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2015年最新高考总复习高三文科数学作业第2篇 第9讲函数模型及其应用

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第9讲

函数模型及其应用

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 日照模拟)下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函 数模型是 x y A.一次函数模型 C.指数函数模型 解析 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 ( ).

B.幂

函数模型 D.对数函数模型

根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增

量是均匀的,故为一次函数模型. 答案 A

2.(2014· 湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽 快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定 的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0, 各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数 关系如图所示,在这四种方案中,运输效率 (单位时间的运输量)逐步提高的 是 ( ).

解析

由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应

该逐渐增大,故选 B. 答案 B

3.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而 每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车 站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元和 8 万元,那么要使这

两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ( A.5 千米处 C.3 千米处 解析 ).

B.4 千米处 D.2 千米处

k1 由题意得,y1= x ,y2=k2x,其中 x>0,当 x=10 时,代入两项费用 20 4 x· 5x

4 20 4 y1, y2 分别是 2 万元和 8 万元, 可得 k1=20, k2=5, y1+y2= x +5x≥2 20 4 =8,当且仅当 x =5x,即 x=5 时取等号,故选 A. 答案 A

4.(2013· 安徽名校联考)如图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,记四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t)的大致图象是 ( ).

解析

2 t ?0<t≤ ?, ? 2? ?? ? 2 由题意得,f(t)=? -?t- 2? +1? <t< ?2 ? ?1?t≥ 2?,
2

2?

?

? 2?, ?

故其图象为 C. 答案 C

5.(2014· 北京东城期末)某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的运转 费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万 元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备

年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为 A.10 C.13 解析 B.11 D.21

(

).

设该企业需要更新设备的年数为 x,设备年平均费用为 y,则 x 年后的

设备维护费用为 2 + 4 + ? + 2x = x(x + 1) ,所以 x 年的平均费用为 y = 100+0.5x+x?x+1? 100 100 =x+ x +1.5,由基本不等式得 y=x+ x +1.5≥ x 2 答案 100 100 x·x +1.5=21.5,当且仅当 x= x ,即 x=10 时取等号,所以选 A. A

二、填空题 6.(2013· 陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩 形花园(阴影部分),则其边长 x 为________(m).

解析

x 40-y 设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得40= 40 ,解得

y=40-x,所以面积 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40), 当 x=20 时,Smax=400.

答案

20

7.(2013· 北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元, 年产量为 x(x∈N*)件. 当 x≤ 20 时, 年销售总收入为(33x-x2)万元; 当 x>20 时, 年销售总收入为 260 万元. 记 该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y(万元)与 x(件)的函 数关系式为________, 该工厂的年产量为________件时, 所得年利润最大. (年

利润=年销售总收入-年总投资) 解析 当 x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,y

2 ?-x +32x-100,0<x≤20, =260-100-x=160-x.故 y=? (x∈N*). ?160-x,x>20

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156. 而当 x>20 时,160-x<140,故 x=16 时取得最大年利润. 答案
2 ?-x +32x-100,0<x≤20, ? y= (x∈N*) 16 ?160-x, x>20

8.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成 一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形 (如图所示),则 围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计).

解析

本题是实际问题,建立函数关系即可.设矩形场地的宽为 x m,则矩

形场地的长为(200-4x)m, 面积 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当 x= 25 时,S 取得最大值 2 500,即围成场地的最大面积为 2 500 m2. 答案 2 500 m2

三、解答题 9.(2014· 昆明质检)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯 水价”计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的,超出 4 吨的部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的 部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不

超过 12 元的家庭称为“节约用水家庭”, 随机抽取了该地 100 户的月用水量 作出如下统计表: 月用水量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例.



?2x,0≤x≤4, (1)y 关于 x 的函数关系式为 y=?4x-8,4<x≤6, ?6x-20,x>6.

(2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8; 当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16; 当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 12(6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). 77 (3)由(1)和题意知: 当 y≤12 时,x≤5,所以“节约用水家庭”的频率为100= 77%,据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%. 10.(2013· 南京、盐城高三期末)近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元,为了 节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安 装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米) 成正比,比例系数约为 0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互 补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费 C(单位:万 元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位: 平方米)之间的函数关系是 C(x) = k (x≥0,k 为常数).记 F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费 20x+100

用与该企业 15 年共消耗的电费之和. (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 F(x)关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少万元? 解 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的电费,即未

安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为 k 2 400 1 800 C(0) = 100 = 24 ,得 k = 2 400 ,所以 F(x) = 15× + 0.5x = + 20x+100 x+5 0.5x(x≥0). (2)因为 F(x)= ≥2 1 800 +0.5(x+5)-2.5 x+5

1 800×0.5-2.5=57.5, 1 800 =0.5(x+5), x+5

当且仅当

即 x=55 时取等号, 所以当 x 为 55 平方米时, F(x)取得最小值, 最小值为 57.5 万元.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还 征收附加税.已知某种酒每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售 量将减少 10x 万瓶, 如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为 A.2 C.8 解析 B.6 D.10 由 分 析 可 知 , 每 年 此 项 经 营 中 所 收 取 的 附 加 税 额 为 104· (100 - ( ).

x x 4 4 10x)· 70· (100-10x)· 70· 100,令 10 · 100≥112×10 ,解得 2≤x≤8.故 x 的最小 值为 2. 答案 A

2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这只股 票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 A.略有盈利 B.略有亏损 ( ).

C.没有盈利也没有亏损 解析

D.无法判断盈亏情况

设该股民购这只股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+

10%)n=a×1.1n, 经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n =a×(1.1×0.9)n=0.99n· a<a,故该股民这只股票略有亏损. 答案 B

二、填空题 3.将一个长宽分别是 a,b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一 a 个无盖的长方体的盒子, 若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则b的取 值范围是________. 解析 b? ? 设切去正方形的边长为 x,x∈?0,2?,则该长方体外接球的半径为 r2 ? ?

b? 1 1 ? =4[(a-2x)2+(b-2x)2+x2]=4[9x2-4(a+b)x+a2+b2],在 x∈?0,2?存在最 ? ? 小值时, 必有 0< 答案 5? ? ?1,4? ? ? 2?a+b? b 5? a 5 a a ? 解得b<4, 又 0<b<a?b>1, 故b的取值范围是?1,4?. 9 <2, ? ?

三、解答题 4.(2014· 孝感统考)某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外 每生产 100 件这样的产品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品 年 需 求 量 为 500 件 , 产 品 销 售 数 量 为 t 件 时 , 销 售 所 得 的 收 入 为 1 ? ? ?0.05t-20 000t2?万元. ? ? (1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关 于当年产量 x 的函数为 f(x),求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? 解 1 (1)当 0<x≤500 时,f(x)=0.05x-20 000x2-

x x2 19 1 ? ? ?0.25×100+0.5?=- + x - 20 000 400 2, ? ? 1 当 x>500 时,f(x)=0.05×500-20 000×5002-

x 1 ? ? ?0.25×100+0.5?=12- 400x, ? ? 1 19 1 2 - x + x - ? ? 20 000 400 2,0<x≤500, 故 f(x)=? 1 12 - ? ? 400x,x>500. x2 19 1 (2)当 0<x≤500 时,f(x)=-20 000+400x-2= 1 345 -20 000(x-475)2+ 32 , 345 故当 x=475 时,f(x)max= 32 . 1 5 344 345 当 x>500 时,f(x)=12-400x<12-4= 32 < 32 . 故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.


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