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肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练十(理)


肇庆市第一中学 2013-2014 学年第二学期高三年级 数学二轮专题训练十 数 学(理 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. 计算 A.2

(2 ? i)(1 ? i) 2 ? 1 ? 2i
B.-2 C .2 i D.-2 i

/>
2.将抛物线 y 2 ? 4 x 沿向量 a 平移得到抛物线 y 2 ? 4 y ? 4x ,则向量 a 为 A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-4,2) D. (4,-2) 3.从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样 从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行. 则每人入选的概率 A.不全相等 B.均不相等 C.都相等,且为

25 1002

D.都相等,且为

1 40

4.设 b 、 c 表示两条直线, ? 、 ? 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若 b ? ? , c // ? ,则 b // c. C.若 c // ? , c ? ? , 则? ? ? . B.若 b ? ? , b // c, 则c // ?. D.若 c // ? ,? ? ? , 则c ? ? .

5.下列四个函数:① y ?| tan x |, ② y ? lg | x |, ③ y ? sin( x ?

?
2

), ④ y ? 2 x ,其中是偶函

数,又在区间(-1,1)内连续的函数的个数是 A.0 B.1 C .2 D.3 6.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心 率等于 A.

3 5

B.

4 5

C.

5 13

D.

12 13

x 7.已知 a ? 0 ,集合 A ? {x || x ? 2 |? a}, B ? {x | a ? 1 } ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的

取值范围是 A. ? 2, ??? B. ? 0,1? C. ? 0,1? ? ? 2, ??? D. ? 0,1? ? ?1, ???

-1-

? y ? 0, y ?1 ? 8.实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0, 则W ? 的取值范围是 x ? 1 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
A. ? ?1, ? 3

? ?

1? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? 2 3? ?

C. ? ?

? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

D. ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

9.已知函数 f ( x) ? ? A. ? ??, ?1?

? x ? 1 ? a , x ? 0, ? log 2 x , x ? 0.
B. ? ?1,0?

有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为 C. ? ?1, ?? ? D. ? ?1,0?

10.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要 站在一起,则不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在答题卷的相应位 置上. 11. 右面的程序框图给出了计算数列 ?an ? 的前 8 项 和 S 的算法,算法执行完毕后,输出的 S 为 .

12.正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一球面上,若正四 棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 2 6 ,则此球的表面积 为 .

13.已知动圆 P 与定圆 C : ( x ? 2) 2 ? y 2 =1 相外切,又与 定直线 l : x ? 1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程 是 .
* 14.如图,第 n n ? N 个图形是由正 n ? 2 边形“扩展”

?

?

而来,则第 n 个图形中共有

个顶点.

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 设函数 f (x) ? sin ? ? x ? (1)求 f ? x ? 的表达式; (2)若 f (x) ? f ? ? x ? ? 求 tan x 的值.

? ?

??

? ? x ? R,? ? 0 ? 的部分图象如右图所示. 4?

1 ?? ? ? , x ?? , ? , 4 ?4 2?

-3-

16. (本小题满分 12 分) 某家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费 1000 元,便可以获得奖券一张. 每 张奖券中奖的概率为

1 , 若中奖, 则家具城返还顾客现金 1000 元. 某顾客购买一张价格为 5

3400 元的餐桌,得到 3 张奖券. 设该顾客购买餐桌的实际支出为 ? (元) . (1)求 ? 的所有可能取值; (2)求 ? 的分布列和数学期望 E? .

-4-

17. (本小题满分 14 分)

ABC , 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 AA 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 1B 1B ⊥底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是线段 BC1 60°的角, AA 1 ? 2 .底面
上一点,且 BE ?

1 BC1 . 3

(1)求证: GE ? 侧面 AA 1B 1B ; (2) 求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐 二面角的正切值.

-5-

18. (本小题满分 14 分) 飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到 达区域安排三个救援中心(记为 A , B , C ) , B 在 A 的正东方向,相距 6 km , C 在 B 的北偏东 30°, 相距 4 km ,P 为航天员着陆点, 某一时刻 A 接到 P 的求救信号, 由于 B 、 C 两地比 A 距 P 远,因此 4 s 后, B 、 C 两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信 号的传播速度为 1 km / s . (1)求 A 、 C 两个救援中心的距离; (2)求在 A 处发现 P 的方向角; (3) 若信号从 P 点的正上方 Q 点处发出, 则 A 、B 收到信号的时间差变大还是变小, 说明理由.

-6-

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 I, 导数 f '( x ) 满足 0 ? f ( x) ? 2 且 f '( x ) ? 1 , 常数 c1 为 方程 f ( x ) ? x ? 0 的实数根,常数 c2 为方程 f ( x ) ? 2 x ? 0 的实数根. (1) 若对任意 a,b ? I , 存在 x0 ? a,b , 使等式 f (b) ? f (a ) ? (b ? a ) f '( x0 ) 成立.求证:方程 f ( x ) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根; (2)求证:当 x ? c2 时,总有 f ( x ) ? 2 x 成立; (3) 对任意 x1 、x2 , 若满足 x1 ? c1 ? 1, x2 ? c1 ? 1 , 求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 .

?

?

?

?

-7-

20. (本小题满分 14 分) 把正奇数数列 {2n ? 1} 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 5 7 9 11 ????????? ???????????
* 设 amn m, n ? N 是位于这个三角形数表中从上往下数第 m 行、从左往右数第 n 个数.

?

?

(1)若 amn ? 2011,求 m,n 的值; (2)已知函数 f ( x ) 的反函数为 f
?1

( x) ? 8n x 3 ( x ? 0) ,若记三角形数表中从上往

下数第 n 行各数的和为 bn ,求数列 { f (bn )} 的前 n 项和 S n .

-8-

二轮专题训练十参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 A A C C C B C 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.92 三、解答题: 15.解: (1)设函数 f ? x ? 的周期为 T, 12.36 ? 13. y 2 ? ?8x 8 D
2

9 D

10 B

14. n ? 5n ? 6

?

T 3? ? ? ? - ? 得T ? ? , ?? ? 2 . 4 8 8 4

所以 f (x) ? sin(2 x ?

?

4

).

?????3 分

(2)∵ f ? x ? ? f ? ? x ? ? sin ? 2x ?

? ?

??

?? ? ?? 1 ?? ? ? ? sin ? -2x ? ? sin ? 2x ? ? cos ? 2 x ? ? ? , 4? ? 4 4? 4? 4 ? ? ?

∴ sin ? 4 x ?

? ?

?? 1

1 5? ?? ? ? .?9 分 ? cos4x ? ,又 x ? ? , ? , 4x ? (? ,2? ), ? x ? ?? 2? 2 2 12 ?4 2?
tan

3 5? ?? ? ? 4 6 ? 3 ? 2 ? 3 .????12 分 ? tan ? ? ? ? ∴ tanx ? tan ? ? 12 3 ? 4 6 ? 1-tan ? tan 1- 4 6 3 ? tan 1?
16.解: (1)? 的所有可能取值为 3400,2400,1400,400.????????????2 分 (2) P(? ? 3400) ? ? ? ?
2

?

?

?4? ?5?
2 3

3

64 , 125

48 1 ? 1 ?? 4? , P(? ? 2 4 0 0 ?)C3 ? ?? ? ? 125 ? 5 ?? 5?
3

2

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P(? ? 400) ? C3 , P(? ? 1 4 0 0 ?)C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125

? 的分布列为
?
P 3400 2400 1400 400

64 125

48 125

12 125
-9-

1 125

????????10 分

64 48 12 1 ? 2400 ? ? 1400 ? ? 400 ? ? 2800. ?????12 分 125 125 125 125 1 17.解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1EC1 ∽△FEB,BE= EC1, 2 1 1 ∴BF= B1C1= BC,从而点 F 为 BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心, 2 2
故 E? ? 3400 ? ∴A、G、F 三点共线.且

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 ,又 GE ? 侧面 AA1B1B, FA FB1 3

∴GE//侧面 AA1B1B. ??????????????????????????6 分 (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,AA1=2, ∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T, 由三垂线定理有 B1T⊥AF,又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF, ∴∠B1TH 为所求二面角的平面角.∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°, ∴HT=AH sin 30? ?

3 BH 2 3 .在 Rt△B1HT 中, tan?B1TH ? 1 ? , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .?????????14 分 解法 2: (1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, ∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图,

C 则 A ? 0, ?1,0? , B ? 0,1,0? ,

?

3, 0, 0 ,A1 0, 0, 3 , B1 0, 2, 3 , C1

? ?

? ?

?

?

3,1, 3 .

?

??????????????????????????????????3 分 ∵G 为△ABC 的重心,∴ G ?

? 3 ? , 0, 0 ? ? 3 ?. ? ?

? ??? ? 1 ???? ? ? BE ? BC1 ,∴ E ? ? 3 ?

3 3? ??? ? ? ???? ? ,1, ,∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . ? ? 3 3 ? 3 ? ? ? ? 3
????

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.????????????????6 分
a ?b? c ? 0, ?n ? B1 E ? 0, 得 ? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? ? 3 3 ? ? ???
? ?n ? GE ? 0.

? 3

2 3

? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ?

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0,0,1?
- 10 -

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n| 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos

2

??

2 7 2 3 ,进而 tan ? ? . 7 3
3

故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .??????????14 分 18.解: (1)以 AB 中点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则

A? ?3, 0? ,B?3, 0? ,C 5, 2 3
则 AC ?
2 2

? ?5 ? 3? ? ?2 3 ? ? 2

?

19 km

即 A、 C 两个救援中心的距离为 2 19 km . ???????????????4 分 (2) ∵| PC| ?| PB| ,所以 P 在 BC 线段的 垂直平分线上. 又 ∵| PB|?| PA| ? 4 ,所以 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的左支上,且 AB ? 6 ∴ 双

曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ? x ? 0? . 4 5

BC 的垂直平分线的方程为 x ? 3 y ? 7 ? 0 . 联立两方程 解得: x ? ?8 .

∴P ?8,5 3 ,k PA ? tan ∠PAB ? ? 3

?

?



∴∠PAB=120°. 所以 P 点在 A 点的北偏西 30°处. ????????????????????9 分 (3)如图,设 PQ ? h, PB ? x, PA ? y ,

∵ QB ? QA ?

x 2 ? h2 ?

y 2 ? h2

?

x2 ? y2 x2 ? h2 ? y 2 ? h2

? ? ?x ? y·

x? y x 2 ? h2 ? y 2 ? h2
- 11 -

又∵

x?y x ?h ?
2 2

y ?h
2

2

?1

∴ QB ? QA ? PB ? PA



QB QA PB PA ? ? ? 1 1 1 1

即 A、B 收到信号的时间差变小.????????????????????14 分 19.证明: (1)假设方程 f ( x ) ? x ? 0 有异于 c1 的实根 m,即 f ( m) ? m , 则有 m ? c1 ? f (m) ? f (c1 ) ? m ? c1 f '( x0 ) 成立. 因为 m ? c1 ,所以必有 f '( x0 ) ? 1 ,这与 f '( x ) ? 1 矛盾, 因此方程 f ( x ) ? x ? 0 不存在异于 c1 的实数根. ??????????????4 分 (2)令 h( x ) ? f ( x ) ? 2 x,∵h'( x ) ? f '( x ) ? 2 ? 0 ,∴函数 h ( x ) 为减函数. 又 ∵h( c2 ) ? f ( c2 ) ? 2c2 ? 0 ,∴当 x ? c2 时, h ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? 2 x 成立.?8 分 (3)不妨设 x1 ? x 2 ,

?

?

∵f '( x ) ? 0,∴f ( x ) 为增函数,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

又 ∵f '( x ) ? 2 ,∴函数 f ( x ) ? 2 x 为减函数,即 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 .

∴0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) . 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 ? x1 .

∵ x2 ? x1 ? x2 ? c1 ? c1 ? x1 ? x2 ? c1 ? x1 ? c1 ? 2 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 .???????????????????????14 分
20. 解: (1)?三角形数表中前 m 行共有 1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ?

m(m ? 1) 个数, 2

?第 m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第
故第 m 行最后一个数是 2 ?

m(m ? 1) 项.????????2 分 2

m(m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ? 1 . 2
2

因此,使得 amn ? 2011的 m 是不等式 m ? m ? 1 ? 2011 的最小正整数解. 由 m ? m ? 1 ? 2011 得 m ? m ? 2012? 0
2 2

- 12 -

?m ?

? 1 ? 1 ? 8048 ? 1 ? 7921 ? 1 ? 89 ? ? ? 44 , ? m ? 45. 2 2 2
2

于是,第 45 行第一个数是 44 ? 44 ? 1 ? 2 ? 1981

?n ?

2011 ? 1981 ? 1 ? 16. ???????????????????????4 分 2
?1

(2)? f

( x) ? 8n x 3 ? y ( x ? 0) ,

故 f ( x) ?

3

x
n

2

( x ? 0) .?????6 分

2 且有 n 个数, 若将 n ? n ? 1 看成第 n 行第一个数, ?第 n 行最后一个数是 n 2 ? n ? 1 ,

则第 n 行各数成公差为 ?2 的等差数列,故 bn ? n(n ? n ? 1) ?
2

n(n ? 1) ( ?2) ? n 3 . 2

? f (bn ) ?

n .????????????????????????????8 分 2n 1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n 故 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n . 因为 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 两式相减得: S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 .?????????10 分 2 2 2 2 2 2

1? 1? ?1 ? n ? n 1 n 2 2 ? ? ? ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 . 1 2 2 2 1? 2
? Sn ? 2 ? n?2 .?????14 分 2n

- 13 -


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