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【优化方案】2016高中数学 三角函数 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、4.2单位圆与周期性


§4 4.1

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4 .2 单位圆与周期性

,

)

1.问题导航 (1)角 α 的正弦值和余弦值都是唯一的吗? (2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律? (3)一个周期函数一定有最小正周期,对吗?

2.例题导读 2.例题导读 P15 例 1.通过本例学习,学会根据角 α 的终边上一点的坐标,求角 α 的三角函数值. 试一试:教材 P23 习题 1-4 A 组 T1 你会吗? P15 例 2.通过本例学习,学会在直角坐标系中作出已知角,并能求出其终边与单位圆的 交点坐标. 试一试:教材 P17 练习 T4 你会吗? 1.任意角的正弦、余弦函数的定义 如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角 α ,使角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点 P(u,v),我们 把点 P 的纵坐标 v 定义为角 α 的正弦函数,记作 v=sin_α ;点 P 的横坐标 u 定义为角 α 的余弦函数,记作 u=cos_α .

1

对于给定的角 α ,点 P 的纵坐标 v、横坐标 u 都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函 数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数.在给定的单位圆中,对于任意 角 α 可以是正角、负角或是零角,所以,正弦函数 v=sin α ,余弦函数 u=cos α 的定义 域为全体实数. 2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 第一象 限 第二 象限 第三 象限 第四 象限

sin α + + - - cos α + - - + 注:按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、四中. 3.终边相同的角的正、余弦函数 (1)公式:sin(x+k?2π )=sin_x,k∈Z; cos(x+k?2π )=cos_x,k∈Z. (2)意义:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等. 4.周期函数 (1)定义:对于函数 f(x),如果存在非零实数 T,对定义域内的任意一个 x 值,都有 f(x +T)=f(x),则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期. (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期均是 2π . 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)若 sin α >0,则角 α 的终边在第一或第二象限.( ) (2)若 sin α =sin β ,则 α =β .( ) (3)若 sin(60°+60°)=sin 60°,则 60°是正弦函数 y=sin x 的一个周期.( ) (4)若 T 是函数 f(x)的周期,则 kT,k∈N+也是函数 f(x)的周期.( ) 解析:(1)错误.因为 sin α >0,所以角 α 的终边还有可能在 y 轴的正半轴上. (2)错误.正弦值相等,但两角不一定相等,如 sin 60°=sin 120°,但 60°≠120°. (3)错误.举反例,sin(40°+60°)≠sin 40°,所以 60°不是正弦函数 y=sin x 的
2

一个周期. (4)正确.根据周期函数的定义知,该说法正确. 答案:(1)? (2)? (3)? (4)√ 2? ? 2 2.若角 α 的终边与单位圆相交于点? ,- ?,则 sin α 的值为( 2 ? ?2 2 2 1 C. 2 A. 2 2 1 D.- 2 B.-

)

解析: 选 B.利用任意角三角函数的定义可知, 点?

2? ? 2 则 sin ,- ?到原点的距离为 1, 2 2 ? ?

2 - 2 2 α = =- ,故选 B. 1 2 3.对于任意的 x∈R 都有 f(x+2)=f(x),则 f(x)的一个周期为________. 解析:由周期函数的定义知 f(x)的一个周期为 2. 答案:2(答案不唯一) 1.对正弦函数、余弦函数定义的理解 (1)定义中,α 是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数). (2)角 α 的终边与单位圆 O 交于点 P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即 对应 实数 α (弧度)对应于点 P 的纵坐标 v ― ― → 正弦 对应 实数 α (弧度)对应于点 P 的横坐标 u ― ― → 余弦 (3)三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.角与 实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如图所示.

(4)sin α 是一个整体,不是 sin 与 α 的乘积,单独的“sin” “cos”是没有意义的. 2.正弦函数、余弦函数定义的拓展 上面利用单位圆,给出了任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把这一定 义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数. 设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 r(r 2 2 = x +y >0),如下图,

那么,比值 叫作 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α = ;比值 叫作 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α = .
3

y r

y r

x r

x r

3.终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值 利用正弦函数、余弦函数的定义可知,当 α 的终边落在坐标轴上时,正弦函数、余弦 函数的取值情况如下表: 函数名称 正弦函数 余弦函数 终边位置 x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 -1 y 轴正半轴 1 0 y 轴负半轴 -1 0 4.对周期函数的概念的理解 (1)定义域:在周期函数 y=f(x)中,T 是周期,若 x 是定义域内的一个值,则 x+kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集. (2)“对定义域内的任意一个 x”这句话中“任意一个 x”的含义是指定义域内所有的 x 值,即如果存在一个 x0,使 f(x0+T)≠f(x0),那 T 就不是函数 f(x)的周期. (3)周期函数的周期有无限多个.若 T 是周期,则对定义域中任意 x,总有 f(x+kT)= f(x+(k-1)T)=f(x+(k-2)T)=?=f(x)都成立,即 f(x+kT)=f(x),所以 kT(k∈Z,k ≠0)也是周期. (4)值域:由于对定义域中任意 x,总有 f(x+T)=f(x)成立,则周期函数 y=f(x)的值 域与函数 y=f(x)在一个周期内的值域相同.

利用正、余弦函数的定义求值

已知角 α 的终边落在射线 y=2x(x≥0)上,求 sin α ,cos α 的值. (链接教材 P15 例 1) [解] 法一:设射线 y=2x(x≥0)与单位圆的交点为 P(x0,y0), 5 y0=2x0, x0= , ? ? 2 2 5 则?x0+y0=1,解得 2 5 ? ?x0≥0, y0= , 5

? ? ? ? ?

即 P?

2 5 ? 5 2 5? , ?,所以 sin α =y0= 5 , 5 ? ?5

5 . 5 法二:设点 P(a,2a)是角 α 终边上任意一点,其中 a>0. 2 2 因为 r=|OP|= a +4a = 5a, y 2a 2 5 x a 5 所以 sin α = = = ,cos α = = = . r 5 r 5 5a 5a cos α =x0= 本例中条件“角 α 的终边落在射线 y=2x(x≥0)上”若换为“ 角 α 的终边落在直线 y=2x 上”,其他条件不变,其结论又如何呢?
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解:(1)若 α 终边在第一象限内,设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点,因为 r= 2 2 |OP|= a +4a = 5a, y 2a 2 5 x a 5 所以 sin α = = = ,cos α = = = . r 5 r 5 5a 5a (2)若 α 终边在第三象限内,设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点,因为 r=|OP| 2 2 = a +4a =- 5a(a<0), y 2a 2 5 所以 sin α = = =- , r - 5a 5 cos α = =

x a 5 =- . r - 5a 5

方法归纳 求任意角的三角函数值的两种方法 方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标,然后利用定义得出该角的 正弦、余弦、正切值. 方法二:第一步,取点:在角 α 的终边上任取一点 P(x,y)(P 与原点不重合); 2 2 第二步,计算 r:r=|OP|= x +y (r>0); 第三步,求值:由 sin α = ,cos α = 求值.

y r

x r

1.(1)设角 α 的终边上有一点 P(4,-3),则 2sin α +cos α 的值是( 2 2 A.- B. 5 5 2 2 C.- 或 D.1 5 5 (2)已知 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cos α =

)

2 x,则 sin α = 4

________. (3)已知 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α 的值. -3 3 解 : (1) 选 A. 由 三 角 函 数 的 定 义 可 知 sin α = 2 = - , cos α = 2 5 4 +(-3) 4 4 2 ? 3? 4 = ,所以 2sin α +cos α =2??- ?+ =- ,故选 A. 2 2 5 5 5 5 ? ? 4 +(-3) (2)因为 r=|OP|= x +5, x 2 所以 cos α = 2 = x. 4 x +5 又因为 α 是第二象限角,所以 x<0, 5 10 10 所以 x=- 3,所以 sin α = 2 = .故填 . 4 4 x +5 (3)因为 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,所以在角 α 的终边上任取一点 P(4t,- 2 2 2 2 3t)(t≠0),则 x=4t,y=-3t,r= x +y = (4t) +(-3t) =5|t|, y -3t 3 x 4t 4 当 t>0 时,r=5t,sin α = = =- ,cos α = = = ; r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 x 4t 4 当 t<0 时,r=-5t,sin α = = = ,cos α = = =- . r -5t 5 r -5t 5 3 4 3 4 综上可知,sin α =- ,cos α = 或 sin α = ,cos α =- . 5 5 5 5
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2

单位圆中的角 8 在直角坐标系的单位圆中,已知 α = π . 3 (1)画出角 α ; (2)求出角 α 的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角 α 的正弦函数值. (链接教材 P15 例 2) 8 2 [解] (1)因为 α = π =2π + π , 3 3 2 所以角 α 的终边与 π 的终边相同. 3 8 如图,以原点为角的顶点,以 x 轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转 π , 3 与单位圆交于点 P,则角 α 如图所示. 8 (2)因为 α = π ,所以点 P 在第二象限, 3 2π 由(1)知∠AOP= ,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M. 3 π π 则在 Rt△OMP 中,∠OMP= ,∠MOP= , 2 3 OP=1, 1 3 由直角三角形的边角关系,得 OM= ,MP= , 2 2 3? ? 1 所以得点 P 的坐标为?- , ?. ? 2 2? 8π 3 = . 3 2 方法归纳 (1)先将角 α 表示为 α =β +2kπ (-π <β ≤π ,k∈Z)的形式,则角 β 的终边即为 角 α 的终边,k 为 x 轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)旋转的周数. (2)求角 α 与单位圆的交点坐标,应利用角 α 的特殊性转化为直角三角形的边角关系 求解,进而即得角 α 的正弦、余弦值. (3)根据正弦函数的定义有 sin

4? ?3 2.(1)已知角 α 的终边和单位圆的交点为 P? ,- ?,则 sin α =________,cos α 5? ?5 =________. 13 (2)在直角坐标系的单位圆中,已知 α =- π . 6 ①画出角 α ; ②求出角 α 的终边与单位圆的交点坐标; ③求出角 α 的正弦、余弦值. 4 3 4 3 解:(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知,sin α =- ,cos α = .故填- 和 . 5 5 5 5 13 π π (2)①因为 α =- π =-2π - , 所以角 α 的终边与- 的终边 6 6 6
6

相同,如图,以原点为角的顶点,以 x 轴的非负半轴为角的始边,顺时针旋转 圆交于点 P,则角 α 如图所示. 13 ②因为 α =- π ,所以点 P 在第四象限. 6 π 由①知,∠AOP= ,过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M, 6 π π 则在 Rt△MOP 中,∠OMP= ,∠MOP= ,OP=1, 2 6 由直角三角形的边角关系,得 OM= 所以得点 P 的坐标为? 1? ? 3 ,- ?. 2? ?2 3 1 ,MP= , 2 2

13 π ,与单位 6

1 ? 13 ? ③根据正弦、余弦函数的定义,得 sin?- π ?=- , 6 2 ? ? 3 ? 13 ? cos?- π ?= . ? 6 ? 2

判断三角函数值的符号及角所在象限

判断符号:(1)sin 340°cos 265°; (2)若 sin 2α >0,且 cos α <0,试确定 α 所在的象限. [解] (1)因为 340°是第四象限角,265°是第三象限角, 所以 sin 340°<0,cos 265°<0.所以 sin 340°cos 265°>0. (2)因为 sin 2α >0,所以 2kπ <2α <2kπ +π (k∈Z), π 所以 kπ <α <kπ + (k∈Z). 2 π 当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z),有 2mπ <α <2mπ + (m∈Z);当 k 为奇数时,设 k= 2 2m+1(m∈Z), 3π 有 2mπ +π <α <2mπ + (m∈Z).所以 α 为第一或第三象限角.又由 cos α <0,可 2 知 α 为第三象限角. 方法归纳 (1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆:一全正,二正弦,三正切,四余弦(是正的). (2)对于确定 α 角所在象限问题, 应首先界定题目中所有三角函数的符号, 然后依据上 述三角函数的符号来确定角 α 所在的象限,则它们所在象限的公共部分即为所求.

3.(1)若 α 是第二象限角,则点 P(sin α ,cos α )在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)填空: ①如果 sin α >0,且 cos α <0,则 α 是第________象限角; ②如果 cos α >0,且 sin α <0,则 α 是第________象限角; ③如果 sin α cos α >0,则 α 是第________象限角; ④如果 sin α cos α <0,则 α 是第________象限角.
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(3)判断下列各式的符号. ①α 是第四象限角,sin α ?cos α ; ? 23π ?. ②sin 3?cos 4?cos?- ? 4 ? ? 解:(1)选 D.因为 α 是第二象限角, 所以 cos α <0,sin α >0. 所以点 P 在第四象限. (2)①二 ②四 ③一或三 ④二或四 (3)①因为 α 是第四象限角, 所以 sin α <0,cos α >0.所以 sin α ?cos α <0. π 3π ②因为 <3<π ,π <4< , 2 2 所以 sin 3>0,cos 4<0. 23π π 因为- =-6π + , 4 4 ? 23π ?>0. 所以 cos?- 4 ? ? ? ? 23 ? 所以 sin 3?cos 4?cos?- π ?<0. ? 4 ?

周期性及其应用 已知函数 f(x)在定义域 R 上恒有: ①f(x)=f(-x),②f(2+x)=f(2-x), 2 当 x∈[0,4)时,f (x)=-x +4x. (1)求 f(8); (2)求 f(x)在[0,2 015]内零点的个数. [解] (1)由已知: f(8)=f(2+6)=f(2-6)=f(-4)=f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) =0. (2)因为 f(x)在定义域 R 上恒有 f(2+x)=f(2-x), 所以 f(x)=f(4-x)对 x∈R 恒成立. 又 f(x)=f(-x)对 x∈R 恒成立. 故有 f(-x)=f(4-x)对 x∈R 恒成立. 即 4 是 f(x)的一个周期. 因为 x∈[0,4)时,f(x)=0 的根为 x=0, 所以 f(x)=0 在 R 上的根为 x=4k,k∈Z. 由 0≤4k≤2 015(k∈Z)得 0≤k≤503.75(k∈Z). 所以 f(x)在[0,2 015]内的零点共有 504 个. 方法归纳 (1)周期的定义是对定义域中每一个 x 值来说的.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)= f(x),则不能说 T 是 f(x)的周期. (2)从等式 f(x+T)=f(x)来看,应强调自变量 x 本身加的常数才是周期.如本题出现 由 f(x)=f(4-x)得 4 是 f(x)的一个周期是错误的.

?7? 4.(1)设 f(x)是以 4 为一个周期的函数,且当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,则 f? ? ?2? 的值为( )
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A.2 C.-1

B.0 D.-3 1

(2)已知函数 f(x)满足 f(1)=2, 且 f(x+1)=-

f(x)

(f(x)≠0)对任意 x∈R 恒成立,

则 f(5)=________. (3)已知 f(x+a)=-f(x)(a>0),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. 解:(1)选 B.f(x)是以 4 为一个周期的函数, 所以 4k(k∈Z,k≠0)也是 f(x)的周期. 所以 f(x-4)=f(x), ?7? ?7 ? ?7? ? 1? 故 f? ?=f? -4?,从而 f? ?=f?- ?. 2 2 ? ? ? ? ?2? ? 2? 又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1, ?7? ? 1? ? 1? 所以 f? ?=f?- ?=2??- ?+1=0. ?2? ? 2? ? 2? 1 1 (2)因为 f(x+1)=- ,所以 f(x+2)=- , f(x) f(x+1) 1 所以 f(x+2)=- =f(x), 1 - f(x) 所以 f(x)的周期为 2, 所以 f(5)=f(1)=2.故填 2. (3)因为 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)= -[-f(x)]=f(x), 所以 f(x)是周期函数,且 2a 是它的一个周期.

易错警示 因不会挖掘隐含条件致误 θ 3 θ 4 已知 sin = ,cos =- ,试确定 θ 是第几象限角. 2 5 2 5 θ 3 θ 4 [解] 因为 sin = >0,cos =- <0, 2 5 2 5 θ 所以 是第二象限角. 2 θ 3 2 3 又因为 sin = < =sin π . 2 5 2 4 3 θ 所以 2kπ + π < <2kπ +π (k∈Z), 4 2 3 所以 4kπ + π <θ <4kπ +2π (k∈Z), 2 所以 θ 是第四象限角. θ 3 θ 4 θ [错因与防范] (1)在解答过程中,往往只由 sin = ,cos =- ,知 是第二象限 2 5 2 5 2 θ 角,忽略给出了具体函数值,而所给的具体函数值则隐含着 范围的条件.没有进一步缩小 2 θ 的范围而出错.故而得出错误结果 θ 是第三象限角或第四象限角或终边落在 y 轴非正半 2 轴上的角. (2)确定角的范围,不仅要结合正、余弦函数值的符号,还要结合角的具体函数值缩小 角的范围.

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5.下列各式: ①sin(-100°);②cos(-220°);③cos π . 其中符号为负的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 D.-100°在第三象限, 故 sin(-100°)<0; -220°在第二象限,故 cos(-220°)<0; cos π =-1<0. 1.若 60°角的终边上有一点 P(4,a),则 a 的值为( A.-4 3 B.4 3 C.2 3 D.-2 3 4 1 解析:选 B.因为 cos 60°= = , 2 16+a 2 所以 a +16=64, 又因为 a>0,所以 a=4 3. |sin α | |cos α | - 的值是________. sin α cos α 解析:因为 α 为第二象限角,所以 sin α >0,cos α <0. |sin α | |cos α | sin α -cos α 所以 - = - =2. sin α cos α sin α cos α 答案:2 3.已知函数 f(x)是周期函数,周期 T=6,f(2)=1,则 f(14)=________. 解析:f(14)=f(2?6+2)=f(2)=1. 答案:1 2.当 α 为第二象限角时,
2

)

[A.基础达标]

? 16π ?的值为( 1.cos?- 3 ? ? ?
A.- C. 1 2 3 2

) 3 2 1 D.- 2 B.

16 2 ? 16π ?=cos 2π =-1. 解析:选 D.- π 的终边与 π 的终边重合,故 cos?- 3 ? 3 3 3 2 ? ? 2.若 α 的终边过点(2sin 30°,-2cos 30°),则 sin α 的值为( ) 1 1 A. B.- 2 2 C.- 3 2 D.- 3 3

1 3 解析:选 C.因为 sin 30°= ,cos 30°= , 2 2
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所以 α 的终边过点(1,- 3),所以 r= 1+(- 3) =2, y 3 所以 sin α = =- ,故选 C. r 2 sin x |cos x| 3.y= + 的值域为( ) |sin x| cos x A.{2,0} B.{-2,0} C.{2,-2} D.{2,-2,0} 解析:选 D.x 为第一象限角时,y=2;x 为第二象限角时,y=0;x 为第三象限角时,y =-2;x 为第四象限角时,y=0; 所以值域为{2,-2,0}. 4.若点 P 的坐标为(cos 2 015°,sin 2 015°),则点 P 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 C.因为 2 015°=5?360°+215°,所以角 2 015°的终边在第三象限,所 以 cos 2 015°<0,sin 2 015°<0,所以点 P 在第三象限. 5.有下列命题: ①存在函数 f(x)定义域中的某个自变量 x0,使 f(x0+T)=f(x0),则 f(x)为周期函数; ②存在实数 T,使得对 f(x)定义域内的任意一个 x,都满足 f(x+T)=f(x),则 f(x)为 周期函数; ③周期函数的周期是唯一的. 其中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 选 A.①由周期函数的定义, 可知 f(x+T)=f(x)对定义域内的任意一个 x 都成立, 且 T≠0,故不正确; ②由周期函数的定义可知 T≠0,故不正确; ③若 T 为周期,则 f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x),所以 2T 也是周期,故 不正确. 2 6.已知角 α 为第二象限角,则 (sin α -cos α ) 化简的结果为________. 2 解析:因为角 α 为第二象限角,故 sin α >0,cos α <0,因此 (sin α -cos α ) =|sin α -cos α |=sin α -cos α . 答案:sin α -cos α 7.若 α 是第三象限角,则 sin(cos α )?cos(sin α )____0. 解析:因为 α 是第三象限角, 所以-1<cos α <0,-1<sin α <0. 所以 sin(cos α )<0,cos(sin α )>0, 所以 sin(cos α )?cos(sin α )<0. 答案:< 8.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sin θ =- ,则 y=________. 5 解析:r= x +y = 16+y ,且 sin θ =-
2 2 2

2

2 5 y y 2 5 ,所以 sin θ = = =- , 2 5 r 5 16+y

y<0,所以 θ 为第四象限角,解得 y=-8.
答案:-8 9.已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m)(m≠0),求 2sin α +cos α 的值. 解:①当 m>0 时,点 P 在第二象限,|OP|=5m, 6m -4m 2 有 2sin α +cos α = + = ; 5m 5m 5
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②当 m<0 时,点 P 在第四象限,|OP|=-5m, 6m -4m 2 有 2sin α +cos α = + =- . -5m -5m 5 10.已知函数 f(x)的定义域是 R,对任意实数 x,满足 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0, 2 4)时,f(x)=x +2x. (1)求证:函数 f(x)是周期函数; (2)求 f(-7). 解:(1)证明:对任意实数 x,有 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]= f(x). 所以函数 f(x)是周期函数. (2)由(1)知,函数 f(x)的周期为 4, 所以 f(-7)=f(-7+2?4)=f(1). 2 因为当 x∈[0,4)时,f(x)=x +2x, 所以 f(-7)=f(1)=3. [B.能力提升] 1.已知点 P(sin α ,cos α )在第二象限,则角 α 的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 D.因为 P(sin α ,cos α )在第二象限, ?sin α <0, ? 所以? ? ?cos α >0. 由 sin α <0,得 α 在第三或第四象限或 y 轴非正半轴上, 由 cos α >0,得 α 在第一或第四象限或 x 轴非负半轴上, 所以 α 是第四象限角. 4 2.已知角 α 终边经过点 P(-8m,-6cos 60°)且 cos α =- ,则 m 的值为( ) 5 1 1 A. B.- 2 2 3 3 D. 2 2 解析:选 A.点 P 的坐标可化为(-8m,-3), 2 2 2 由 r= (-8m) +(-3) = 64m +9, x -8m 4 由三角函数的定义知 cos α = = =- . 2 r 5 64m +9 C.- 1 2 2 即 100m =64m +9,解得 m=± , 2 1 1 当 m=- 时,点 P 的坐标为(4,-3),则 cos α 为正,不符合题意,故 m= . 2 2 3.已知定义在 R 上的函数 f(x)是以 2 为周期的奇函数,则方程 f(x)=0 在[-2,2]上 至少有________个实数根. 解析:因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,又因为函数 f(x)以 2 为周期, ? ?f(-1)=-f(1), 所以 f(2)=f(-2)=f(0)=0,且? ?f(-1)=f(1), ? 解得 f(-1)=f(1)=0,故方程 f(x)=0 在[-2,2]上至少有 5 个实数根. 答案:5 α α α 4.设 α 是第二象限角,且|cos |=-cos ,则角 是第________象限角. 2 2 2 解析:因为角 α 是第二象限角,
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π 所以 2kπ + <α <2kπ +π (k∈Z), 2 π α π 所以 kπ + < <kπ + (k∈Z), 4 2 2 α 当 k 为偶数时, 是第一象限角; 2 α 当 k 为奇数时, 是第三象限角, 2 α α ? ? 又因为?cos ?=-cos , 2? 2 ? α 即 cos <0, 2 α 所以 是第三象限角. 2 答案:三 5.已知角 α 的终边过点(3m-9,m+2),且 cos α <0,sin α >0,求 m 的取值范围. 解:因为 cos α <0, 所以 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴的非正半轴上. 又因为 sin α >0, 所以 α 的终边在第一或第二象限,或 y 轴的非负半轴上. 所以 α 是第二象限角, 即点(3m-9,m+2)在第二象限. ?3m-9<0, ? 所以? ? ?m+2>0, 解得-2<m<3, 即 m 的取值范围是(-2,3). 1 1 6. (选做题)已知角 α 的顶点在原点, 始边与 x 轴的非负半轴重合, =- , |sin α | sin α 且 lg(cos α )有意义. (1)试判断角 α 所在象限; ?3 ? (2)若角 α 的终边与单位圆相交于点 M? ,m?,求 m 的值及 sin α 的值. ?5 ? 1 1 解: (1)由 =- 可知 sin α <0, 所以 α 是第三或第四象限角或终边在 y |sin α | sin α 轴非正半轴上的角. 由 lg(cos α )有意义可知 cos α >0, 所以 α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴的非负 半轴上的角. 综上可知角α 是第四象限角. ?3 ? (2)因为点 M? ,m?在单位圆上, ?5 ? 2 4 ?3? 2 所以? ? +m =1,解得 m=± . 5 ?5? 4 又 α 是第四象限角,故 m<0,从而 m=- . 5 4 由正弦函数的定义可知 sin α =- . 5

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