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2.3平面向量的基本定理及坐标表示


平面向量的基本定理及 坐标表示
2.3

2.3.1 平面向量基本定理

思 考 ? 给定平面内任意两个向量e1,e2,请作出向量 3e1+2e2、e1-2e2,平面内的任一向量是否都可以用 形如?1e1+?2e2的向量表示呢?

在平面内任取一点O,作OA ? e1, OB ? e2, OC ? a,

过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点M; 过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N . 向量的线性运算性质可知,存在实数?1、?2,使得 OM ? ?1e1, ON ? ?2 e2 .由于OC ? OM ? ON, 所以a ? ?1e1 ? ?2 e2, 也就是说任一向量a都可以表示成?1e1 ? ?2 e2的形式.

平面向量基本定理

? 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 ?1、?2,使得a=?1e1+?2e2.
? 把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.

关于基底的几点说明:
1.e1 , e2均为非零向量,且不共线,它们是这一平面内所有向量的一组基底;
2.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一,?1,?2,是被 a,e1 , e2唯一确定的数量;

3.由定理可将任一向量a在给出基底e1 , e2的条件下进行分解;同一平面内 任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合;

4.?2 =0时, a与e1共线;?1 =0时, a与e2共线; ?1 ? ?2 ? 0时, a ? 0.

向量的夹角: 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a ,
OB ? b ,则?AOB ? ?
叫做向量
特别的:
O

?

B

b

?

a和 b
A

O ? A a 注意:两向量必须 的夹角. 是同起点的
a
B A
?

a
B
B

? ?0
a


b

?

? ? 180

b

O

b
O

?

a

b

同向

夹角的范围:0

?

a
0



b 反向
0

,180

?

? ? 90
a


A ?

b

垂直, 记作

a?b

例 1 ? 已知向量e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2.

解:

例 2
? 如图在基底e1、e2下分解下列向量:

例3.在等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120
A

0

60

?

B

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 做把向量正交分解.

思 考 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点

都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对
平面直角坐标系内的每一个向量,如何表示呢?

向量的坐标表示

? 在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i、j作为基底,则对于平面内的一个向量a, 有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj,

? 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y), ? 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标, ? 显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

当向量起点被限制在原点时,作OA ? a, 这时向量OA的坐标就是点A的坐标, 点A的坐标也就是向量OA的坐标, 二者之间建立的一一对应关系.

例 题

? 如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求 出它们的坐标. ? ? ? ? ? 解: a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).

例 题 ? 在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度 如图所示,分别求它们的坐标.

解:设a ? ( a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ),c ? ( c1 , c2 ),则 2 2 a1 ? a cos 45? ? 2 ? = 2,a2 ? a sin 45? ? 2 ? ? 2; 2 2 3 3 3 3 ? 1? b1 ? b cos120? ? 3 ? ? ? ? ? ? ,b2 ? b sin120? ? 3 ? ? ; 2 2 2 ? 2? 3 ? 1? c1 ? c cos( ?30?) ? 4 ? ? 2 3,c2 ? c sin( ?30?) ? 4 ? ? ? ? ? ?2, 2 ? 2? 因此a ?

?

? 3 3 3? 2, 2 , b ? ? ? , ? , c ? 2 3, ?2 . ? 2 2 ?

?

?

?

练一练 ? 如图,e1、e2为正交基底,分别写出图中向量a、b 、c、d的分解式,并分别求出它们的直角坐标.

? ? ? ? ?

解: a=2e1+3e2=(2,3), b=-2e1+3e2=(-2,3), c=-2e1-3e2=(-2,-3), d=2e1-3e2=(2,-3).

练一练
| OA |? 4 3 ? 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, ?xOA ? 60? ,求向量 OA 的坐标.

解:设点A ? x, y ?,则 x ? 4 3 cos60? ? 2 3, y ? 4 3 sin 60? ? 6 即A 2 3,6 ,所以OA ? 2 3,6 .

?

?

?

?

小 结

? 1. 平面向量基本定理; ? 2. 平面向量的正交分解; ? 3. 平面向量的坐标表示.

2.3.3平面向量的坐标运算





? 1. 平面向量基本定理; ? 2. 平面向量的正交分解; ? 3. 平面向量的坐标表示.

思 考 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b, ?a的坐标吗?

? a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j =(x1+x2,y1+y2). ? 同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2), ? ?a=?(x1i+y1j)=?x1i+?y1j=(?x1, ?y1), ? 已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB ? OB ? OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).

平面向量的坐标运算法则 ? (1)两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和(差). ? (2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原 来向量的相应坐标. ? (3)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去始点的坐标.

例 题
? 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标. ? ? ? ? 解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5), a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3), 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

例 题

? 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标 分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.

解:设顶点D的坐标为 ? x, y ?, 因为 AB ? ? ?1 ? ? ?2 ? ,3 ? 1? ? ?1, 2 ?, DC ? ? 3 ? x , 4 ? y ? , 由AB ? DC,得 ?1, 2 ? ? ? 3 ? x, 4 ? y ? , ?1 ? 3 ? x ?x ? 2 所以 ? ?? , ?2 ? 4 ? y ? y ? 2 故顶点D的坐标为 ? 2, 2 ? .

2.3.4平面向量共线的坐标表示

思 考 ? 如何用坐标表示两个共线向量? ? 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b?0, ? a与b共线,当且仅当存在实数?,使a=?b, ? 即(x1,y1)= ?(x2,y2), ? x1=?x2,y1=?y2,消去?后得,x1y2-x2y1=0.

例 题

已知a=(4,2),b=(6,y),且a//b,求y. 解:∵a//b,∴4y-2?6=0,∴y=3。

例 题 ? 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三 点之间的关系.

解: AB ? ?1 ? ? ?1? ,3 ? ? ?1? ? ? ? 2, 4 ?, AC ? ? 2 ? ? ?1? ,5 ? ? ?1? ? ? ? 3,6 ? 又2 ? 6 ? 3 ? 4 ? 0,故 AB / / AC, 直线AB、直线AC有公共点A, 所以A、B、C三点共线.

例 题

? 设线段两端点P1、P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2), ? (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标; ? (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P 的坐标.

1 ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? 解: , ?1? OP ? OP1 ? OP2 ? ? ?, 2 2 ? ? 2 ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? 所以点P的坐标为 ? , ?. 2 ? ? 2

?

?

1 ? 2 ? 如果P1P ? PP2,那么 2 1 OP ? OP P 1?P 1 P ? OP 1 ? 1P 2 3 2 1 2 1 ? OP OP2 ? OP OP 1? 1 ? 1 ? OP 2 3 3 3 ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? ?? , ? 3 3 ? ? ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? 所以点P的坐标是 ? , ?. 3 3 ? ?

?

?

? 同理,如果说 P 1P ? 2PP 2 那么点P的坐标是
? x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y2 ? , ? ? 3 ? 3 ?

练一练 ? 已知a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b的坐标.
? (-6,-8),(12,5) ? 已知:A(2,3),B(-1,5),且

1 1 AC ? AB, AD ? 3AB, AE ? ? AB 3 4



求点C、D 、E的坐标.

? 11 ? ? 11 5 ? C ?1, ? , D ? ?7,9 ? , E ? , ? ? 2? ? 4 2?

D ? ?2,0 ?

练一练 ? 已知三点A(1,1),B(-1,0),C(0,1),求另一点D(x,y), 使 . ? CD AB

D ? ?2,0 ?
? 若三点A(1,1),B(2,-4),C(x,-9)共线,求x的值. x=3

练一练 ? 已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a、b的坐标.

? a=(-1,2),b=(-2,-1)

小 结

? 1.平面向量的坐标运算法则 ? 2.平面向量共线的坐标表示

? 3. 利用向量思想证明点共线的方法.

回家作业

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