nbhkdz.com冰点文库

2016.04.28数列通项公式的求法


递推数列通项公式的求法

一、累加法:an ? an?1 ? f (n) 型
二、累乘法:an=f(n)an-1型

1 2n ? 1 例、已知:a1 ? , an ? an ?1 , 求数列{an }的通项公式。 3 2n ? 1

变形:a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ?

f (n) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ? f (n) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? f (n ? 1)

五、待定系数法:an ? pan?1 ? q 型
设an ? m ? 3(an ?1 ? m), 则an ? 3an ?1 ? 2m, 对比an ? 3an ?1 ? 2, 得m ? 1, 于是, an ? 1 ? 3(an ?1 ? 1) ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n ?1 , 即an ? 2 ? 3n ?1 ? 1.

构造思想

例、数列{an },a1 ? 1,当n ? 2时,有an ? 3an?1 ? 2, 求an .

q m? p ?1

q q 构造成:an ? ? p(an ?1 ? ) p ?1 p ?1

? a1 ? (n ? 1)q, ( p ? 1) ? 能记下最好:an ? ? q q n ?1 ( a ? ) p ? ,( p ? 1) 1 ? p ?1 p ?1 ?
变形一:an ? pan?1 ? qn

变形二:an ? pan?1 ? kn ? m
1 例、数列{an }中,a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2), 求an . 2

解一:运用待定系数法转化为等比数列 设bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B an ?1 ? bn ?1 ? A(n ? 1) ? B, 1 ? bn ? An ? B ? an ? [bn ?1 ? A(n ? 1) ? B] ? 2n ? 1 2 1 1 1 1 即bn ? bn ?1 ? ( A ? 2)n ? ( A ? B ? 1). 2 2 2 2

?A ?2?0 ? ? A ? ?4 1 ?2 令? ?? 于是,bn ? bn ?1且bn ? an ? 4n ? 6 2 ? B?6 ? A ? B ?1 ? 0 ? ?2 2 1 n ?1 3 3 ? bn ? b1 ( ) , 即bn ? n ?1 ,? an ? n ?1 ? 4n ? 6. 2 2 2

1 ? an ?1 ? an ? 2n ? 1 ? ? 2 解二:由 ? 两式相减得 ? a ? 1 a ? 2n ? 1 n n ?1 ? ? 2 1 1 an ?1 ? an ? (an ? an ?1 ) ? 2, 令bn ? an ?1 ? an , 得bn ? bn ?1 ? 2, 2 2 再用选定系数法求bn,然后用累加法求an

1 解三:由an ? an ?1 ? 2n ? 1, 得 2n an ? 2n ?1 an ?1 ? (2n ? 1) ? 2n , 2 令 cn ? 2n an , 则 cn ? cn ?1 ? (2n ? 1) ? 2n,可用累加法求出cn

r 变形三:an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

an ? 2 an ? 2

2 n ? 1 ?1

2? 22 ? n

变形四:an?1 ? pan ? qan?1
例、已知数列{an }中,a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 5an?1 ? 6an?2 , 求数列的通项an .
设an ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an?2 ),即an ? (? ? ? )an?1 ? ? ? ? an?2 ,
?? ? ? ? 5, ? ? ? ? 6,

即?、? 是方程x2 ? 5x ? 6 ? 0的两根, ??=2,?=3,
?an ? 3an?1 ? 2(an?1 ? 3an?2 )或 an ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an?2 )

? an ? 3an ?1 ? (a2 ? 3a1 ) ? 2n ?2 ? ?2n ?2 (1) an ? 2an ?1 ? (a2 ? 2a1 ) ? 3n ?2 ? 0 (2) ?3? () 1 ? 2 得 : an ? 2n ?1. (2)

也可以直接由(2)得:an ? 2an?1 ?an ? 2n?1.

六、周期性法: