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2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第六章 第5讲 不等式的应用


第 5 讲 不等式的应用

1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,

并能加以解决.

2ab 当且仅当 a=b 时 1.如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥______( 取“=”号).
a+b ab 当且仅当 a=b 2.如果 a,

b 是正数,那么 2 ≥______( 时取“=”号).

a+b a2+b2 3.不等式的推广: ≤ ab≤ ≤ . 1 1 2 2 + a b 以上不等式从左至右分别为: 调和平均数(记作 H), 几何平 2 均数(记作 G),算术平均数(记作 A),平方平均数(记作 Q),即 H≤G≤A≤Q,各不等式中等号成立的条件都是 a=b. 4.常用不等式 (1)a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当 a=b= c 时取“=”号). b+m b (2)若 a>b>0,m>0,则 > (糖水的浓度问题). a+m a

1 1 1 1.若正实数 m 和 n 的等差中项为2,则m+n的最小值是 ( B ) A.2 C.6 B.4 D.8

2.(2013 年陕西)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成 的封闭区域,则 2x-y 的最小值为( A ) A.-6 C.0 B.-2

D.2

解析:如图D20,将点(-2,2)代入2x-y,得最小值为-6.

图 D20

3.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如 果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元,那么水池

2000 元. 的最低总造价为________

4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市,
已知两地路线长 400 千米,为了安全,两辆货车间距至少不得
?v? ?2 小于? ?20? 千米,那么这批物资运到 ? ?

8 小时 B 市,最快需要______

(不计货车长度).

考点 1 利用不等式进行优化设计

例 1:出版社出版某一读物,一页上所印文字占去 150 cm2, 上、下边要留 1.5 cm 空白,左、右两侧要留 1 cm 空白,出版

商为降低成本,应选用怎样尺寸的纸张?

150 解:设印字部分的矩形宽为 x,则高为 x , 150 故纸张宽为 x+2,高为 +3, x ?150 ? 300 ? ? 其面积为:S=(x+2) x +3 =3x+ x +156 ? ? ≥2 300 3x·x +156=216(cm2).

300 当且仅当 3x= x ,即 x=10 cm 时,Smin=216 cm2. 故应选用 12 cm×18 cm 的纸张.

【规律方法】利用不等式解决实际问题时,首先要认真审 题,分析题意,建立合理的不等式模型,最后通过基本不等式

解题.注意最常用的两种题型:积一定,和最小;和一定,积
最大.

【互动探究】

1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.
在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿 前侧内墙保留 3 m 宽的空地,则最大的种植面积是( D ) A.218 m2 B.388 m2 C.468 m2 D.648 m2

解析:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800.蔬菜的种植面积:S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8= 808-2(a+2b).∴S≤808-4 2ab=648(m2).当 a=2b,即 a =40 m,b=20 m 时,S 最大值=648 m2.

考点 2 利用规划进行优化设计 例 2:某人有楼房一幢,室内面积共计 180 m2,拟分隔成 两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18 m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15 m2,可 住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需 要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他隔出大房间和小房间各多 少间,能获得最大收益?

解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间,收益为 z 元,则 x, ?18x+15y≤180, ? y 满足?1000x+600y≤8000, ?x∈N,y∈N, ? 且 z=200x+150y. 约束条件可化简为: ?6x+5y≤60, ? ?5x+3y≤40, ? x∈N,y∈N. ? 可行域为如图 D21 所示的阴 影部分(含边界). 图 D21

作直线 l:200x+150y=0,即直线 l:4x+3y=0. 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置,直线 l 经过点 B,且与 原点的距离最大,此时 z=200x+150y 取得最大值.
? ?6x+5y=60, 解方程组? ? ?5x+3y=40, ?20 60? B? 7 , 7 ?. ? ?



由于点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的 x,y 必须都是 整数,故可行域内的点
?20 60? B ? 7 , 7 ? 不是最优解.这些整点有 ? ?

(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0).通 过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z 取得最大值为 1800.

∴隔出小房间 12 间,或隔出大房间 3 间、小房间 8 间,能 获得最大收益.

【规律方法】利用线性规划研究实际问题的基本步骤是:

①应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定
线性目标函数.

②用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域
内求使目标函数取得最值的解.

③根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即
结合实际情况求得最优解.,本题完全利用图象,对作图的准确性 和精确度要求很高,在现实中很难做到,为了得到准确的答案,

建议求出所有边界的交点,再代入检验.当所求解问题的结果是
整数,而最优解不是整数时,可取最优解附近的整点检验,找 出符合题意的整数最优解.

【互动探究】

2.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用

A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,

B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品
可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超

过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得的最大利润
是(

)
A.12 万元 C.25 万元 B.20 万元 D.27 万元

解析:设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨,y 吨 , ?3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18, 由题意,得? ? x≥0, ? ? y≥0, 且获得利润 z=5x+3y. 画出可行域如图 D22,
? ?3x+y=13, 由? ? ?2x+3y=18,

解得 A(3,4).

图 D22

由图可知,当直线 5x+3y=z 经过点 A 时,zmax=27.

答案:D

考点 3 利用基本不等式处理实际问题 例 3:某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲 料 200 公斤,每公斤饲料的价格为 1.8 元,饲料的保管与其他 费用为平均每公斤每天 0.03 元,购买饲料每次支付运费 300 元. (1)求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付 的总费用最小; (2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于 5 吨时, 其价格可享受八五折优惠(即原价的 85%).问该养殖场是否考

虑利用此优惠条件,请说明理由.

解:(1)设该养殖场应隔 x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每 天支付的总费用为 y1 元. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03 = 6(元),∴x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+? 1 2 300 +6=3x -3x(元), 从而有 y1= (3x -3x+300)+200×1.8= x x
2

+3x+357≥417. 300 当且仅当 =3x,即 x=10 时,y1 有最小值,即每隔 10 x 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.

(2) 若养殖场利用此优惠条件,则至少 25 天购买一次饲 料.设该养殖场利用此优惠条件,每隔 x 天(x≥25)购买一次饲 料,平均每天支付的总费用为 y2 元,则 1 2 300 y2 = (3x - 3x + 300) + 200×1.8×0.85 = + 3x + 303 = x x ? 100? 3?x+ x ?+303(x≥25), ? ? 显然 y2 在[10,+∞)上是增函数,即函数 y2 在[25,+∞) 上是增函数,∴当 x=25 时,y2 取得最小值为 390. 而 390<417,∴该养殖场应利用此优惠条件. p 【规律方法】形如 y=x+ ?p>0?的形式求最值时可考虑 x

用基本不等式,但要注意条件的限制.

【互动探究】 3.(2013 年广东广州一模)某辆汽车购买时的费用是 15 万 元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元,年 维修保养费用第一年为 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这 辆汽车报废的最佳年限( 即使用多少年的年平均费用最少) 是 ( ) A.8 年 D.12 年 B.10 年 D.15 年

解析:汽车使用 n 年的年平均费用为 n?n-1? 15+1.5n+0.3n+ ×0.3 2 15 3n = + +1.65 n n 20 ≥2 15 3n 15 3n × +1.65=4.65(万元),当且仅当 = , n 20 n 20

3n2=300,n2=100,即 n=10 时“=”成立.故这辆汽车 报废的最佳年限为 10 年.
答案:B

●易错、易混、易漏● ⊙利用基本不等式时忽略了等号成立的条件 例题:某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平 方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图 6-5-1),如 果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米2,水池所有墙的厚度忽略

不计.

图 6-5-1

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最

低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试 设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

162 正解:(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米, x ? 2×162? ? ? 则总造价 f(x)=400×?2x+ ?+248×2x+80×162 x ? ? ? 1296×100 100? =1296x+ +12 960=1296?x+ x ?+12 960 x ? ? 100 ≥1296×2 x· +12 960=38 880(元). x

100 当且仅当 x= (x>0),即 x=10 时取等号. x ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时,使总造价最低,最低总 造价为 38 880 元. 0<x≤16, ? ? 1 ? (2)由限制条件,知 ∴10 ≤x≤16. 162 8 0< x ≤16, ? ?
? 100? 1 ?10 ≤x≤16?. 设 g(x)=x+ x ? 8 ? ? 1 ? g(x)在?108,16?上是增函数, ? ?

1 162 ∴当 x=10 时(此时 =16), 8 x g(x)有最小值,即 f(x)有最小值.
? 1 800? 1296×?108+ 81 ?+12 ? ?

960=38 882(元).

1 ∴当长为 16 米,宽为 108米时,使总造价最低,最低总造 价为 38 882 元.

a 【失误与防范】对于 f?x?=x+ ?a>0?型“对勾”函数求最 x

值,首先考虑利用均值不等式,利用均值不等式时要注意等号

成立的条件及题目的限制条件;如果均值不等式中等号不能成
立,则考虑利用“对勾”函数的单调性{在区间?0,a]上单调递

减,在区间[a,+∞?上单调递增}或者利用导数求最值.


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