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数列中裂项求和的几种常见模型

时间:2017-09-07


数列中裂项求和的几种常见模型 模型一:数列 {an } 是以 d 为公差的等差数列,且
1 1 1 1 ? ( ? ) a n a n?1 d an a n?1
例 1 已知二次函数 y ? f ( x) =3x -2x,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, S n)( n ?N ?) 均在函
2

d ? 0,

an ? 0(n ? 1,2,3,?) ,则

数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 正整数 m; 解: (Ⅰ) 因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2

m 1 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小 20 an an?1
(2006 年湖北省数学高考理科试题)

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. (n=1 也符合)
2

2

?

?

所以,an=6n-5 ( n ? N ) (Ⅱ) 分析:恒成立问题。求 m 则 m 为参数,n 为变量 由(Ⅰ)得知 bn ?

?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10, 2 6n ? 1 20 2 20

所以满足要求的最小正整数 m 为 10.. 例 2 在 xoy 平面上有一系列点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) ,…,
2 (n∈N*) ,点 Pn 在函数 y ? x ( x ? 0) 的图象上, Pn ( xn , y n ) ,…,

以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切, 且圆 Pn 与圆 Pn+1 又彼此外切. 若 x1 ? 1, 且xn?1 ? xn . (I)求数列 {xn } 的通项公式; (II)设圆 Pn 的面积为 Sn , Tn ?

S1 ? S2 ? ? ? Sn , 求证 : Tn ?

3 ? 2

解: (I)圆 Pn 与 Pn+1 彼此外切,令 rn 为圆 Pn 的半径,

?| Pn Pn ?1 |? rn ? rn ?1 ,即 ( xn ? xn ?1 ) 2 ? ( y n ? y n ?1 ) 2 ? y n ? y n ?1 ,
两边平方并化简得 ( xn ? xn?1 ) 2 ? 4 yn yn?1 ,
2 2 2 由题意得,圆 Pn 的半径 rn ? yn ? xn , ( xn ? xn?1 ) 2 ? 4xn xn?1 ,

? xn ? xn ?1 ? 0, ? xn ? xn?1 ? 2 xn xn ?1 ,即
? 数列{

1 xn?1

?

1 ? 2(n ? N ? ), xn

1 1 }是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, xn x1 1 1 所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即xn ? xn 2n ? 1
(II) S n ? ?rn ? ?y n ? ?x n ?
2 2 4

?

(2n ? 1) 4



因为Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ? [1 ?
? ? (1 ?

1 1 ??? ] 2 3 (2n ? 1) 2

1 1 1 ? ??? ) 1.3 3.5 (2n ? 3)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? {1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )]} 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 1 3 ? ? 3 ? ? ? [1 ? (1 ? )] ? ? ? . 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2

所以, Tn ?

3 ? . 2
1

提高:形如 1/n.m,(n,m 为两因子,可同可不同)形式,证不等关系是,将 n 或 m 适当放缩成等差数 列相邻两项

模型二:分母有理化,如: n ? n ? 1
例 3 已知 f ( x) ? (I)证明数列{ (Ⅱ)设 bn ?
1 an 2 1 x2 ? 4 ( x ? ?2) ,点( ?

? n ?1 ? n

1 a n ?1

, a n )在曲线 y=f(x)上(n∈N+),且 a1 ? 1

}为等差数列; ,记 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n

1 1 1 ? a n a n ?1

解(I) 点( ?

1 a n ?1

, a n )在曲线 y=f(x)上(n∈N+)

an ?

1 1 (? ) 2 ? 4 an

,并且 an>0

?

1 a n?1

? 4?

1 an
2

,?

1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 4(n ? 1, n ? N ) ,∴数列{

1 an
2

}为首项为

1 a1 2

=1,公差为 4 等差

数列
1 (Ⅱ)∵数列{ 1 }为等差数列,并且首项为 2 =1,公差为 4, 2 a1 an



1 an
2

=1+4(n—1) ,∴ an 2 ?

1 ,∵an>0,∴ a n ? 4n ? 3
? 4n ? 1 ? 4n ? 3 , 4

1 4n ? 3



bn=

1 1 1 ? a n a n?1

=

1 4n ? 3 ? 4n ? 1

∴Sn=b1+b2+…+bn=

5 ?1 9? 5 ? ? ....... ? 4 4

4n ? 1 ? 4n ? 3 4n ? 1 ? 1 = 4 4

2 1 2 ? ? n n ? n ?1 提高: n ? 1 ? n 1 ? 2( n ? n ? 1) ? 2( n ? 1 ? n ) ? n

2n 1 1 模型三: = n - n+1 n+1 n (2 -1)(2 -1) 2 -1 2 -1
例 5 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 3 2n ,n=1,2,3,…,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? ,n=1,2,3,…. 3 3 3

(2006 年全国数学高考理科试题) . 4 1 4 1 2 n+1 2 解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2 + , n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3

4 1 n 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2 + , n=2,3,4,… 3 3 3 4 1 n+1 n 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2 -2 ),n=2,3, … 3 3 整理得: an+2 =4(an-1+2 即 an+2 =4×4
n n-1 n n n-1

),n=2,3, … , 因而数列{ an+2 }是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,
n n

n

= 4 , n=1,2,3, …, 因而 an=4 -2 , n=1,2,3, …,

4 1 n+1 2 1 n n n n n+1 n+1 (Ⅱ)将 an=4 -2 代入①得 Sn= ×(4 -2 )- ×2 + = ×(2 -1)(2 -2) 3 3 3 3 2 n+1 n = ×(2 -1)(2 -1) 3

Tn=

2 3 2 3 1 1 = × = ×( n - n+1 ) n+1 n Sn 2 (2 -1)(2 -1) 2 2 -1 2 -1

n

n

所以,

? Ti =
i ?1

n

3 2

? ( 2 -1 - 2
i

n

1

i+1

i ?1

1 ) -1

3 1 1 3 = ×( 1 - i+1 ) < 2 2 -1 2 -1 2

模型四: a n ?1 ?

a n (a n ? k ) 1 1 1 ,且 an ? 0(n ? 1,2,3,?) ,则 ? ? k k ? a n a n a n ?1
1 , a ? f (an ) .求: 2 n?1

例 6 设函数 f ( x) ? x2 ? x .数列 ?an ? 满足: a1 ? (Ⅲ)当 n ? 2, n ? N* 时,证明: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2. 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an
1 1 1 1 1 1 1 = ,∴ ? _ ? ? an?1 an (an ? 1) an 1 ? an 1 ? an an an ?1

分析:结论分析法。选择一条路子靠近结论(拿出通项分析) 解: (Ⅲ) ∵ an?1 ? an (an ? 1) ,∴ ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? … ? ? 1 ? a1 a1 a2 1 ? a2 a2 a3 1 ? a3 a3 a4 1 ? an an an ?1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2? ?2 a1 a2 a2 a3 an?1 an?1 (需说明 an>0,易发现递增) 1 1 1 1 1 2 4 26 ?1 当 n ? 2 时, Sn ? ? ??? ? ? ? ? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 3 7 21
令 Sn ? ∴1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an


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