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BC数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) (2)


数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [综合训练 B 组] 一、选择题 1。若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是( )

A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个

实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 2.方程 lg x ? x ? 0 根的个数为( A.无穷多 B. 3 C. 1 ) D. 0

3.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10x ? x ? 3 的解, 则 x1 ? x2 的值为( A. ) D.

3 2

B.

2 3

C. 3

1 3


4.函数 y ? x ?2 在区间 [ , 2 ] 上的最大值是( A.

1 2

1 4

B. ? 1
x

C. 4

D. ? 4
x

5.设 f ?x? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( A. (1,1.25) C. (1.5, 2) )

B. (1.25,1.5) D.不能确定 )

2 6.直线 y ? 3 与函数 y ? x ? 6 x 的图象的交点个数为(

A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 x 7.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) C. (0, 2) B. (0,1) D. (0, ??)



二、填空题 1. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的年平均增长率为 x % , 2005 年底世界人口 为 y 亿,那么 y 与 x 的函数关系式为 .
1

2. y ? x a

2

?4a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
x ? 1 2



3.函数 y ? (0.5 ? 8)

的定义域是



4.已知函数 f ( x) ? x2 ?1 ,则函数 f ( x ? 1) 的零点是__________. 5. 函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm
2

?2 m?3

是幂函数, 且在 x ? (0, ??) 上是减函数, 则实数 m ? ______.

三、解答题 1.利用函数图象判断下列方程有没有实数根,有几个实数根: ① x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 ;② lg( x 2 ? x ? 2) ? 0 ; ③ x 3 ? 3x ? 1 ? 0 ; ④ 3 x ?1 ? ln x ? 0 。

2.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x ? 6) ? 2 ? 3 x 在区间 (1, 2) 内的近似解(精确到 0.1 ).

3.证明函数 f ( x) ?

x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数。

1996 年平均每台电脑的成本 5000 元, 4. 某电器公司生产 A 种型号的家庭电脑, 并以纯利润 2% 标定出厂价. 1997 年开始,公司更新设备、加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成 本逐年降低. 2000 年平均每台电脑出厂价仅是 1996 年出厂价的 80% ,但却实现了纯利 润 50% 的高效率. ① 2000 年的每台电脑成本; ②以 1996 年的生产成本为基数,用“二分法”求 1996 年至 2000 年生产成本平均每年降 低的百分率(精确到 0.01 )

2

数学1(必修)第三章 函数的应用(含幂函数) [提高训练 C 组] 一、选择题 1.函数 y

? x3 (



A.是奇函数,且在 R 上是单调增函数 B.是奇函数,且在 R 上是单调减函数 C.是偶函数,且在 R 上是单调增函数 D.是偶函数,且在 R 上是单调减函数 2.已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. b ? c ? a ) )

3.函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] D. [3, 4]

4.在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
使 f(



5.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内, 那么下列命题中正确的是( A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点 D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点 6.求 f ( x) ? 2 x ? x ? 1 零点的个数为 (
3





A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 )

3 7. 若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根, 则 a ? b 的值为 (

A. ? 1

B. ? 2

C. ?3

D. ? 4

二、填空题 1. 函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根, 则这三个实根的和为
3

1 2

1 2



2 2.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? ______。

3.一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查,制 成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如 图) ,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

4.函数 y ? x2 与函数 y ? x ln x 在区间 (0, ??) 上增长较快的一个是
2 x 5.若 x ? 2 ,则 x 的取值范围是____________。



三、解答题
x 1.已知 2 ? 256且 log 2 x ?

1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值. 2

2. 建造一个容积为 8 立方米, 深为 2 米的无盖长方体蓄水池, 池壁的造价为每平方米 100 元, 池底的造价为每平方米 300 元,把总造价 y (元)表示为底面一边长 x (米)的函数。

2 2 3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,求使方程 loga ( x ? ak ) ? loga2 ( x ? a ) 有解时的 k 的取值范围。

4

(数学1必修)第三章 函数的应用 [综合训练B组] 一、选择题 1. C 对于 A 选项:可能存在;对于 B 选项:必存在但不一定唯一 2. C 作出 y1 ? lg x, y2 ? 3 ? x, y3 ? 10x 的图象, y2 ? 3 ? x, y ? x 交点横坐标为 3. D

3 3 ,而 x1 ? x2 ? 2 ? ? 3 2 2

作出 y1 ? lg x, y2 ? x 的图象,发现它们没有交点

4.

C

y?

1 1 , [ , 2 ] 是函数的递减区间, ymax ? y | 1 ? 4 x? x2 2 2

5. 6.

B

f ?1.5? ? f ?1.25? ? 0

A 作出图象,发现有 4 个交点

7. A 作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a x 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点 二、填空题 1. 2.

y ? 54.8(1 ? x%)13
1,3,5 或 ?1

增长率类型题目

a 2 ? 4a ? 9 应为负偶数,

即 a2 ? 4a ? 9 ? (a ? 2)2 ?13 ? ?2k ,(k ? N * ) , (a ? 2)2 ? 13 ? 2k , 当 k ? 2 时, a ? 5 或 ?1 ;当 k ? 6 时, a ? 3 或 1 3. 4.

(?3, ??) 0, 2
2

0.5x ? 8 ? 0,0.5x ? 0.5?3 , x ? ?3

f ( x ?1) ? ( x ?1)2 ?1 ? x2 ? 2 x ? 0, x ? 0, 或 x ? 2
2 ? ?m ? m ? 1 ? 1 ,得 m ? 2 ? 2 m ? 2 m ? 3 ? 0 ? ?

5.

三、解答题 1.解:作出图象 2.解:略 3.证明:任取 x1 , x2 ?[?2, ??) ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 2 ? x2 ? 2

?

( x1 ? 2 ? x2 ? 2)( x1 ? 2 ? x2 ? 2) x1 ? 2 ? x2 ? 2

?

x1 ? x2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

因为 x1 ? x2 ? 0, x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x) ?
5

x ? 2 在 [?2, ??) 上是增函数。

4.解:略 (数学 1 必修)第三章 函数的应用 [提高训练 C 组] 一、选择题 1. 2. 3. 4. A C B B

f (?x) ? (?x)3 ? ?x 3 ? ? f ( x) 为奇函数且为增函数 a ? log 2 0.3 ? 0, b ? 20.1 ? 1, c ? 0.21.3 ? 1
f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 31 ? 0, f (1) ? f (2) ? 0
作出图象,图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如 指数函数 f ( x) ? 2x 的图象;向下弯曲型,例如对数函数 f ( x) ? lg x 的图象;

5.

C

唯一的一个零点必然在区间 (0, 2)

6. A 令 2 x3 ? x ?1 ? ( x ?1)(2 x2 ? 2 x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1 ,就一个实数根 7. C 容易验证区间 (a, b) ? (?2, ?1) 二、填空题 1. 2. 3.

3 2
4

对称轴为 x ?

1 1 1 ,可见 x ? 是一个实根,另两个根关于 x ? 对称 2 2 2

2 作出函数 y ? x ? 4 x 与函数 y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点

85

2000 年: 30 ?1.0 ? 30 (万) ;2001 年: 45 ? 2.0 ? 90 (万) ; 2002 年: 90 ?1.5 ? 135 (万) ;x?

30 ? 90 ? 135 ? 85 (万) 3

4. 5.

y ? x2
[2, 4]

幂函数的增长比对数函数快 在同一坐标系中画出函数 y ? x 与 y ? 2 的图象,可以观察得出
2 x

三、解答题

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4 4 2. 解: y ? 4 ? 300 ? 2 x ? 2 ?100 ? 2 ? ? 2 ? 100 x 1600 y ? 400 x ? ? 1200 x
x 1. 解:由 2 ? 256 得 x ? 8 , log2 x ? 3 即

6

3.解: loga2 ( x ? ak ) ? loga2 ( x ? a )
2 2 2

? ? ? x ? ak ? x ? ak ? x ? ak ? ? ? ? ? 2 2 ,即 ? x ? a ①,或 ? x ? ? a ② ?x ? a ?( x ? ak ) 2 ? x 2 ? a 2 ? ? 2 2 ? ? x ? a ( k ? 1) ? x ? a ( k ? 1) ? ? 2k 2k ? ?
a(k 2 ? 1) ? ak , k 2 ? 1 ,与 k ? 1 矛盾;②不成立 当 k ? 1 时,①得 2k
当 0 ? k ? 1 时,①得

a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,恒成立,即 0 ? k ? 1 ;②不成立 2k a(k 2 ? 1) ? a, k 2 ? 1 ? 2k ,不成立, 2k a(k 2 ? 1) ? ? a, 得 k ? ? 1 2k

显然 k ? 0 ,当 k ? 0 时,①得

②得 ak ? ∴ 0 ? k ? 1 或 k ? ?1

7


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