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第8章-第3节(抛物线答案)


第8章
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)

第 3 节(抛物线)

1.已知 d 为拋物线 y=2px2(p>0)的焦点到准线的距离,则 pd= 1 A. p2 2 B.p2 1 C. 2 1 D. 4 【答案】 D

1 1 1 【解析】拋物线方程可化为 x2= y,∴d= ,则 pd= ,故选

D. 2p 4p 4

2.抛物线 y2=24ax(a>0)上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为 A.y2=8x B.y2=12x C.y2=16x D.y2=20x

1 【解析】准线方程为 l:x=-6a,M 到准线的距离等于它到焦点的距离,则 3+6a=5,a= ,抛物线方程 3 为 y2=8x.
2 2

【答案】 A

x y 3.双曲线 - =1(mn≠0)的离心率为 2,有一个焦点与拋物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为 m n 3 A. 16 3 B. 8 16 C. 3 8 D. 3

?m+n=1. ? 1 3 3 【解析】由题意? 1 ∴m= ,n= .∴mn= . 4 4 16 ? m=2. ?

【答案】 A

1 4.在平面直角坐标系中,直线 l 的方程为 x=-1,AM⊥l,垂足为 M,若|AO|=|AM|+ ,则点 A 的轨迹 2 是 A.椭圆 B.双曲线 C.拋物线 D.圆

3 1 【解析】作直线 l1:x=- ,设点 A 到直线 l1 的距离为 d,由已知|AO|=|AM|+ , 2 2 ∴|AO|=d,即点 A 的轨迹为拋物线.故选 C.
2

【答案】 C

5.设 F 为拋物线 y =ax(a>0)的焦点,点 P 在拋物线上,且其到 y 轴的距离与到点 F 的距离之比为 1∶2, 则|PF|等于 a A. 4 B.a a C. 8 a D. 2

a 【解析】设 P(x0,y0),则 y2=ax0,由拋物线定义知|PF|=x0+ , 0 4 x0 1 a 由已知得 = ,解得 x0= , a 2 4 x0+ 4 a a a ∴|PF|= + = . 4 4 2 【答案】 D

→ → → 6.设 F 为拋物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该拋物线上三点.若FA+FB+FC=0, 则|F A |+|F B |+|F C |等于 A.9 B.6 C.4 D.3







【解析】焦点 F 坐标为(1,0),准线方程 x=-1,
-11

设 A、B、C 坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3). 过 A、B、C 三点向 x=-1 作垂线垂足分别为 A′、B′、C′,如图所示. → → → ∴FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FC=(x3-1,y3) → → → ∵FA+FB+FC=0, ∴x1-1+x2-1+x3-1=0, ∴x1+x2+x3=3 → → → ∴|FA|+|FB|+|F C |=|AA′|+|BB′|+|CC′|=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6. 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知拋物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与拋物线 C 交于 A,B 两点.若 P(2,2)为 AB 的中点,则拋物线 C 的方程为________. a 【解析】设拋物线方程为 y2=ax.将 y=x 代入 y2=ax,得 x=0 或 x=a.∴ =2.∴a=4. 2 ∴拋物线方程为 y2=4x. 【答案】 y2=4x 【答案】 B

8. 已知抛物线 y=ax2-1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为__. 1 1 【解析】把抛物线方程改写为 x2= (y+1)得顶点(0,-1),又原点为焦点,∴ =4, a a 1 ∴抛物线 x2=4(y+1)与 x 轴交于两点(2,0),(-2,0). ∴所求面积为 ×4×1=2.故填 2. 2 9. 过拋物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30° 的直线, 与拋物线分别交于 A、 两点(点 B |AF| A 在 y 轴左侧),则 =________. |FB| 【解析】如图,由拋物线定义:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. 1 1 又已知 AB 的倾斜角为 30° ,∴|BB1|-|AA1|= |AB|= (|AF|+|BF|), 2 2 1 |AF| 1 ∴|BF|-|AF|= (|AF|+|BF|),整理得|BF|=3|AF|,∴ = . 2 |BF| 3 三、解答题(共 46 分) x2 y2 10.(15 分)拋物线顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂 a b 3 直,已知拋物线与双曲线的一个交点为?2, 6?,求拋物线与双曲线方程. ? ? 【解析】由题设知,拋物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p=2c, 3 3 设拋物线方程为 y2=4c· ∵拋物线过点?2, 6?,∴6=4c·. x. ? ? 2 ∴c=1,故拋物线方程为 y2=4x. 【答案】 1 3 【答案】 2

3 x2 y2 9 6 9 6 又双曲线 2- 2=1 过点?2, 6?,∴ 2- 2=1.又 a2+b2=c2=1,∴ 2- =1. ? ? a b 4a b 4a 1-a2 1 3 4y2 ∴a2= 或 a2=9(舍).∴b2= ,故双曲线方程为:4x2- =1. 4 4 3 11.(15 分)已知排球场地长 18 m,在一次中国女排与古巴女排的比赛中,由中国女排队长冯坤发球,发球 中,冯坤所在的位置距离球网 11 m(垂直距离),发球点在距离地面 2.3 m 处,球到达的最高点距离地面 4.3 m,与球网的水平距离为 3 m(靠近发球位置这边),如图,则此球能否发在排球场内?
-22

【解析】建立如图所示的直角坐标系.则最高点 M 为(-3,4.3). 故方程可设为 y=a(x+3)2+4.3(a<0).发球点的坐标 C 为(-11,2.3), 1 代入方程可得 a=- , 32 1 ∴抛物线方程为 y=- (x+3)2+4.3, 32 1 43 令 x=9,则 y=- (9+3)2+ <0, 32 10 故球能发在场内. 12.(16 分)如右图所示,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1,以 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点 到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 17,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当 的坐标系,求曲线段 C 的方程. 【解析】以直线 l1 为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段 C 是以 点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段.其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中 xA、xB 为 A、B 的横坐标,p=|MN|, p p 所以 M?-2,0?、N?2,0?. ? ? ? ? p 由|AM|= 17,|AN|=3,得?xA+2?2+2pxA=17, ① ? ?

?xA-p?2+2pxA=9. 2? ?
4 ①②联立解得 xA= ,代入①式,并由 p>0, p



? ? ?p=4, ?p=2, 解得? 或? 因为△AMN 为锐角三角形, ? ? ?xA=1 ?xA=2. ?p=2, ?p=4, ? ? p 所以 >xA.故舍去? 所以? 2 ?xA=2. ?xA=1. ? ?

p 由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN|- =4. 2 综上,曲线段 C 的方程为 y =8x(1≤x≤4,y>0).
2

-3-

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