 2

若 M 为 AB 的中点,则 PM =

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三、例题精析
【例题 1】
t ?t ? ?x ? 2 ? 2 (t为参数) 表示的曲线是( 【题干】方程 ? t ?t ? y ? 2 ? 2 ?

) D、圆

A、 双曲线

B、双曲线上的一支

C、双曲线的下支

【答案】B 【解析】注意到 2 与 2 互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平分,再相减,即可 消去含 t 的项。故 x ? y ? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? ?4 ,既有 y ? x ? 4 。又因为
2 2 t t
2 2
t ?t

?t 2

?t 2

2t ? 2?t ? 2 2t 2?t ? 2,即y ? 2 。可见方程为 y 2 ? x 2 ? 4, y ? 2 。故选 B。

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【例题 2】 【题干】 极坐标方程 A、圆

4 ? sin 2

?
2

?5

表示的曲线是(

) D 抛物线

B、椭圆

C、双曲线的一支

【答案】D 【解析】由 4 ? sin

1 ? cos ? ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5 ,化为直角坐标系方程为 2 2 25 y 2 ? 5x ? 2 2 2 x ? y ? 2 x ? 5 ,化简得 4 ,即该方程表示抛物线,故选 D。
2

?

? 4?

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【例题 3】

【题干】已知曲线 C1 的参数方程为 ? 为 ? ? 2 cos? ? 6 sin ? 。

? ? x ? ?2 ? 10 cos? (?为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程 ? ? y ? 10 sin ?

(1) 将曲线 C1 的参数方程转化为普通方程, 将曲线 C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 、 C2 是否相交,若相交求出公共弦长,若不相交,请说明理由。

【答案】见解析 【解析】 (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ? ? y ? 10 sin ?

得 ( x ? 2) ? y ? 10
2 2

? 曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 10 ? ? ? 2 cos? ? 6 sin ?

? ? 2 ? 2? cos? ? 6? sin ?

? ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ?
? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ,即 ?x ?1? ? ? y ? 3? ? 10
2 2

? 曲线 C2 的普通方程为 ?x ?1? ? ? y ? 3? ? 10
2 2

(2)? 圆 C1 的圆心为 ?? 2,0? ,圆 C2 的圆心为 ?1,3?

? C1C2 ? (?2 ? 1) 2 ? ?0 ? 3? ? 3 2 ? 2 10
2

? 两圆相交

设相交弦长 d,因为两圆的半径相等,所以公共弦平分线段 C1 C2
2 3 2? ?d ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2? ? 2 ? ? 2

? 10?

2

? d ? 22

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四、课堂运用
【基础】 1.在平面直角坐标系 xOy 中,动圆 x 2 ? y 2 ? 8x cos? ? 6 y sin? ? 7 cos2 ? ? 8 ? 0(? ? R) 的 圆心为 P(x,y) ,求 2x-y 的取值范围。

【答案】 ? 73 ? 2 x ? y ? 73 【解析】由题意得 ?

? x ? 4 cos? (?为参数,? ? R) ? y ? 3 sin ?

于是 2x ? y ? 8 cos? ? 3sin ? ? 73 cos?? ?? ? ,所以

? 73 ? 2 x ? y ? 73

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【巩固】

1 ? x ? (e t ? e ?t ) cos? ? ? 2 ? 1 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? y ? (e t ? e ?t ) sin ? 化为普通方程: ? 2 ?
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

【答案】 (1)

x2 1 t (e ? e ?t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

? 1 (2)

x2 y2 ? ?1 cos2 ? sin 2 ?

【解析】 (1)当 t=0 时, y ? 0, x ? cos? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos? ?

x 1 t (e ? e ? t ) 2

, sin ? ?

x 1 t (e ? e ? t ) 2

而 x ? y ? 1 ,即
2 2

x2 1 t (e ? e ?t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?1

(2)当 ? ? k? , k ? Z时, y ? 0, x ? ?

1 t (e ? e ?t ), 即 x ? 1, 且y ? 0 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z时, x ? 0, y ? ? (e ? e ), 即x ? 0 2 2

2x ? t e ? e ?t ? ? 2x 2y ? t ? cos? 2e ? ? ? ? ? cos? sin ? 当 ? ? k? , k ? Z时, 得 ?e t ? e ?t ? 2 y ,即 ? ? sin ? ? 2 ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? cos? sin ? ?
2et ? 2e ?t ? (
2 2 2x 2y 2x 2y ? )( ? ) 得 x ? y ? 1。 cos ? sin ? cos ? sin ? cos2 ? sin 2 ?

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2.过点 P(

10 ,0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2 ? 12y 2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM PN 的值及相应的 ? 的值。

【答案】

3 ? PM PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 4 2
? 10 ? t cos? ?x ? (t为参数) , 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? 10 cos ?t ? 3 ?0 2

【解析】设直线为 ?

代入曲线并整理得

3 2 则 PM PN ? t1t 2 ? 1 ? sin 2 ?

所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ?
2

?
2

, PM PN 的最小值为

3 ? ,此时 ? ? 。 4 2

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【拔高】

?x ? 1 ? t l1 : ? (t为参数) 1.求直线 ? y ? ?5 ? 3t 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P 与 Q (1,?5) 的距离。

【答案】 4

3
?x ? 1 ? t ? y ? ?5 ? 3t
代入 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 ,
2 2

【解析】将 ?

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q (1,?5) ,得 PQ ? (2 3 ) ? 6 ? 4 3

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2.在极坐标系中, O 为极点,半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 ( 2,

?
3

) .在以极点为原

点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程为

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? (t为参数) ,直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,已知定点 M (1,?2) , 则 ? 3 ? y ? ?2 ? t ? 2 ?

MA ? MB ?

.

【答案】 3

?4 3
? ?

【解析】圆 C 的圆心的极坐标为 ? 2,

??

? ,从而圆 C 的圆心直角坐标为 1, 3 , 3?

?

?

∴圆 C 的圆心直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 把直线 l 的参数方程 ? 代入圆的直角坐标 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?
可得: t 2 ? 2 3 ? 3 t ? 3 ? 4 3 ? 0 ,由直线 l 的参数方程中的参数 t 的几何属性有

?

?

MA MB ? t1t2 ? 3 ? 4 3 。

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课程小结
1、 题型与考点: (1)极坐标与普通方程的互相转化;极坐标与直角坐标的相互转化。 (2)参数方程与普通方程的互相转化;参数方程与直角坐标的相互转化。 (3)利用参数方程求值域;参数方程的几何意义。 2、解题方法及步骤 (1)极坐标与直角坐标的相互转化 利用两种坐标的互化, 可以把不熟悉的问题化为熟悉的问题, 互化的前提条件: (1) 极点与原点重合; (2)极轴与 x 轴正方向重合; (3)取相同的单位长度。

(2)参数方程与普通方程的互相转化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数, 常用的消参方法有代入消去法、 加 减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法。化普通方程为参数方程的基本思路是引入参 数,即选择合适的参数 t。

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课后作业
【基础】 1..已知直线 l1 : ? 则 AB ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1,2) , y ? 2 ? 4 t ?


【答案】

5 2

2.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线



【答案】D

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【巩固】 1.在极坐标系中, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 ( 2, O 为极点,

?
3

) .在以极点为原点,

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? (t为参数) , 以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? 3 ? y ? ?2 ? t ? 2 ?
直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,已知定点 M (1,?2) , 则 MA ? MB ? .

【答案】 3

?4 3
? ?

【解析】圆 C 的圆心的极坐标为 ? 2,

??

? ,从而圆 C 的圆心直角坐标为 1, 3 , 3?

?

?

∴圆 C 的圆心直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,

1 ? x ? 1 ? t, ? 2 ? 把直线 l 的参数方程 ? 代入圆的直角坐标 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?
可得: t 2 ? 2 3 ? 3 t ? 3 ? 4 3 ? 0 ,由直线 l 的参数方程中的参数 t 的几何属性有

?

?

MA MB ? t1t2 ? 3 ? 4 3 。
2.已知圆锥曲线 ?

? x ? 3 cos? ? y ? 2 2 sin ?

(?为参数) 和定点 A(0,

3 ) ,F1 , F2 是圆锥曲线的左右焦 3

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点。 (1)求经过点 F2 且垂直于直线 AF1 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方 程。

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) ? 【答案】 (1) 3 ?y ? t ? 2 ?
【解析】 (1) 圆锥曲线 ?

(2) 3? sin ? ? ? cos? ? 1

? x ? 3 cos? ? y ? 2 2 sin ?

(?为参数) 化为普通方程

x2 y2 ? ?1, 所以 F1 (?1,0) , 9 8

F2 (1,0) ,则直线 AF1 的斜率 k ?

3 3
/

于是经过点 F2 且垂直于直线 AF1 的直线 l 的斜率 k ? ? 3 ,直线 l 的倾斜角为 120? ,所以

1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) ? 直线 l 的参数方程为,即 ?y ? 3 t ? 2 ?
k1 ? ? 3 3 ,倾斜角为 150? ,

(2)直线 AF2 的斜率

设 P ( ? , ? ) 是直线 AF2 上任一点,则

?
cos30?

?

1 sin(150? ? ? )

∴ ? sin(150? ? ? ) ? sin 30?

所以直线 AF2 的极坐标方程为 3? sin ? ? ? cos? ? 1 【拔高】

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1. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? cos? (?为参数) ,曲线 C 2 的 ? y ? sin ?

参数方程为 ?

?x ? a cos? 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐 (a ? b ? 0, ?为参数) , y ? b sin ? ?

标 系中,射线 l : ? ? ? 与 C 1 , C 2 各有一个交点.当 ? ? 0 时,这两个交点间的距离为 2, 当? ?

?
2

时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C 1 , C 2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? ?

?
4

时, l 与 C 1 , C 2 的交点分别为 A1 , B1 ,当 ? ? ? ? 时, l 与 C 1 , C 2 的交

4

点分别为 A2 , B 2 ,求四边形 A1 A2 B2 B1 的面积.

【答案】 (I) C 1 是圆, C 2 是椭圆

a?3

b ?1

(II)

2 5

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【解析】 (I) C 1 是圆, C 2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C 1 , C 2 的交点的直角坐标分别为 (1,0), (a,0) , 因为这两点间的距离为 2,所以 a ? 3 当? ?

?
2

C 2 的交点的直角坐标分别为 (0,1), (0, b) , 时, 射线 l 与 C 1 , 因为这两点重合,

所以 b ? 1 (II) C 1 , C 2 的普通方程分别为 x ? y ? 1 和
2 2

x2 ? y2 ? 1 9
2 ,与 C 交点 B 的横坐标为 2 1 2

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C 1 交点 A1 的横坐标为 x ?

x/ ?

3 10 10

当 ? ? ? ? 时,射线 l 与 C 1 , C 2 的交点 A2 , B2 分别与 A1 , B1 关于 x 轴对称,因此,

4

四边形 A1 A2 B2 B1 为梯形. 故四边形 A1 A2 B2 B1 的面积为

(2 x / ? 2 x)(x / ? x) 2 ? 2 5

2.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? (?为参数) , M 为 C1 上的 ? y ? 2 ? 2 sin ?

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动点, P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C 2 . (I)求 C 2 的方程; (II)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A ,与 C 2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

?
3

与 C 1 的异于极点的交

【答案】 (I) ?

? x ? 4 cos? (?为参数) ? y ? 4 ? 4 sin ?

(II)

AB ? 2 3

【解析】 (I)设 P ( x, y ) ,则由条件知 M (

X y , ) .由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? 2 cos?, ? ? x ? 4 cos? ?2 即 ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos? (?为参数) ? y ? 4 ? 4 sin ?

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? . 射线 ? ? 射线 ? ? 所以

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4 sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8 sin

?
3

, .

?
3

AB ? ?2 ? ?1 ? 2 3
?x ? a cos? (a ? b ? 0, ?为参数) ,以 O 为 ? y ? b sin ?

3、在平面直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 是圆心在极轴上且经 过极点的圆,已知

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曲线 C 1 上的点 M (2, 3) 对应的参数 ? ? ?

3

??

?
4

与曲线 C 2 交于点

D( 2 , ) 4 .

?

(1)求曲线 C 1 , C 2 的方程;[来源:Z.xx.k.Com] (2)

A( ?1 , ? ), B ( ? 2 , ? ?

?

1 1 ) 2 是曲线 C1 上的两点,求 2 ? 2 的值.

?1

?2

【答案】 (1) ? ? 2 R cos?

? ? 2c o s ?

(2)

5 16

【解析】 (1)将 M (2, 3) 及对应的参数 ? ? ? 代入 ?

3

?x ? a cos? (a ? b ? 0, ?为参数) 得: ? y ? b sin ?

? ? x ? 2 cos ? ? 3 ?a ? 4 ? 得: ? ? ? 3 ? b sin ?b ? 2 ? 3 ?

∴曲线 C 1 的方程为 ?

? x ? 4 cos? x2 y2 ?1 (?为参数) 或 ? 16 4 ? y ? 2 sin ?
2 所以 R ? 1 2

设圆 C 1 的方程为: ? ? 2 R cos? ,将点 D ( 2 ,
2

?
4

) 代入得: 2 ? 2 R ?

所以圆 C 2 的方程为: ? ? 2 cos? (或 ?x ? 1? ? y 2 ? 1) (2)曲线 C 1 的方程为

? 2 cos2 ?
16

?

? 2 sin 2 ?
4

?1 将

A( ?1 , ? ), B ( ? 2 , ? ?

?

) 2 代入得

?12 cos2 ?
16
所以

?

?12 sin 2 ?
4

? 1,

2 ?2 sin 2 ?

16

?

2 ?2 cos2 ?

4

?1

1

?12

?

? cos2 ? sin 2 ? ? ? sin 2 ? cos2 ? ? 5 ? ?? ? ? 2 ? 16 ? 4 ? ??? ? ?2 4 ? ? ? ? 16 ? 16
1


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