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2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.1抛物线的简单几何性质高效测评新人教A版选修1-1资料

时间:2017-03-18


2016-2017 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 抛物线 的简单几何性质高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.以 x 轴为对称轴,抛物线通径的长为 8,顶点在坐标原点的抛物线的方程是( A.y =8x C.y =8x 或 y =-8x
2 2 2

)

B.y =-8x D.x =8y 或 x =-8y
2 2

2

解析: ∵通径长为 8,∴2p=8.∵抛物线的对称轴为 x 轴, ∴抛物线的方程为 y =±8x. 答案: C 2.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y -6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.12 C.2
2 2 2 2 2

)

B.1 D.4

解析: 抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=- ,因为抛物线 y =2px(p>0)的准线 2 与圆(x-3) +y =16 相切,所以 3+ =4,p=2,故选 C. 2 答案: C → → 2 3.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足PA·PB=x ,则点 P 的轨迹是( A.圆 C.直线 B.椭圆 D.抛物线 )
2 2

p

2

p

→ → 解析: 依题意,PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y). → → 2 又PA·PB=x , ∴(-2-x)(3-x)+y =x ,即 y =x+6. ∴点 P 的轨迹是抛物线. 答案: D 4.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) )
2 2 2 2

解析: 设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心,抛物线 C 的准线方程为 y=-2,由圆 与准线相交知 4<r,因为点 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,所以 r=|FM|=y0+2>4,
1
2

∴y0>2.故选 C. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|= ________.
2

解析: 利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解. 由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点 A 到准线

x=-1 的距离为 3,
∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y =4x 得 y =8,由图知,y=2 2, ∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
2 2

?y=2 2?x-1?, 又? 2 ?y =4x,

1 ? ?x=2, 解得? ? ?y=- 2

或?

?x=2, ?y=2 2.

?1 ? 由图知,点 B 的坐标为? ,- 2?, ?2 ?
1 3 ∴|BF|= -(-1)= . 2 2 答案: 3 2

6.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点且过 A,B 的抛物线 方程是____________. 解析: 当抛物线开口向右时,可设抛物线方程为 y =2px(p>0). ∵A? 1 3 3 ? 3 1? 2 , ?,∴ = 3p,即 p= .∴y = x. 4 12 6 ? 2 2?
2 2

同理,当抛物线开口向左时,抛物线标准方程为 y =- 答案: y =±
2

3 x. 6

3 x 6

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
2

7.若抛物线 y =2px(p>0)上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6,求 P 点横坐 标及抛物线方程.

2

解析:

p ? ?x+2=10, 设 P(x,y),则? y =2px, ? ?|y|=6,
2

∴?

?x=9, ? ?p=2 ?

或?

?x=1, ? ?p=18. ?
2 2

∴P 点横坐标为 9 或 1,抛物线方程为 y =4x 或 y =36x. 8.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,求抛物线方程及|OM|的值.

? ? 2 解析: 设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为? ,0?,准线方程为 x=- , 2 ?2 ?
p p
∵M 在抛物线上, ∴M 到焦点的距离等于到准线的距离,即 ∴

?2-p?2+y2= ? 2? 0 ? ?

?2+p?2=3. ? 2? ? ?
2

解得:p=2,y0=±2 2,∴抛物线方程为 y =4x. ∴点 M(2,±2 2),根据两点距离公式有: |OM|= 2 +?±2 2? =2 3.
2 2

9.(10 分)如图,已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y =4x 于 A,B 两点,试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大,并求出这个最大面积.

2

解析: 由?

?y=2x-4, ? ?y =4x, ?
2

解得 A(4,4),B(1,-2),知|AB|=3 5,设 P(x0,y0)为抛

物线 AOB 这段曲线上一点,d 为 P 点到直线 AB 的距离,则

d=


|2x0-y0-4| 1 ?y0 ? = ? -y0-4? ? 5 5? 2 1 |(y0-1) -9|,
2

2

2 5

3

∵-2<y0<4, ∴(y0-1) -9<0. 1 2 ∴d= [9-(y0-1) ]. 2 5 9 从而当 y0=1 时,dmax= , 2 5
2

Smax= ×

1 2

27 ×3 5= . 4 2 5

9

27 ?1 ? 因此,点 P 在? ,1?处时,△PAB 的面积取得最大值,最大值为 . 4 ?4 ?

4