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第9讲 数列求和题型分类归纳解析

时间:2012-12-21


第9讲

数列求和题型分类归纳解析

例 1.求数列 1,,, ,n ? 1 的所有项的和 47?3

例 2.求和 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n?2 ( n ? 2, x ? 0 )

并项法求和 例 3.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n?1 n 2 ,求 S100 。

例 4.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n 4n ,求 S 20 及 S 35 。 ,

错位相减法求和

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。
例 5.求和 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0 ) 。

裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例 6.求和
1 1 1 1 。 ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

例 7.求和

1 2 ?1

?

1 3? 2

?

1 2? 3

???

1 n ?1 ? n



倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。
S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ? ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……
[练习]

x2 ? 1? ? 1? ? 1? 已知f ( x) ? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2
2

? 1? ? ? ? x?

2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
? 1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S100 ?




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