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01--三角函数


模拟试题分类汇编解答题 1:三角函数
1. (2013 届北京海滨一模文)已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 .

(Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.
2. ( 2013 北 京 丰 台 二 模 数 学 文 科 试 题 及

答 案 ) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A,B,C, 且

π 3

π π 6 3

2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数;(Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

3. (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)已知函数

f ( x) ? 3sin(? ? 2x) ? 2cos2 x ?1, x ? R .

(Ⅰ)求 f ( ) ;(Ⅱ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

?

2

4. (2013 届北京西城区一模文科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是

3π . 4

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

5. ( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 文 科 试 题 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值;(Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

6. (2013 北京西城高三二模数学文科)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是

原点,始边与 x 轴正半轴重合 ,终边交单位圆于点 A ,且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 (Ⅰ)若 x1 ?

? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 3

? ? 6 2

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若

S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.
7. (2013 北京房山二模数学文科试题及答案) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,

且图象过点 ( , ) .

? 1 6 2

? (Ⅰ)求 ?,? 的值;(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
1

8. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)已知函数 f(x)=sin(2x+

?
6

)+cos 2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)=

3 ? ,a=2,B= ,求△ABC 的面积. 2 3

9. (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)已知函数

f ( x) ?

( 3 cos x ? sin x)sin 2 x 1 ? . 2cos x 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间.

?

3

10 . ( 20 13 届北京东城区一模数学文科) 在△ ABC 中 , 三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且

b sin A ? 3a cos B .
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值.

参考答案
2

π 3 1 2 f ( ) ? 2?( 3? ? ) ?1 3 2 2 1、 【答案】解:(I)
因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)
2

? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x)
? 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x
2π 2π π T? ? ?π = 2sin(2 x ? ) |? | 2 6 所以 f ( x ) 的周期为
π π π 2π π π 5π x ? [? , ] 2 x ? [ ? , ] (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 时, 3 3 , 6 6 6 (II)当 x??
所以当

?

f ( ? ) ? ?1 f( )?2 x? 6 时,函数取得最小值 6 6 时,函数取得最大值 6 当

?

?

?

2、 【答案】解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °
(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
2 2 2 ?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 2 2 2

3 sin(? ? 2 x) ? 2 cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? 1 ? f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 2 ? ? 1 2 6 2
3、 【答案】解:(Ⅰ)? f ( x) ?

?

(Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? 又由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

6

) 的最小正周期 T ? ? ,

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z) 可得
3

函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

?? , k? ? ? (k ? Z) 6 3?

4、 【答案】

(Ⅰ)解:依题意,得 f (

3π ) ? 0, 4

即 sin

3π 3π 2 2a ? a cos ? ? ? 0 , 解得 a ? 1 4 4 2 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x

g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ? (sin x ? cos x)2 ? 2sin 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x π ? 2 sin(2 x ? ) 4 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? , k ? Z 得 kπ ? 8 8
所以 g ( x) 的单调递增区间为 [kπ ?

3π π , kπ ? ] , k ? Z 8 8

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 2 2 2 2 4 ? ? ?? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? . 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 4 2 4 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? . 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 C ? ,所以 A ? B ? ,则 B ? . 12 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ?3 ? 由 得, b ? ? ? sin A sin B sin A sin 4
5、 【答案】(Ⅰ) f ( A) ? 2 cos

4

6、 【答案】

(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos

? ) 3

? ? 6 2

1 , 3

2

??

2 2 3

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) 2 2 3 3 4 3 2? ), 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 3 整理得 cos 2? ? 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? , 因为 6 2 3 ? ? 所以 2? ? , 即 ? ? 2 4
7、 【答案】(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知

??

由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?
3

?

?

? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2
3 ?? ? ? ?

2? ? 2, T

?

3

所以

?
3

?? ?

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 4 2 2 ? ? k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 解 2 k? ? ? 4 x ? 2 k? ? 得 2 2 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?
5

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

5? ? ,? ? , 6 2

?

8、 【答案】

9、 【答案】解(Ⅰ)

f( )? 3

?

( 3 cos

?

? 2? 1 3 3 ? sin )sin ( 3? ? )? 1 3 3 3 ? ? 2 2 2 ? 1 ? 0? 1 ? 1 ? 1 2 2 2 2 2cos 2? 3 2

(Ⅱ)由 cos ? 0得x ? k? ?

?

? ? ? ( k ? Z ) 故 f ( x ) 的 定义域为 ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? 2 2 ? ?

6

因为 f ( x ) ?

1 ( 3 cos x ? sin x )sin 2 x 1 ? ? sin x( 3 cos x ? sin x ) ? 2 2cos x 2

?

? 3 1 3 1 ? cos 2 x 1 3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2 2 2 2
2? ?? 2

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ? 2k? ?

? ?

?

3 ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 2 2 ?

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? , x ? k? ? ( k ? Z ) 2 2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? 3 2

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

?? ?

? 2? ? , ? k? ? , k? ? ? ? (k ? Z ) 2? ? 2 3 ?

10、 【答案】(共 13 分)

解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 .

7


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