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湖北省黄石市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


黄石三中 2015-2016 学年度上学期期中考试 高二年级理科数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题中,假命题是( A、 ?x ? R,3
x ?2

) B、 ?x0 ? R, tan x0 ? 2 D、 ?x ? N*,( x ? 2)2 ? 0
2 2

?0

r />C、 ?x0 ? R,log2 x0 ? 2 A.P 在圆内 C.P 在圆上
2 2

2.若直 线 ax+by=1 与圆 C:x +y =1 相交,则点 P(a,b)与圆 C 的位置关系是( B.P 在圆外 D.不确定 ) 1 1 B. <

)

3.若曲线 ax +by =1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足( A.a >b
2 2

a b
2 2 2

C.0<a<b

D.0<b<a )

4.已知圆 C1:(x+1) +(y-1) =1,圆 C2 与圆 C 1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( A.(x+2) +(y-2) =1 C.(x+2) +(y+2) =1
x x
2 2

2

B.(x-2) +(y+2) =1 D.(x-2) +(y-2) =1
3 2 2 2

2

2

5.已知命题 p: ? x∈R,2 <3 ,命题 q: ? x∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的是( A.p∧q B. ? p∧q C.p∧ ? q D. ? p∧ ? q

)

→ → → → 6.如图,在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,已知AB=a,AD=b,AA1=c,则用向量 a,b,c 可表示向量BD1 等于( )

A.a+b+c 面 α 内的是( A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) )

B.a-b+c

C.a+b-c

D.-a+b+c

7.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-3,6),则下列点 P 中,在平 B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) ) → → → → B. AE?BC=AE?CD → → → → D.AE?BC与AE?CD的大小不能比较
2

8.空间四边形 ABCD 的各边和对角线均相等,E 是 BC 的中点,那么( → → → → A..AE?BC<AE?CD → → → → C.AE?BC>AE?CD

9.动圆的圆心在抛物线 y =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过点( A.(4,0) 10. F1,F2 是椭圆 C1: B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2)

)

x2 2 +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1,C2 在第 4
)

二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

1

A.错误!未找到引用源。 B.

3

错误!未找到引用源。 C .

3 2

错误!未找到引用源。

D.

6 错误!未找到引用源。 2


11.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、F2 ,点 A 在 C 上,若 F 1 ?( 1A ? 2 F 2 A ,则 cos ?AF2 F

A.

1 4

B.

1 3
2 2

C.

2 4

D.

2 3

12.已知圆 C:(x-3) +(y-4) =1 和两点 A(-m,0)、B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在点 P,使得∠APB= 90°,则 m 的最大值为( A.7 B.6 ) C.5 D.4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.圆心在 y 轴上,半径为 5,且经过点(3,-4)的圆的方程为________. 14.命题“ ? x∈[0,+∞),x +x≥0”的否定是
3

.

→ → → → 15. 已知 P 和不共线三点 A, B, C 四点共面且对于空间任一点 O, 都有OP=2OA+OB+λ OC, 则 λ =________. 16.已知 a?b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)?(λ a -b)=0,则 λ 等于________.

三.解答题(共 70 分) 17. (10 分)设集合 A=(-∞,-2]∪[3,+∞),关于 x 的不等式(x-2a)(x+a)>0 的解集为 B(其中 a<0). (1)求集合 B; (2) 设 p:x∈A,q:x∈B,且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

18.(12 分)已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)设 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= 17,求 l 的倾斜角; (2 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

2

2

19. (12 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲.乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m / min 。 在甲出发 2 min 后, 乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量,

cos A ?

12 3 , cos C ? 。 13 5
2

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

20. (12 分)等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

21.(12 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足

B1F=2FB.
(1)求证:EF⊥A1C1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与 平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

22. (12 分)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 相交于 A,C 两点,O 4 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.

x2

2

3

高二理科数学答案 1-5 DBCBB 6-10 DACBD 11-12 或 AB

13. x 2 ? y 2 ? 25

x2 ? ( y ? 8)2 ? 25

14. ? x0∈[0,+∞),错误!未找到引用源。+x0<0 15.-2 16.

3 2
(2)由(1)知 ? p: C
R

17.解:(1)因为 a<0,所以 2a<-a,所以 B={x|x<2a,或 x>-a}=(-∞,2a)∪(-a,+∞). ?5 分 A=(-2,3), ? q: C
R

B=[2a,-a].

由 ? p 是 ? q 的充分不必要条件 故错误!未找到引用源。 解得 a ≤ -3, 所以 a 的取值范围为(-∞,-3].

????????10 分

18.解:(1)由已知直线 l:y-1=m(x-1),知直线 l 恒过定点 P(1,1). ∵1 =1<5,∴P 点在圆 C 内, 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组
? ?x +?y-1? =5, ? ?mx-y+1-m=0, ?
2 2 2 2 2 2 2

消去 y 得

(m +1)x -2m x+m -5=0,x1,x2 是一元二次方程的两个实根,??3 分 ∵|AB|= 1+m |x1-x2|, 16m +20 2 ∴ 17= 1+m ? ,∴m =3,m=± 3, 2 1+m
2 2 2

π 2π ∴l 的倾斜角为 或 . 3 3

??????????????????6 分
2 2 2

(2)设 M(x,y),∵C(0,1),P(1,1),当 M 与 P 不重合时,|CM| +|PM| =|CP| , ∴ x + (y - 1) + (x - 1) + (y - 1) = 1. 整 理 得 轨 迹 方 程 为 x + y - x - 2y + 1 = 0(x≠1). ??????????????????????????11 分 当 M 与 P 重合时,M(1,1)满足上式, 故 M 的轨迹方程为 x +y -x-2y+1=0. 19.解: (1)∵ cos A ?
2 2 2 2 2 2 2 2

?????????12 分

12 3 , cos C ? 13 5

(0, ) ∴ A、C ? ∴ sinA ? 2

?

5 4 , sinC ? 13 5

? ? sin(A ? C) (A ? C) ? sinAcos C ? cos AsinC ? ∴ sinB ? sin ?? ?

63 65

4

根据

AB AC AC ? sinC ? 1040 m 得 AB ? sinC sinB sinB

??????6 分

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则

d 2 ? (130 t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ? 130t ? (100 ? 50t ) ?
∴ d 2 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50)

12 13

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短。??12 分 37 37
∵0 ? t ? 20. 【解析】设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d . ?????????????????????? 3 分
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 , 整理得 10d ? 10d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 . ???????????????????????? 7 分 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . ?????????????????? 9 分 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 , 于是 S 20 ? 20a1 ?

20 ? 19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . ?????????? 12 分 2

21. (1)证明:以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角 坐标系, 1 ? ? 则 A(a,0,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),E?0,0, a?, 2 ? ? 1 F(a,a, a), 3 1 ? → → ? 所以A1C1=(-a,a,0),EF=?a,a,- a?. 6 ? ? → → 2 2 因为A1C1?EF=-a +a +0=0, → → 所以A1C1⊥EF. 所以 EF⊥A1C1. ????????????????4 分

(2)解析:设 G(0,a,h),因为平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1, 平面 ADD1A1∩平面 AEGF=AE,平面 BCC1B1∩平面 AEGF=FG,
5

所以 FG∥AE. → → 所以存在实数 λ ,使得FG=λ AE. 1 ? → ? 1 ? → ? 因为AE=?-a,0, a?,FG=?-a,0,h- a?, 2 3 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 所以?-a,0,h- a?=λ ?-a,0, a?. 3 ? 2 ? ? ? 5 所以 λ =1,h= a. 6 5 1 所以 C1G=CC1-CG=a- a= a. 6 6 1 故当 C1G= a 时,A,E,G,F 四点共面.????????8 分 6 1 ? → ? 1 ? → ? (3)解析:由(1)知,AE=?-a,0, a?,AF=?0,a, a?. 2 ? 3 ? ? ? 设 n=(x,y,z)是平面 AEF 的法向量, → ? ?n?AE=0, 则? → ? ?n?AF=0. 1 ? ?-ax+2az=0, 即? 1 ay+ az=0. ? ? 3 取 z=6,则 x=3,y=-2. 所以 n=(3,-2,6)是平面 AEF 的一个法向量. → 而DD1=(0,0,a)是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 θ , 则 cos θ = 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 . 7 → |n?DD1| |0?3+0?(-2)+a?6| 6 = = . 2 2 2 → 7 3 +(-2) +6 ?|a| |n|?|DD1|

??????12 分

6

22. (1)解析:因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.
2 t 1 ? 1? 所以可设 A?t, ?,代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3.所以|AC|=2 3. 4 4 ? 2?

??????????????????????????????4 分 (2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0.
? ?x +4y =4, 2 2 2 由? 消去 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0.???6 分 ?y=kx+m ?
2 2

设 A(x1,y1),C(x2,y2),则

x1+x2 4km y1+y2 x1+x2 m =- =k? +m= 2, 2. 2 1+4k 2 2 1+4k

? 4km 2, m 2?. 所以 AC 的中点为 M?- ? ? 1+4k 1+4k ?
1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

? 1? 因为 k??- ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. ????????????????????????????12 分

7


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