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2012年广州市二模数学试题(理科)

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2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分.满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? i , z2 ? 2 ? i ,且 | z1 |?| z2 | ,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.± 或 0 2

2.设集合 A={(x,y)|2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满足 C ? (A ? B)的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 A. 4 B.

1 4

C. ?

1 4

D.-4

4.已知等差数列{ an }的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 l5,所有偶数项之和为 25,则这个数 列的项数为 A.10 B.20

C.30

D.40

5.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 ? 、 ? ,在下列条件中,可得出 ? ? ? 的是 A. m ? l , l ∥ ? , l ∥ ? C. m ∥ l , m ? ? , l ? ? B. m ? l , ? ? ? , m ? ? D. m ∥ l , l ? ? , m ? ?

6.下列说法正确的是 A.函数 f ( x ) ?

1 在其定义域上是减函数 x

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C . 命 题 “
2

?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是

“ ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ” D.给定命题 P、q,若 P ? q 是真命题,则 ? P 是假命题

7.阅读图 l 的程序框图,该程序运行后输出的 A 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

1

8.已知实数 a , b 满足 a ? b ? 4a ? 3 ? 0 ,函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ? 1的最大值记为 ?( a,b ) ,则
2 2

?( a,b ) 的最小值为
A.1 B.2 C. 3 ? 1 D.3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收人家庭 90 户,为了调查购 买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 l00 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数 是 。

10.( 2 x ?

1 6 ) 展开式中的常数项是 x

(用数字作答)。

11. 已知不等式 | x ? 2 | >1 的解集与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相等, a ? b 的值为 则
2



12. 在平行四边形 ABCD 中, E 是 AD 的中点, 与 AC 相交于点 F, E ?A nD n R 点 BE 若 F mB A( , ) ? m 则

? ?

? ? ? ?

?



m 的值为 n



13. 已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点 |OP|? 2 (点 O 为坐标原点), M(-1, 则 cos ? OPM 点 0), 的取值范围是 。

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B,C 按顺时针方向排列)的顶 点 A,B 的极坐标分别为(2,

? 7? ),(2, ),则顶点 C 的极坐标为 6 6



15.(几何证明选讲选做题)如图 2,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O 的切线, 切点为 D,连接 AD,BD,则面

AD 的值为 BD



2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? 别为(

?
3

)( A ? 0,? ? 0 ) 在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分

(1)求 A 和 ? 的值; (2)已知 ? ?(0,

5? 11? ,2) ( ,-2) 。 12 12

? 4 ),且 sin ? ? ,求 f ( ? ) 的值. 5 2

17.(本小题满分 l2 分) 如图 3,A,B 两点之间有 6 条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4.从 中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为 ? . (1)当 ? ≥6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 l4 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN—ABCD,下半部分是长方体 ABCD—A1B1C1D1(如图 4).该建筑物 的正(主)视图和侧(左)视图如图 5,其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和 等腰三角形组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A,B,C,D,所成角的正弦值; (2)求二面角 A—MN—C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积.

3

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2:x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P, 当椭圆 C1 的离心率取得最大值时, 求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.

20.(本小题满分 l4 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? x,a ? R. 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 l4 分) 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 (-1 , 1) , 且 f (

1 ? 1 , 对 任 意 x, y ? ( ?1,1 ) , 都 有 ) 2

f ( x )? f ( y ) ? f (

2an x? y 1 ) ,数列{ an }满足 a1 ? ,an?1 ? ( n ? N * ). 2 1 ? xy 2 1 ? an

(1)证明函数 f ( x ) 是奇函数; (2)求数列{ f ( an ) }的通项公式; (3)令 An ?
n n a1 ? a2 ? ... ? an n ?1 ( n ? N * ) ,证明:当 n ? 2 时, | ? ai ? ? A1 |? 。 n 2 i ?1 i ?1

4

5

6

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