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12章圆锥曲线知识点总结

时间:2014-05-14


高中数学

第 12 章曲线和方程

【课题】曲线和方程
(一)知识点归纳课本归纳出以下五个步骤:

(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步骤省略); (2)设曲线上任意一点的坐标为 ( x, y ) ; (3)根据曲线上点所适合的条件,写出等式; (4)用坐标 x、 y 表示这个等式,并化简; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 上述五个步骤可简记为:建系;设点;写出集合;列方程、化简;证明 (二)精练习题 1. 已知两定点 P 1 ( ?1, 0) 和 P 2 (3, 0) ,求到点 P 1和P 2 的距离的平方和是 16 的点的轨 迹方程.

2. 动点 M 与距离为 4 的两个定点 A、B 满足 MA ? MB ? 5 ,建立适当的坐标系,并求动 点 M 的轨迹方程.

2 2 3. 已知定点 A(4, 0) 和曲线 x ? y ? 1 上的动点 B,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程.

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第 12 章曲线和方程

(三)知识的归纳 (1)求两曲线的交点:直线与二次曲线的交点情况可以通过列方程组,然后求方程组的 解 而如果方程组由两个二元一次方程组组成,就不一定有类似的对应关系,除了用判断式, 还需要考虑变量的取值范围 (2)交点的个数,可利用求交点的方法来判定,也可数形结合来观察图像有几个交点,特 别是对于两个二次曲线

(3)求两交点间的距离,若两交点分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则两点间距离为
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 若是直线 y ? kx ? b 与二次曲线的交点, 则两点间的距

离还可以表示为 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 或者是 AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 (k ? 0) k2

(四)精练习题 1.已知曲线 C 的方程是 x2 ? y 2 ? 9 ,当 b 为何值时,直线 l : 2 x ? y ? b ? 0 与曲线 C 有两 个不同的交点?一个交点?没有交点?

2.已知点 A (?a, 0) ,B ( a, 0) ( a ? R ),若动点 C 与点 A、B 构成直角三角形,试求直角顶点 C 的轨迹方程

3 若直线 y ? 2 x ? b 被曲线 y ? 4 x 截得的弦 AB 的长为上 3 5 ,求 b 的值
2

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第 12 章曲线和方程

【课题】圆的标准方程
(一)知识点归纳 1.只要知道了圆心坐标和半径,就可以得出其相应的圆方程.我们称方程

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
是圆心为 ,半径为 的圆的标准方程.

2.方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 将方程(*)配方: ( x ?
2 2

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4
D E ,? ) ,半径 2 2

(1) 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)表示的轨迹为圆心 (?

r ? D 2 ? E 2 ? 4F 的圆即圆的一般方程;
(2) 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)表示一个点 (?
2 2

D E ,? ) ; 2 2

(3) 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程(*)无解,无轨迹图形.
2 2

2 2 由此可知,当且仅当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 是圆的方程.
2 2

3.线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为 ? ,圆的半径为 r,圆心 C 到直 线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 位置关系 几何特征 代数特征 交点个数
2 2 2

相切 d=r

相交 d<r

相离 d>r

? =0
1

? >0
2

? <0
0

1)圆 x ? y ? r 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 x0 x ? y0 y ? r 2 (在解题时可直接应用) 2)求圆的切线方程,方法一:利用圆心到直线的距离等于圆心的半径过圆外一点求圆的 切线有两条,若用点斜式方程注意斜率不存在的情况 方法二:还可以利用直线与圆只有一个交点,用一元二次方程的判别 式 ? ? 0 求解

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第 12 章曲线和方程

(二)习题精练 1.写出下列各圆的方程 (1)以点 C (?1,2) 为圆心,半径为 2 的圆的标准方程

(2)以点 C (?1,2) 为圆心,过点 P(0,3) 的圆的标准方程

(3)以点 C (1,?3) 为圆心,过点 P(1 ? 2 cost ,2 sin t ? 3) 的圆的标准方程

(4)求以 C(-3,4)为圆心,且与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程.

2.根据下列条件,求圆的方程: 1、 经过三点(2,2) 、 (1,0) 、 (3,0);

2、 过原点 O(0,0) 和点 A?3,?1? ,且在 y 轴上截得的弦长为 2 ;

3、 过点 A(5,2)和 B(3,2) ,且圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上

4、 经过点 A( 2,0) ,且和 y 轴相切与原点

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第 12 章曲线和方程

【课题】椭圆及其性质
1.椭圆的几何性质 标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
y M

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
y F2 x O F1 M x

图形

F1

O

F2

范围 对称性 性 质 顶点 焦点 两轴 焦距

-a≤x≤a,-b≤y≤b 关于 x 轴、y 轴和原点对称

-b≤x≤b,-a≤y≤a

(a,0) 、 (-a,0) 、 (0,b) 、 (0,-b) (0,a) 、 (0,-a) 、 (b,0) 、 (-b,0)

F1(-c,0) 、F2(c,0)
长轴长 2a,短轴长 2b |F1F2|=2c,c2=a2-b2

F1(0,-c) 、F2(0,c)

(二)习题精练

x2 y 2 ? ? 1 ,当 b 在何范围取值时, 1.已知直线 2 x ? y ? b 与椭圆 75 25
(1) 直线与椭圆有两个公共点; (2) 直线与椭圆有一个公共点; (3) 直线与椭圆无公共点.

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第 12 章曲线和方程

2.已知定点 F1 (-4,0) 、 F2 (4,0)和动点 M ( x, y ) ,求满足 MF 1 ? MF2 ? 2a(a ? 0) 的动点 M 的轨迹及其方程.

3.已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称,焦距为 6,该椭圆经过点(0,4) , 求它的标准方程

4.求椭圆

x2 y 2 ? ? 1 中,过点 M (2,1) 且平分于这点的弦所在直线的方程 16 4

【课题】双曲线的标准方程 (一) 知识点归纳 下面根据双曲线 C 的标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2
1.范围: 观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围:由双曲线的标准方程 得

x2 y2 ? ? 1 ? 1 所以双曲线 C 上每一点的坐标(x,y)都适合不等式 x 2 ? a 2 ,即 x ? a 或 a2 b2 x ? ? a ,这说明双曲线 C 在两条直线 x ? ? a 的外侧
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2.对称性:双曲线不封闭,但仍具三个对称性,称其对称中心为双曲线的中心 3.顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形),所以令 y ? 0 得 x ? ? a , 因此双曲线和 x 轴有两个交点 A (?a,0) A2 (a,0) ,它们是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的顶点,对称 a2 b2

x2 y2 轴上位于两顶点间的线段 A1 A2 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长, 它的长是 2a, a 叫半实轴 a b 长 y 轴上的两个特殊点 B1 (0, b), B2 ?0,?b? ,在双曲线中也有非常重要的作用 把线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b,b 叫做虚半轴长
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归纳:顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0?

特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?

实轴: A1 A2 长为 2a,a 叫做半实轴长. 虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长. 4. 渐近线:经过 A1、A2、B1、B2 作 x 轴、 y 轴的平行线 x ? ?a, y ? ?b ,围成一个矩形,
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第 12 章曲线和方程

其对角线所在的直线方程为 y ? ?

b x. a

(1) 定义:如果有一条直线使得当曲线上的一点 M 沿曲线无限远离原点时,点 M 到该 直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线; (2) 在方程

x2 y2 b ? 2 ? 1 中,即渐近线方程 y ? ? x ; 2 a a b
y2 x2 a ? 2 ? 1 ,则渐近线方程为 y ? ? x 2 b a b

若方程为

(二) 习题精练 1. 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦距为 26,动点到两焦点的距离之差为 24;

c ? 2 ,求双曲线的标准方程. a 9 (3) 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 中心在原点, 且点 P 2 ( ,5) 在此双曲线上, 1 (3,?4 2 ) ,P 4
(2)已知双曲线过定点 2m, 3m ?m ? 0? ,且 求双曲线的标准方程.

?

?

2.已知双曲线过点 P(4,3) ,它的一条渐近线的方程为 y ?

1 x ,求双曲线的标准方程 2

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第 12 章曲线和方程

【课题】抛物线的性质 (一)知识的归纳 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛 物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线
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2、抛物线的几何性质: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

y 2 ? 2 px ? p ? 0?
l

O

F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

y

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

l

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离

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抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线

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第 12 章曲线和方程

(二)习题精练 1.已知抛物线方程为 x 2 ? 4 y ,求抛物线上一点 P(m,4)到焦点 F 的距离

2. 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1) 已知抛物线的焦点坐标为 F(0,-2) (2) 关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,且经过点 M (2, ?2 2) (3) 焦点在直线 x ? y ? 1 ? 0 上

3.求以坐标原点为顶点,焦点在坐标轴上且经过点 M(-2,-4)的抛物线的方程

4. 求过定点 M(0,1)且与抛物线 y ? 2 x 只有一个公共点的直线的方程
2

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