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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4 绝对值的三角不等式课后知能检测 新人教B版选修4-5

时间:2017-03-04


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.4 绝对值的 三角不等式课后知能检测 新人教 B 版选修 4-5

一、选择题 1.已知实数 a,b 满足 ab<0,那么有( A.|a-b|<|a|+|b| C.|a+b|<|a-b| )

B.|a+b|>|a|-|b| D.|a-b|<||a|-|b||

【解析】 ∵ab<0,∴|a-b|>|a+b|成立,|a-b| =|a|+|b|,|a+b|≥|a|-|b|也成立. 【答案】 C 2.若 a,b∈R,则以下命题正确的是( A.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b| C.当且仅当 ab>0 时,|a+b|=|a|+|b| D.当且仅当 ab≤0 时,|a-b|=|a|-|b| 【解析】 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和, 大于或等于它们 绝对值的差”可知选项 A 正确; 在选项 A 中, 以-b 代 b, 可得|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|, 所以选项 B 不正确;当且仅当 a,b 同号或 a,b 中至少有一个为零,即 ab≥0 时,|a+b| =|a|+|b|,所以选项 C 不正确;当 ab<0,|a-b|>|a|-|b|,所以选项 D 不正确. 【答案】 A 3.已知 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中不正确 的是( ... A.|a+b|>a-b C.|a+b|<|a|+|b| B.2 ab≤|a+b| D.| + |≥2 ) )

b a a b

【解析】 当 ab>0 时,|a+b|=|a|+|b|,C 错. 【答案】 C 4.“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 )

【解析】 当|x-a|<m,|y-a|<m 时, ∵|x-y|=|(x-a)-(y-a)| ≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m, ∴|x-a|<m 且|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分条件.
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取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有 |x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5, 不满足|x-a|<m=2.5, 故“|x-a|<m,且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”的充分非必要条件. 【答案】 A 二、填空题 5.(2013·重庆高考)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值 范围是________. 【解析】 ∵|x-5|+|x+3| =|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8. 【答案】 (-∞,8] 6.已知 α ,β 是实数,给出三个论断: ①|α +β |=|α |+|β |; ②|α +β |>5; ③|α |>2 2,|β |>2 2. 以其中的两个论断为条件,另一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题是 ________. 【解析】 ①、③成立时, 则|α +β |=|α |+|β |>4 2>5. 【答案】 ①③? ② 三、解答题 7.f(x)=|x-10|+|x-20|(x∈R),求 f(x)的最小值,并求当 f(x)有最小值时,实数

x 的取值范围.
【解】 ∵|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| ≥|(x-10)+(20-x)|=10. 当且仅当(x-10)(20-x)≥0 时取等号. 由(x-10)(20-x)≥0,得 10≤x≤20, 因此 f(x)的最小值为 10,此时实数 x 的取值范围是[10,20]. 5 2 8.设|a|≤1,函数 f(x)=ax +x-a(-1≤x≤1),证明|f(x)|≤ . 4 【证明】 f(x)=|a(x -1)+x|≤|a(x -1)|+|x| 由|a|≤1,|x|≤1,以及绝对值不等式性质,得
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2 2

|a(x -1)|+|x| 1 2 5 5 2 2 ≤|x -1|+|x|=1-x +|x|=-(|x|- ) + ≤ . 2 4 4 5 因此|f(x)|≤ 成立. 4 9.已知 f(x)=x -x+c 定义在区间[0,1]上,x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2,证明: (1)f(0)=f(1); (2)|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|. 【证明】 (1)f(0)=c,f(1)=c, 故 f(0)=f(1). (2)|f(x2)-f(x1)| =|x2-x2+c-x1+x1-c| =|x2-x1||x2+x1-1|, ∵0≤x1≤1,0≤x2≤1, 0<x1+x2<2(x1≠x2), ∴-1<x1+x2-1<1, ∴|x2+x1-1|<1, ∴|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|. 教师备选 ε ε 10.已知:|x-a|< ,0<|y-b|< ,y∈(0,M).求证:|xy-ab|<ε . 2M 2|a| 【证明】 ∵|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab| =|y(x-a)+a(y-b)|≤|y||x-a|+|a||y-b| ε ε ε ε <M· +|a|· = + =ε , 2M 2|a| 2 2 ∴|xy-ab|<ε .
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