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2014届高三数学10月考试卷


寨圩中学 2013 年秋季学期 10 月考试卷
高三级理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 1、设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A B ? ( ) 2 1 A. {x ?1 ? x ? 2} B. {x |

? ? x ? 1} 2 C . {x | 2、函数

x ? 2}

D. {x |1 ? x ? 2} )

f ( x) ? x ? 3 ? log2 ? 6 ? x ? 的定义域是(
B. ?x | ?3 ? D.

A. ? x | x ? 6? C. ?x | x ? ?3? 3、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 (A)6 (B)5

x ? 6?

?x | ?3 ≤ x ? 6?
) (D)10 )

? 10 ,则 a5 的值为(
(C)8

4、下列函数中,既是奇函数又是区间 (0 , ? ?) 上的增函数的是( A. t ? x 2
1

B. y ? x

?1

C.

y ? x3

x D. y ? 2

5、若把一个函数 y= f ( x) 图象按 a ? ( ?
y= f ( x) 的解析式为( A、 y ? cos( x ? C、 y ? cos( x ? )

?
3

, ?1) 平移后得到函数 y ? cos x 的图象,则函数

? ?
3 3

) ?1 ) ?1
x0

B、 y ? cos( x ? D、 y ? cos( x ?

?
?
3 3

) ?1 ) ?1

6、命题“存在 x0 ? R, 2

? 0”的否定是. (



(A)不存在 x0 ? R, 2 x0 >0 (C)对任意的 x ?R, 2 x ? 0

(B)存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0 (D)对任意的 x ? R, 2 x >0
高三理数- 1 -

7、“

”是“



”的(

)

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 8、在同一坐标系中画出函数 正确的是( )
y 1 y

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

y ? log a x , y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能
y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B

C

D

9、设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 (A) -11 (B) -8 (C) 5

? a5 ? 0 ,则 S5
(D)11

S2

?(



→ → → → → 10、在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD=(

)

2 1 A .3b+3c

5 2 B. 3c-3b

2 1 C .3b-3c

1 2 D .3b+3c

? 4? ? 11、如果函数 y =3sin(2x +φ)的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最 ? 3 ?

小值为( (A)



? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

12 、 已 知 函 数 f (t ) 是 奇 函 数 且 是 R 上 的 增 函 数 , 若 x , y 满 足 不 等 式

f ( x2 ? 2x) ≤ ? f ( y 2 ? 2 y) ,则
A. 3

x2 ? y 2 的最大值是(
C. 8

) D. 16

B. 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题 卡的相应位置。 13、设 f ( x) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数,且 f (?1) ? 1, 若 cos ? ? ?
70 , 10

高三理数- 2 -

则f (12) ? f (10cos 2? ) ?
4? b = ?, 1 1? 14 、 已 知 向 量 a = ? 2,, . 若 向 量 b ? (a + ? b) , 则 实 数 ? 的 值
是 . .

?2 x , x ? 0 15、已知函数 f ( x) ? ? , f (?8) ? ? f ( x ? 3) , x ≤ 0
16、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1

? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取

最小值时,n= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤。 1 ? sin 2 x 17、 (10 分)已知函数 f(x)= , (Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)设α cos x 4 是第四象限的角,且 tan ? = ? ,求 f( ? )的值. 3

18、 (12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn= 项和 Tn .
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n an ? 1
2

19、 (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x. 2 2

求(1) f ( x) 的最小正周期; (2) f ( x) 函数图象的对称轴方程; (3) f ( x) 的单 调区间。

高三理数- 3 -

20、 (12 分)已知 a、b、c 为△ABC 的三边, (1)acosA=bcosB,判断△ ABC 的形状; (2)△ABC 的面积为 12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a.

21 、 ( 12 分) 已知函数

f ( x) ? log3 (ax ? b) 的图象经过点 A(2,1) 和
(1)求数列 {an } 的通项公式;

B(5,2) ,记 an ? 3 f ( n) , n ? N *.
(2)设 bn ?

an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,若 Tn ? m(m ? Z ) ,求 m 的最小值; 2n

? 3 3 x x x, sin x), b=( cos , 且 x∈[0, ]. 若 ? sin ), 2 2 2 2 2 3 f (x)=a · b-2 ? |a+b|的最小值是 - ,求 ? 的值. 2

22、 (12 分) 已知向量 a=(cos

高三理数- 4 -

寨圩中学 2013 年秋季学期 10 月考试
高三级理科数学参考答案
一、1.A 2.D 3、B 4.C 5. 6.D 7.A 8.D 9.A 2 2 1 → =AB → +BD → =AB → +2BC → 10.A(AD 3 =c+3(b-c)=3b+3c,故选 A.) 11.C 解:
? 4? ? 函数 y =3sin(2x +φ)的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 4? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

12 . C ; 由 f ( x) 为 奇 函 数 得 f ( x2 ? 2x) ≤ f (2 y ? y 2 ) , 又 f ( x) 为 增 函 数 , 有

x2 ? 2 x ≤ 2 y ? y 2 ,即 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ≤ 2 ,它表示圆心在 (1, 1) ,半径为 2 的
圆的内部(包括边界) ,故到原点最远的点为 (2, 2) ,从而 x2 ? y 2 ? 8 . 二、13.-1 14.-3 15. 2 16.6

三、17.解:(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠ kπ + 故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ + (Ⅱ) ∵tanα = ? 故 f(α )=

? , k∈Z}. 2

? (k∈Z), 2
3分 7分

4 4 3 ,且α 是第四象限的角, ∴ sinα = ? , cosα = , 5 3 5

1 ? sin 2? 1 ? 2 sin ? cos ? = cos ? cos ?

=

? 4? 3 1? 2? ? ? ?? ? 5? 5 3 5

=

49 . 15

10 分

18. (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以
? a1 ? 2d ? 7 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26

3分

解得

a1 ? 3 , d? 2 ,

5分
n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以

7分

高三理数- 5 -

bn =

1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

10 分

1 1 1 1 所以 Tn = ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

12 分

19.解: f ( x) ? 1 [(cos2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x] ? 1 (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 cos(2 x ? ? ) 4 分
2 2 2 4

(1) f ( x)的最小正周期为T ?

? 2?

2? ?? 2 ? k? ? 2x ? ? k? 则x ? ? , 4 2 8

5分
k ?Z k? ? ? , 2 8 k ?Z

? f ( x)函数图象的对称轴方程为x ? (注 : 若写成x=k? ?

?
8

或x ? k? ?

? 3?

令 2 k? ? 2 x ?

?
4

3? , k ? Z 也可以) 8

? 2 k? ? ? 3? 8 k ?Z

则k? ?

?
8

? x ? k? ?

令 2 k? ? ? ? 2 x ? 则k? ?

?
4

? 2 k?

5? ? ? x ? k? ? k ?Z 8 8 ? 3? ? ? ? f ( x )的单调增区间为 ? k? ? , k? ? k ?Z 8 8 ? ? ? 5? ?? ? f ( x )的单调减区间为 ? k? ? , k? ? k ?Z 8 8? ? ?

20.解析: (1)法一、∵acosA=bcosB,由正弦定理得:

sinAcosA=sinBcosB

2 分 ∴sin2A=sin2B

3分
? 2

∴2A=2B 或 2A=π -2B 4 分
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 法二∵acosA=bcosB,
? a?(

∴A=B 或 A+B =

5分 6分

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 2 2 4 2 2 4 ) ? b?( ) ? a c ?a ?b c ?b ? 0 2bc 2ac
高三理数- 6 -

? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b或c 2 ? a 2 ? b 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

?b ? 8 ?b ? c ? 2 (2)解法一:由 ? ,解得 ? 7分 ?c ? 6 ?bc ? 48
又∵S△ABCC= bc sin A ? ? 8 ? 6 sin A ? 12 3 , ∴ sin A ? ∴a2=b2+c2-2bc·cosA=64+36-2×8×6×(± ∴a=2 13 或 2 37 .
1 1 法二:∵S△ABC= bc sin A ? ? 48 ? sin A ? 12 3 , 2 2
1 2 1 2

1 3 ∴cosA=± 。9 分 2 2

1 )=100±48, 2

12 分 ∴ sin A ?
1 3 ∴cosA=± , 2 2

∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+2×48×(1± ∴a=2 13 或 a=2 37
?log 3 ( 2a ? b) ? 1 21.解: (1)由题意得 ? ,?2 分 ?log 3 (5a ? b) ? 2

1 )=100±48 2

?a ? 2 解得 ? , ?4 分 ?b ? ?1
?6 分

? f ( x) ? l o g 3 (2 x ? 1) 5 分
(2)由(1)得 bn ?

an ? 3l o 3g( 2n?1) ? 2n ?1, n ? N *

2n ? 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 , ?Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ①7 分 n 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ② 8分 ①-②得 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 ? ? n ?1 ? n?1 . 10 分 2 2 2 1 2n ? 1 2n ? 3 ?Tn ? 3 ? n ? 2 ? n ? 3 ? ? 3, ? mm i n? 3 12 分 2 2 2n 3 1 3 1 22.解:a · b ? cos x cos x ? sin x sin x ? cos 2x 2分 2 2 2 2

| a+b | ? (cos x ? cos x) 2 ? (sin x ? sin x) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 | cos x |
高三理数- 7 -

3 2

1 2

3 2

1 2

4分

? x ?[0 , ] 2

?

∴cos x≥0,因此| a+b |=2 cos x 6分

∴f (x)=a · b-2 ? |a+b|即 f (x) ? 2(cos x ? ?)2 ? 1 ? 2?2
?

? x ?[0 , ] ∴0≤cos x≤1 2 ①若 ? <0, 则当且仅当 cos x=0 时, f (x)取得最小值-1, 这与已知矛盾;

8分 ②若 0≤ ? ≤1,则当且仅当 cos x= ? 时,f (x)取得最小值 ? 1 ? 2?2 , 由已知得 ? 1 ? 2?2 ? ?
3 1 ,解得: ? ? 2 2

10 分

③若 ? >1,则当且仅当 cos x=1 时,f (x)取得最小值 1 ? 4? , 由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?
3 5 ,解得: ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

1 为所求. 2

12 分

高三理数- 8 -


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