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2015年高考模拟杭州命题比赛高三数学28

时间:2015-04-25


2015 年高考模拟试卷 数学卷(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答 题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S 2 3

球的体积公式
4 3 V= πR 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高
1 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 台体的表面积公式

S ? ? (r ? R)l ? ?r 2 ? ?R 2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件

1 ? 1 ,则 q是?p 成立的 x

(

)

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

【原创】此题主要考查逻辑推理问题,属容易题。 2.在等差数列 ?an ? 中, 首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 , 若 am ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... A、11 B、12 C、10 则m? ( ) ? a5 , D、13

【原创】此题主要考查等差数列的定义及通项公式,属容易题。 3.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1, 则f (?2) ? ( A、-1 B、1 C、-5 ) D、5

【根据 2015 年浙江省高考数学样卷改编】此题主要考察函数性质,属容易题。 (原题)若函数 f (x )x ()x( ∈ R)R 是奇函数,则 (原题)若函数 f( x∈ )是奇函数,则 2 2 2 2 AA .函数 f (f x(x )是奇函数 B.函数 [f [ (f x( )x ]) 是奇函数 .函数 )是奇函数 B.函数 ] 是奇函数 2 2 2 2 ? C.函数 f ( x ) x 是奇函数 D .函数 f ( x ) + x 是奇函数 C.函数 f (x) ? x 是奇函数 D.函数 f (x)+x 是奇函数 4.若 m 、 n 为两条不重合的直线, ? 、 ? 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个 数是( )

①若 m 、 n 都平行于平面 ? ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 ? ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 ? 、 ? 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ? ? ,则 n ? ? ; ④ m 、 n 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4

【改编】此题主要考查两直线的位置关系,属中档题。 (原题)已知直线 l∥平面 α ,P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 (A) 只有一条,不在平面 α 内 (B) 有无数条,不一定在平面 α 内 (C) 只有一条,且在平面 α 内 (D) 有无数条,一定在平面 α 内 5. 已知函数 f ( x ) ? cos ? ? x ?

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 4? g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象( ) 3? 3? A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长 度 4 4
C. 向左平移

? ?

??

3? 个单位长度 8

D. 向右平移

3? 个单 位长度 8

【根据 2014 年浙江省深化改革协作学校文科数学卷改编】此题主要考察三角函数性质,属 中档题。 (原题)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 2) 的拖鞋,只需要把函数 y ? sin 2 x 图像上所有的 点( ) A. 向左平行移动 2 个单位长度 C.向左平行移动 1 个单位长度

B.向右平行移动 2 个单位长度 C。向右平行移动 1 个单位长度

6.已知 F1 , F2 是椭圆的两个交点,若椭圆上存在点 P,使得 PF 1 ? PF 2 ,则椭圆的离心率的取值 范围是( A. ? ) B. ?

? 5 ? ,1? ? ? 5 ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

C. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ?

D. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

【根据 2015 年杭州市第一次高科科目教学质量检测改编】此题主要考察椭圆性质,属中档 题。

(原题)设 F1 , F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a > b ? 0) 的左右焦点,直线 l 过焦点 F2 且与椭 a2 b2

圆交于 A,B 两点,若 ?ABF 1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,设椭圆的离心率为 e , 则e = A. 2 ? 3 B. 3 ? 2 C.11 ? 6 3 D. 9 ? 6 2 的最小值是
2

? 7.设点 G 是 ?ABC 的重心,若 ?A ? 120 , AB ? AC ? ?1 ,则 AG

A.

3 4

B.

2 3

C.

2 3

D.

3 3
C

【改编】此题主要考查向量的几何意义及运算,属中档题。 (原题)如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 AO · BC 的 值是 (A) -8 (B) -1 (C) 1 (D) 8 A

O B (第 7 题)

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?2x?2 ? 1, x ? 0, ? g ( x) ? ? 1 8 已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零点 ? x ? 2, x ? 0, ? , x ? 0. ?x
之和是( A. ? )

1 ? 3 2

B.

1 ? 3 2

C. ?1?

3 2

D. 1 ?

3 2

【根据 2014 年杭州地区七校高三第一学期期末模拟联考改编】此题主要考察函数零点问题 属难题 (原题)已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (4 ? x) ? f ( x), 且当 x ? ?? 1,3? 时,

?x ? ?1 ? cos ,1 ? x ? 3 f ( x) ? ? ,则 g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数是( 2 2 ? ? x ,?1 ? x ? 1
A. 9 B. 10 C. 18 D. 20



非选择题部分(共 110 分)

注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:(本大题共 7 小题,其中第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 每小题 4 分, 共 36 分)
2 9. 已 知 集 合 A= x ? N x ? 3 ? 0 , B= x ? Z x ? x ? 2 ? 0 , 则 A ? B =

?

?

?

?

.

A B=

. (CZ A)

B=

.

【原创】此题主要考查集合基本关系及其运算问题,属容易题。 2 1 10. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- ,且 1<Sk<9 (k∈N*),则 3 3 a1 的值为________,k 的值为________. 【原创】此题主要考查数列前 n 项和和通项关系,属容易题 11.如图,?ABC与?ACD 都是等腰直角三角形,且 AD=DC=2,AC=BC,平面 DAC ? 平面 ABC, 如果以 ABC 平面为水平平面, 正视图的观察方向与 AB 垂直, 则三棱锥 D—ABC 左视图的 面积为 ,三棱锥 D—ABC 的体积为

[改编]本题主要考察立体几何的三视图问题,属中档题。 原题:设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为 m).则该几何体的体积为________ 3. m

? x ? 0, ? 12、 已知实数 x, y 满足 ? y ? x, , 这 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
的取值范围是 .



x ?1 ( x ? 1) 2 ? y 2

[改编]本题主要考察线性规划问题,属中档题。

? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, y ? (原题)已知实数 x, y 满足 ?1 ? x ? 2, ,则 的取值范围是 x ?1 ?1 ? y ? 2, ?
13.

.

设 a1 ,a2 ,???,an ,??? 是 按 先 后 顺 序 排 列 的 一 列 向 量 , 若 a1 ? (?2014,13) , 且 .

,则其中模最小的一个向量的序号 n ? an ? an?1 ? (1, 1) 【原创】此题主要考查向量和数列相结合,属中档题 14.已知正实数 x , y 满足 xy ? 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为

.

【根据 2012 年浙江高考卷改编】此题主要考察基本不等式属中难题

(原题)若正数 x, y满足x ? 3 y ? 5xy, 则3x ? 4 y 的最小值是 15. 设 M 、 N 是 直 角 梯 形 ABCD 两 腰 的 中 点 , DE ? AB 于 E ( 如 图 ) ,

AE ? EB ? DE ? 2 .现将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角 A ? DE ? B 为 90? , P, Q 分别是
线段 AE 和线段 EB 上任意一点, 若 MQ ? PN 时, 求 PQ 长度的取值范围 【原创】本题主要考查立体几何中的二面角及相关运算,属难题。
D

.

C

M

N

A

P

E

Q

B

第 15 题图 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 ?ABC 中, f ( A ?

?
12

) ? 3 ,且 b ? c ? 4 ,求 ?A 的大小及边长 a 的最小值。

[原创]: (1)考查三角变换:二倍角公式(降次公式) 、两角和差公式(合一变形) ; (2)考查三角函数的性质:周期性单调性; (3)考查解三角形的能力,灵活应用正弦、余弦定理。 (4)基本不等式的灵活应用。

17、 (本小题满分 15 分) 如图,在Δ AOB 中,已知 ?AOB ?

?
2

, ?BAO ?

?
6

, AB=4,D 为线

段贴的中点. Δ AOC 是由绕直线 AO 旋转而成,记二面角 B-AO-C 的大小为 ? . (I) 当平面 COD 丄平面 AOB 时,求 ? 的值; (II)当 ? ? ?

?? 2? ? , 时,求二面角 C ? OD ? B 的余弦值的取值范围. ?2 3 ? ?

【根据 2013 年金华十校联考改编】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础 知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力,属中档题 (原题)如图,已知△AOB,∠AOB=

? ? ,∠BAO= ,AB=4,D 为 2 6

A

线段 AB 的中点.若△AOC 是△AOB 绕直线 AO 旋转而成的.记二面角 B-AO-C 的大小为 ? . (Ⅰ) 当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 ? 的值; (Ⅱ) 当 ? D

2? 时,求二面角 C-OD-B 的余弦值. 3
C

O

B

18. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点构成等 2 2 a b

腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ?

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是 3

否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。 【根据 2014 年嘉兴市第一学期摸底考试卷改编】考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的定值 定点,及解析几何的基本思想方法,属中等偏难题) (原题)已知椭圆 C :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1,

2 ) ,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰 2

直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ? 经过定点(0,1) 。
[来源:学科网]

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,求证:以 AB 为直径的动圆恒 3

19、 (本小题满分 15 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 4 ,前 n 项和 Sn 满足 sn ? an?1 ? n (1)求 an 的值

5 2 n?1 ? 1 ? 2 (2)令 bn ? ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: ?n ? N , Tn ? 。 4 nan

? ?

【根据 2014 年广东高考卷改编】此题主要考察求数列通项,求数列前 n 项和,与不等式结 合属中等偏难题 (原题)设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? .

?

?

?

?

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式;

(3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b, a, b ? R ,
2

(1) 已知 f ( x) 在区间 (??,1) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2) 存在实数 a , 使得当 x ? ?0, b? 求 b 的最大值及此时 a 的值。 时, 2 ? f ( x) ? 6 恒成立, 【引用】本题主要考查二次函数单调性,对参数的讨论,函数与方程思想,数形结合思想, 属难题。

2015 年浙江省高考模拟卷 数学(理)答题卷
一、选择题: (本题满分 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

座位


二、填空题: (本题满分 36 分, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分)

考场

9.

, , , ,
14.





10. 11.

线
学号

12. 13.

15.


三、解答题: (本题满分 74 分) 16. (本题满分 15 分)

姓名



已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 ?ABC 中, f ( A ?

?
12

) ? 3 ,且 b ? c ? 4 ,求 ?A 的大小及边长 a 的最小值。


学校_____ __班级





17. (本题满分 15 分) 如图,在Δ AOB 中,已知 ?AOB ?

?
2

, ?BAO ?

?
6

, AB=4,D 为线段贴的中点. Δ AOC 是由绕

直线 AO 旋转而成,记二面角 B-AO-C 的大小为 ? . (I)当平面 COD 丄平面 AOB 时,求 ? 的值; (II) 当? ? 求二面角 B-OD-C 的余弦值
2? 3

18. (本题满分 15 分)

x2 y2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点构成等 2 a b
腰直角三角形。 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l : mx ? ny ?

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是 3

否存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在, 请说明理由。

19. (本题满分 15) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 4 ,前 n 项和 Sn 满足 sn ? an?1 ? n (1)求 an 的值

5 2 n?1 ? 1 ? 2 (2)令 bn ? ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: ?n ? N , Tn ? 。 4 nan

? ?

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b, a, b ? R , (3) 已知 f ( x) 在区间 (??,1) 上单调递增,求 a 的取值范围; (4) 存在实数 a , 使得当 x ? ?0, b? 求 b 的最大值及此时 a 的值。 时, 2 ? f ( x) ? 6 恒成立,

2015 年高考模拟试卷数学卷(理)参考答案及评分标准
一、选择题: (本题满分 40 分) 1 2 3 题号 答案 B C D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D

二、填空题: (本题满分 36 分, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分) 9 . 10. 11. 12.

?? 2,?1,0,1,2,3?
1 80 -2 , 6 , 135 ,



?0,1?



?? 2,?1?

1? ? ? 7,? ? ? 3? ?
14.

13. 1001 或 1002

2 6 ?3

15.

[

5 ,1] 5

三、解答题(本大题有 5 小题, 共 72 分) 16. ( 本 小 题 满 分 15 分 )

16.解:f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ? f ( x)最小正周期为T ? 令?

?
6

)......... .......... .......... .......... .......... .......... .3分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?

2? ? ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .4分 2 ? 2k?得 ? ? k? ,

?

2

6

? k? ? x ?

?

3

? k?,k ? Z .......... .......... .......... ...5分

? f ( x)单调递增区间为 [? (2)由(1)知f ( A ?

?
6

?
3

? k? ], k ? Z .......... .......... .......... .......... .......... ......... 6分

?
12

3 2? ? ? 又 ? 0 ? A ? ? ? 2 A ? ? 或2 A ? ? ? A ? 或A ? .......... .......... .......... .......... ...9分 3 3 3 3 3 2

) ? 2 sin(2 A ?

?
3

) ? 3 ? sin(2 A ?

?

)?

3 .......... .......... .......... .......... .7分 2

?

?

?

当A ?

?
3

时,由余弦定理可知,

b?c 2 ) ?4 2 当且仅当b ? c ? 2时等号成立? 此时a的最小值为 2.......... .......... .......... .......... .......... .11分 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? 3( b?c 2 ) ?8 2 2 当且仅当b ? c ? 2时等号成立? 此时a的最小值为 2 2 .......... .......... .......... .......... .......... ...14分 当A ? 时,由勾股定理可知, a 2 ? b 2 ? c 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? (b ? c) 2 ? 2( ?当A ?

?

?
3

时,a的最小值为 2;当A ?

?
2

时,a的最小值为 2 2。 .......... .......... .......... .......... 15分

17. (本小题满分 15 分) (Ⅰ) 解:在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线,垂足为 E, 因为平面 AOB⊥平面 COD, 平面 AOB∩平面 COD=OD, 所以 BE⊥平面 COD, 故 BE⊥CO. 又因为 OC⊥AO, 所以 OC⊥平面 AOB, 故 OC⊥OB. 又因为 OB⊥OA,OC⊥OA, 所以二面角 B-AO-C 的平面角为∠COB,即 ? = 分 时, 3 过 C 作 OB 的垂线,垂足为 F,过 F 作 OD 的垂线,垂足为 G,连结 CG, 则∠CGF 的补角为二面角 C-OD-B 的平面角. 在 Rt△OCF 中,CF= 3 ,OF=1, 在 Rt△CGF 中,GF=OF sin ……………10 分 (Ⅱ) 解:当 ? = C G (第 20 题) ……………7 F O ……………3 分 E B D A

? . 2

2?

3 15 ? = ,CG= , 2 2 3

所以 cos∠CGF =

FG CG



5 . 5

所以二面角 C-OD-B 的余弦值的取值范围为 ? ?

? ?

5 1? , ?. 5 3?

……………15 分

解法二:

(Ⅰ)以 O 为原点,在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴,OB,OA 所在的直线分别为 y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A (0,0,2 3 ),B (0,2,0), D (0,1, 3 ), C ( 3,?1,0) . 设 n1 =(x,y,z)为平面 COD 的一个法向量, 由 ?

? ?n1 ? OD ? 0, ? ?n1 ? OC ? 0,

? ? 3x ? y ? 0 得? 取 z=1,则 n1 =(-1,- 3 ,1). ? ? y ? 3z ? 0
又因为平面 AOB 的一个法向量为 n2 =(1,0,0), 设 二 面 角 C - OD - B 的 大 小 为

? , cos a ?
故 二

n1 ? n 2 n1 n 2


?

?1 1? 3 ?1


??

5 5


C

OD



B











? 5 1? ? , ? ? 5 3? ?
18. (本题满分 15 分) 解: (1)∵椭圆 C : 角三角形, ∴a ?

…………15 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 a2 b2

2b ∴

x2 y2 ? ?1 2b 2 b 2

又∵椭圆经过点 P (1, ∴a ?

2 ) ,代入可得 b ? 1 , 2
…………3 分 …………5 分
2

x2 ? y 2 ? 1. 2 1 (2)首先求出动直线过(0, ? )点. 3

2 ,故所求椭圆方程为

1 2 3 2 2 当 L 与 y 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? y ? 1


当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x ? ( y ? ) ? ( )

4 3

2

…………6 分 …………7

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) 。事实上,点 T (0,1)就是所求的点。 …………9 分 证明如下: 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) 若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?2
12k ? x1 ? x 2 ? ? 18k 2 ? 9 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ), 则? ? ? x x ? ? 16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

…………12 分

又因为 TA ? ( x1, y1 ?1),TB ? ( x2 , y2 ?1)

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )( kx 2 ? ) 3 3
? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 16 k ( x1 ? x 2 ) ? 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9
…………15 分

所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过 点 T(0,1) 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件. (注:其他解法相应给分) 19. (本题满分 15 分)

( 1 )n ? 1, a1 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 n ? 2时,a n ? s n ? s n ?1 , 得a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1), a n ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 an ? 1

a n ? 1 ? 2 n ?1 , 得a n ? 2 n ?1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 ? 4, n ? 1 a n ? ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7分 ?2 ? 1, n ? 2

(2)当n ? 1, b1 ?

1 2 n ?1 2 ?1 1 当n ? 2, bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 nan n 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11分 2 n(n ? 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? 2 ? .......... .. ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ........( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 2 n 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14分 n 5 所以Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15分 4
2 bn ?

20. (本题满分 14 分)

a (1 )由题意 ? 1, a ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3分 2 (2)当x ? ?0, b?时, 2 ? f ( x) ? 6恒成立,b ? 0, ? f ( x) min ? f (0) ? 2 ?a ? 0 1)若a ? 0, f ( x)在?0, b?上单调递增, 解得? ? ?5分 ? ?b ? 2 ? f ( x) max ? f (b) ? 6 a ? ? f ( x) min ? f ( ) ? 2 2)若0 ? a ? b, 此时? , 得a ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 7分 2 ? f ( x ) ? f ( b ) ? 6 max ? a ? ? f ( x) min ? f ( ) ? 2 3)若0 ? a ? b, 此时? , 无解 - - - - - - - - - - - -9分 2 ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? 6 mzn ? a ? ? f ( x) min ? f ( ) ? 2 4)若0 ? b ? a ? 2b, 此时? , 无解 - - - - - - - -11分 2 ? f ( x ) ? f ( 0 ) ? 6 mzx ? ? f ( x) min ? f (b) ? 2 5)若a ? 2b, ? , 无解 - - - - - - - - - - - - - - - - - -13分 ? f ( x) max ? f (0) ? 6 ?2,3?,b的最大值是3,此时a ? 2. ? ? ? 14分 综上,b的取值范围是


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