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新疆乌鲁木齐二十三中2015届高三数学上学期11月月考试卷 理(含解析)

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新疆乌鲁木齐二十三中 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题 2 1. (3 分)已知集合{A=x|x ﹣2x﹣3<0},{B=x|x>1},则 A∩B=() A. {x|x>1} B. {x|x<3} C. {x|1<x<3} D. {x|﹣1<x<1}

2. (3 分)复数 z= A. 1

的虚部是() B. ﹣1 C. i D. ﹣i

3. (3 分)已知 a,b∈R,下列四个条件中,使 a<b 成立的必要而不充分的条件是() a b A. |a|<|b| B. 2 <2 C. a<b﹣1 D. a<b+1

4. (3 分)方程 ln(x+1)﹣ =0, (x>0)的根存在的大致区间是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4)

5. (3 分)在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则 a5 的值为() A. 2 B. 3 C. 4 6. (3 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b
2 0.1 0.1

D. 5

D. b>c>a

7. (3 分)若 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,则 a 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣3] B. [﹣3,+∞) C. (﹣∞,5] D. [3,+∞) 8. (3 分)若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程为() A. 4x﹣y﹣3=0 B. x﹣4y﹣3=0 C. x+4y﹣3=0 D. 4x+y﹣3=0
4

9. (3 分)在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b, 且 a>b,则∠B=() A. B. C. D.

10. (3 分)已知函数 f(x)=sin(2π x+φ )的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴 的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则( )? 的值为()

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. 1 D. 2

11. (3 分)已知 四个命题: ①f(x)是周期函数,其最小正周期为 2π ; ②当 ③ ④点 时,f(x)有最小值 ;

,函数

,下列

是函数 f(x)的一个单调递增区间; 是函数 f(x)的一个对称中心.

正确命题的个数是() A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

12. (3 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) ,不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 的解集为() A. [﹣1,0)∪(3,4] B. [﹣1,0) C. (3,4] D. [﹣ 1,4]

二、填空题 13. (3 分)图中阴影部分的面积等于.

14. (3 分)已知 =(3,1) , =(sinα ,cosα ) ,且 ∥ ,则

=.

15. (3 分)若函数 f(x)=x ﹣3x﹣a 有 3 个不同零点,则实数 a 的取值范围是. 16. (3 分)如图,设 α ∈(0,π ) ,且 α ≠ ,当∠xOy=α 时,定义平面坐标系 xOy 为 α , 分别为 x 轴,

3

﹣仿射坐标系,在 α ﹣仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义:

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com y 轴正向相同的单位向量,若 确的序号有. ① =(m,n) ,则| |= ; =x +y ,则记为 =(x,y) ,那么在以下的结论中,正

② =(m,n) , =(s,t) ,若 ∥ ,则 mt﹣ns=0; ③ =(1,2) , (2,1) ,若 与 的夹角为 ,则 α = ;

④ =(m,n) , =(s,t) ,若 ⊥ ,则 ms+nt=0.

三、解答题(每题 12 分,共 60 分) 17. (12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC﹣1) =1. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 , ,求△ABC 的面积.

18. (12 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.数列{bn}满足 bn=an? (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.



19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 为正方形,AD=PD=2, E,F,G 分别为 PC,PD,CB 的中点. (I)求证:AP∥平面 EFG; (II)求平面 GEF 和平面 DEF 的夹角.

20. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,3]上的最小值;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ) 若存在 (e 为自然对数的底数, 且 e=2.71828?) 使不等式 2f (x) ≥﹣x +ax
2

﹣3 成立,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分)已知函数,y=f(x)=﹣x +ax +b(a,b∈R) (Ⅰ)要使 f(x)在(0,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a>0 时,若函数 f(x)的极小值和极大值分别为 1、 析式; (Ⅲ)若 x∈[0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为 θ ,当 0≤θ ≤ 求 a 的取值范围. .时, ,试求函数 y=f(x)的解
3 2

选做题(请从 22,23 题两题中任选一题作答.满分 10 分) 22. (10 分)已知 f(x)=|x﹣1|+|x+2|. (1)解不等式 f(x)≥5; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a ﹣2a 对于任意的 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. (φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 cos(θ ﹣ ) .

23.己知圆 C1 的参数方程为

极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ =2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

新疆乌鲁木齐二十三中 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题 2 1. (3 分)已知集合{A=x|x ﹣2x﹣3<0},{B=x|x>1},则 A∩B=() A. {x|x>1} B. {x|x<3} C. {x|1<x<3} D. {x|﹣1<x<1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据一元二次不等式的解法,求出集合 A,再根据交集的定义求出 A∩B. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0}=}{x|3>x>﹣1}, ∴A∩B={x|1<x<3}, 故选 C. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,以及求两个集合的交集的方法.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2. (3 分)复数 z= A. 1 的虚部是() B. ﹣1 C. i D. ﹣i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 分子分母同乘以 i,化简之后可得其虚部. 解答: 解:化简可得 z=

=

=

=﹣2﹣i

∴复数 z 的虚部为:﹣1 故选:B. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的基本概念,属基础题. 3. (3 分)已知 a,b∈R,下列四个条件中,使 a<b 成立的必要而不充分的条件是() a b A. |a|<|b| B. 2 <2 C. a<b﹣1 D. a<b+1 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由充要条件的判断方法,逐个验证可得. 解答: 解:“a<b”不能推出“|a|<|b|”,“|a|<|b|”也不能推出“a<b”,故选项 A 是“a<b”的既不充分也不必要条件; a b a b “a<b”能推出“2 <2 ”,“2 <2 ”也能推出“a<b”,故选项 B 是“a<b”的充要条件; “a<b”不能推出“a<b﹣1”,“a<b﹣1”能推出“a<b”,故选项 C 是“a<b”的充分 不必要条件; “a<b”能推出“a<b+1”,“a<b+1”不能推出“a<b”,故选项 D 是“a<b”的必要不 充分条件; 故选:D. 点评: 本题考查充要条件的判定,属基础题.

4. (3 分)方程 ln(x+1)﹣ =0, (x>0)的根存在的大致区间是() A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)=ln(x+1)﹣ ,得出 f(1)f(2)<0,从而得出答案. 解答: 解:令 f(x)=ln(x+1)﹣ , 而 f(1)=ln2﹣2<0,f(2)=ln3﹣1>0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴方程 ln(x+1)﹣ =0, (x>0)的根存在的大致区间是(1,2) , 故选:B. 点评: 他考查了函数的零点问题,特殊值代入是方法之一,本题属于基础题. 5. (3 分)在等差数列{an}中,a1+3a3+a15=10,则 a5 的值为() A. 2 B. 3 C. 4

D. 5

考点: 等差数列的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: 把条件化为 5(a1+4d)=5a5=10,从而求得 a5 的值. 解答: 解:在等差数列{an}中,∵a1+3a3+a15=5a1+20d=5(a1+4d)=5a5=10, 解得 a5=2, 故选:A. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,属于基础题. 6. (3 分)设 a=4 ,b=log40.1,c=0.4 ,则() A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b
0.1 0.1

D. b>c>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数的性质求解. 0.1 0 解答: 解:∵a=4 >4 =1, b=log40.1<log41=0, 0.1 0 0<c=0.4 <0.4 =1. ∴a>c>b. 故选:C. 点评: 本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对 数函数的性质的合理运用. 7. (3 分)若 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数,则 a 的取值范围是() A. (﹣∞,﹣3] B. [﹣3,+∞) C. (﹣∞,5] D. [3,+∞) 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用二次函数的性质,建立对称轴和 4 之间的关系,即可. 解答: 解:f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴为 x=﹣ 函数 f(x)在(﹣∞,1﹣a]上单调递减, 2 ∴要使 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在(﹣∞,4]上是减函数, 则对称轴 1﹣a≥4,解得 a≤﹣3. 即 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]. 故选 A.
2 2



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,利用二次函数单调性由对称轴决定,从而得 到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键. 8. (3 分)若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直,则 l 的方程为() A. 4x﹣y﹣3=0 B. x﹣4y﹣3=0 C. x+4y﹣3=0 D. 4x+y﹣3=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用垂直关系求出切线的斜率,设出切点,根据在切点处的导数等于斜率可求出切 点坐标,从而可求出切线方程. 4 解答: 解:∵曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y﹣8=0 垂直 4 ∴曲线 y=x 的一条切线 l 的斜率为 4 4 3 设切点为(m,m )则 4m =4,解得 m=1 ∴切点为(1,1)斜率为 4 则切线方程为 4x﹣y﹣3=0 故选 A. 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及两直线垂直的关系,同时 考查了计算能力,属于基础题.
4

9. (3 分)在△ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b, 且 a>b,则∠B=() A. B. C. D.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与 差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, ∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角, 则∠B= .

故选 A 点评: 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键. 10. (3 分)已知函数 f(x)=sin(2π x+φ )的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴 的交点,过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则( )? 的值为()

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A.

B.

C. 1

D. 2

考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的图象;正弦函数的定义域和值域. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据三角函数的图象和性质,求出函数的周期,利用向量的基本运算和向量的数量 积定义即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(2π x+φ )的周期 T= 则 BC= ,则 C 点是一个对称中心, =2 =2× ? = . ,

则根据向量的平行四边形法则可知: ∴( )? =

故选:B. 点评: 本题主要考查向量的数量积运算,利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.

11. (3 分)已知 四个命题: ①f(x)是周期函数,其最小正周期为 2π ; ②当 ③ ④点 时,f(x)有最小值 ;

,函数

,下列

是函数 f(x)的一个单调递增区间; 是函数 f(x)的一个对称中心.

正确命题的个数是() A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

考点: 平面向量数量积的运算;命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得:函数 = 出正误. +2.再利用三角函数的图象与性质即可判断

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵函数 = = 对于①:函数 f(x)的周期为 对于②:当 +2. ,∴①为错误的; 时,f(x)取得最小值 ,即 确的;对于③:令 ,此时 ,当 k=0 时, ,解得 ,∴函数 f(x)的增区间为 , 当 k=﹣1 时,函数 f(x)的增区间为 对于④:令 =kπ (k∈Z) ,解得 ,当 k=0 时,得点 ,∴③为正确的; ,∴函数 f(x)的对称中心为 是函数 f(x)的一个对称中 ,∴②为正 = =

心,∴④为正确的. 综上所述,②③④是正确的命题. 故选:D. 点评: 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与 性质,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

12. (3 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞) ,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) , 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) ,不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 的解集为() A. [﹣1,0)∪(3,4] B. [﹣1,0) C. (3,4] D. [﹣ 1,4] 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由已知令 x=y=1 求得 f(1)=0,再求 f(2)=﹣1,即有 f(4)=﹣2,原不等式 f(﹣ x)+f(3﹣x)≥﹣2 即为 f[﹣x(3﹣x)]≥f(4) .再由单调性即可得到不等式组,解出它们 即可. 解答: 解:由于 f(xy)=f(x)+f(y) , 令 x=y=1 则 f(1)=2f(1) ,即 f(1)=0, 则 f(1)=f(2× )=f(2)+f( )=0,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由于 ,则 f(2)=﹣1,

即有 f(4)=2f(2)=﹣2, 不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2 即为 f[﹣x(3﹣x)]≥f(4) . 由于对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) , 则 f(x)在(0,+∞)上递减,

则原不等式即为

,即有



即有﹣1≤x<0,即解集为[﹣1,0) . 故选 B. 点评: 本题考查抽象函数及运用,考查函数的单调性和运用:解不等式,考查解决抽象函 数的常用方法:赋值法,属于中档题. 二、填空题 13. (3 分)图中阴影部分的面积等于 1.

考点: 定积分. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 2 分析: 根据题意,所求面积为函数 3x 在区间[0,1]上的定积分值,再用定积分计算公式加 以运算即可得到本题答案. 解答: 解:根据题意,该阴影部分的面积为 =x
3

=(1 ﹣0 )=1

3

3

故答案为:1 点评: 本题求曲线围成的曲边图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式 等知识,属于基础题.

14. (3 分)已知 =(3,1) , =(sinα ,cosα ) ,且 ∥ ,则

= .

考点: 同角三角函数基本关系的运用;平行向量与共线向量. 专题: 计算题. 分析: 利用向量平行的性质可求得 sinα 和 cosα 的关系,进而求得 tanα 的值,把题设 中式子分子分母同时除以 cosα ,然后把 tanα 的值代入即可求得答案. 解答: 解:∵ ∥
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴3cosα =sinα ,即 tanα =3, ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用.要求考生能熟练掌握三角函数中 平方,倒数和商数等关系. 15. (3 分)若函数 f(x)=x ﹣3x﹣a 有 3 个不同零点,则实数 a 的取值范围是﹣2<a<2. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 3 分析: 函数 f(x)=x ﹣3x+a 有三个不同的零点可知函数 f(x)有两个极值点,且极小值 小于 0,极大值大于 0;利用导数求函数的极值点即可. 3 解答: 解:由函数 f(x)=x ﹣3x+a 有三个不同的零点, 则函数 f(x)有两个极值点,极小值小于 0,极大值大于 0; 2 由 f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1)=0,解得 x1=1,x2=﹣1, 又∵x∈(﹣∞,﹣1) ,f′(x)>0, x∈(﹣1,1) ,f′(x)<0, x∈(1,+∞) ,f′(x)>0, ∴函数的极小值 f(1)=a﹣2 和极大值 f(﹣1)=a+2. 3 ∵函数 f(x)=x ﹣3x+a 有三个不同的零点, ∴a+2>0,a﹣2<0, 解得,﹣2<a<2. 故实数 a 的取值范围是﹣2<a<2. 故答案为:﹣2<a<2. 点评: 本题考查了导数的综合应用及零点的位置与个数的确定,属于基础题. 16. (3 分)如图,设 α ∈(0,π ) ,且 α ≠ ,当∠xOy=α 时,定义平面坐标系 xOy 为 α , 分别为 x 轴,
3



﹣仿射坐标系,在 α ﹣仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: y 轴正向相同的单位向量,若 确的序号有②③. ① =(m,n) ,则| |= ; =x +y ,则记为

=(x,y) ,那么在以下的结论中,正

② =(m,n) , =(s,t) ,若 ∥ ,则 mt﹣ns=0; ③ =(1,2) , (2,1) ,若 与 的夹角为 ,则 α = ;

④ =(m,n) , =(s,t) ,若 ⊥ ,则 ms+nt=0.

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考点: 命题的真假判断与应用;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证,即可得出结论. 解答: 解:对于①, =(m,n) ,则| |=|m ∴①错误; 对于②,由 ∥ 得 =λ ,∴s=λ m,t=λ n,∴mt﹣ns=0,故②正确; , 根据夹角公式得 4+5 ,③正确 ? = (5+4 ? ) +n |= ,∵ ,

对于③, = (1, 2) ,(2, 1) , 与 的夹角为 cos ,故 ?

=﹣ ,即 cosα =﹣ ,则 α = =(m +n )?(s +t

对于④,∵

)=ms+nt+(mt+ns)cosα ≠ms+nt,∴④错误;

所以正确的是②、③. 故答案为:②③ 点评: 本题为新定义,正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题 的关键,属基础题. 三、解答题(每题 12 分,共 60 分) 17. (12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC﹣1) =1. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 , ,求△ABC 的面积.

考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦,去括号后利用两角和 与差的余弦函数公式化简,再由诱导公式变形求出 cosB 的值,即可确定出 B 的大小; (Ⅱ)由 cosB,b 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a+b 以及 b 的值代入求出 ac 的值,再由 cosB 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)由 2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1 得:2cosAcosC( ∴2(sinAsinC﹣cosAcosC)=1,即 cos(A+C)=﹣ , ∴cosB=﹣cos(A+C)= , ﹣1)=1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 0<B<π , ∴B= ;

(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=

= ,



= ,

又 a+c= ∴

,b=



﹣2ac﹣3=ac,即 ac= , = .

∴S△ABC= acsinB= × ×

点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握余 弦定理是解本题的关键.

18. (12 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.数列{bn}满足 bn=an? (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.



考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的公差,利用方程组的思想求出首项和公差即可; (2)利用错位相减法求数列{bn}的前 n 项和. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a7=4,a19=2a9, 所以 ,

解得 a1=1,d= , 所以等差数列{an}的通项公式为 (2)由(1)得 bn=an?
n



=(n+1)2 ,
1 2 3 n﹣1 n

所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=2?2 +3?2 +4?2 +?+n?2 +(n+1)2 , 2 3 4 n n+1 2Sn=2?2 +3?2 +4?2 +?+n?2 +(n+1)?2 , 1 2 3 n n+1 两式相减得﹣Sn=2?2 +(2 +2 +?+2 )﹣(n+1)2 =4+ =4+2 (2
2 n﹣1

﹣1)﹣(n+1)2

n+1

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =﹣n2 . 点评: 本题考查了等差数列的通项公式的求法以及利用错位相减法求等差数列与等比数列 的通项乘积形式的数列的前 n 项和. 19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 为正方形,AD=PD=2, E,F,G 分别为 PC,PD,CB 的中点. (I)求证:AP∥平面 EFG; (II)求平面 GEF 和平面 DEF 的夹角.
n+1

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)先建立空间直角坐标系,求出各点的坐标以及向量 AP 和平面 EFG 的法向量的 坐标,计算其数量积为 0 即可得到结论; (II)分别求出两个平面的法向量,再直接代入向量的夹角计算公式即可得到答案. 解答: 解: (I)如图,以 D 为原点,以 DA,DC,DP 为方向向量 建立空间直角坐标系 D﹣XYZ 则 P(0,0,2) ,C(0,2,0)G(1,2,0) ,E(0,1,1) ,F(0,0,1) ,A(2,0,0) ∴ =(﹣2,0,2) , =(0,﹣1,0) , =(1,1,﹣1) .

设平面 EFG 的法向量为 =(x,y,z)? ∴ 令 x=1, 则 =(1,0,1) . ∵ ? ∴ 又 AP 不在平面 EFG 内, ∴AP∥平面 EFG (II)∵底面 ABCD 是正方形,∴AD⊥BC 又 PD⊥平面 ABCD ∴AD⊥PD 又 PD∩CD=D,∴AD⊥平面 PCD. ∴向量 是平面 PCD 的一个法向量, =(2,0,0) =1×(﹣2)+0×0+1×2=0, 即 ∴

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又由(I)知平面 EFG 的法向量 =(1,0,1) . ∴cos< , >= = = .

∴二面角 G﹣EF﹣D 的平面角为 45°.

点评: 本题主要考察利用空间向量求两平面间的夹角以及向量在判断直线和平面平行中的 应用问题.是对基础知识的考察,属于综合题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ) 若存在 (e 为自然对数的底数, 且 e=2.71828?) 使不等式 2f (x) ≥﹣x +ax
2

﹣3 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导函数,研究出原函数在[1,3]上的单调性即可求出函数 f(x) 在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)先把不等式 2f(x)≥﹣x +ax﹣3 成立转化为 ,利用导函数求出 h(x)在 数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=xlnx,可得 f'(x)=lnx+1, (2 分) 当 当 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
2

成立,设 上的最大值即可求实

所以函数 f(x)在[1,3]上单调递增. 又 f(1)=ln1=0, 所以函数 f(x)在[1,3]上的最小值为 0. (6 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)由题意知,2xlnx≥﹣x +ax﹣3,则 若存在 只需 a 小于或等于
2 2



使不等式 2f(x)≥﹣x +ax﹣3 成立, 的最大值.



,则





时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当 x∈(1,e]时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 由 可得 所以,当 , . 时,h(x)的最大值为 h( )=﹣2+ +3e, , ,

故 a≤﹣2+ +3e(13 分) 点评: 本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题.当 a≥h(x)恒 成立时,只需要求 h(x)的最大值;当 a≤h(x)恒成立时,只需要求 h(x)的最小值. 21. (12 分)已知函数,y=f(x)=﹣x +ax +b(a,b∈R) (Ⅰ)要使 f(x)在(0,1)上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a>0 时,若函数 f(x)的极小值和极大值分别为 1、 析式; (Ⅲ)若 x∈[0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为 θ ,当 0≤θ ≤ 求 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的单调性与导数的关系;利用导数研究 曲线上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: (I)先求导函数 f′(x) ,要使 f(x)在区间(0,1)上单调递增,只需 x∈(0, 1)时,f′(x)>0 恒成立,然后转化成 恒成立,即可求出 a 的范围; .时, ,试求函数 y=f(x)的解
3 2

(II)由(I)中导函数的解析式,我们易求出函数取极值时 x 的值,然后根据函数 f(x)的 极小值和极大值分别为 1、 ,构造关于 a,b 的方程,解方程后即可求出函数 y=f(x)的解

析式; (III)根据导数的几何意义可知 tanθ =f′(x) ,然后根据倾斜角为 θ 的范围求出 f′(x) 的范围在 x∈[0,1]恒成立,将 a 分离出来,使之恒成立即可求出 a 的范围.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (I)f′(x)=﹣3x +2ax, 由题设,当 x∈(0,1)时,f′(a)>0 恒成立, 2 即﹣3x +2ax>0 恒成立, ∴ ∴ (II)由(I)得,令 f′(x)=﹣3x +2ax=0 则 x=0,或 x= 又∵a>0 时,函数 f(x)的极小值和极大值分别为 1、 故 f(0)=1,f( )= ,
2 2

恒成立,

解得 a=1,b=1 3 2 ∴f(x)=﹣x +x +1 (III)当 x∈[0,1]时,tanθ =f′(x)=﹣3xh3+2ax ∵
2

.∴0≤f'(x)≤1.

∴0≤﹣3x +2ax≤1 在 x∈[0,1]恒成立,由(1)知,当﹣3x +2ax≥0 时, 由 又 ∴ 点评: 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用转化与 划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,属于中档题. 选做题(请从 22,23 题两题中任选一题作答.满分 10 分) 22. (10 分)已知 f(x)=|x﹣1|+|x+2|. (1)解不等式 f(x)≥5; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a ﹣2a 对于任意的 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5,由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2 和 1 对应点的距离之和,而﹣3 和 2 对应点到﹣2 和 1 对应点的距离之和正好等于 5,由此求得 不等式的解集. 2 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a ﹣2a 对于任意的 x∈R 恒成立,故 f(x)的最小值大于 a 2 ﹣2a.而由绝对值的意义可得 f(x)的最小值为 3,可得 3>a ﹣2a,由此解得 a 的范围. ,∴ 恒成立,
2



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5,由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到﹣ 2 和 1 对应点的距离之和, 而﹣3 和 2 对应点到﹣2 和 1 对应点的距离之和正好等于 5, 故不等式的解集为 (﹣∞, ﹣3]∪[2, +∞) . 2 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)>a ﹣2a 对于任意的 x∈R 恒成立,故 f(x)的最小值大于 a ﹣2a. 而由绝对值的意义可得 f(x)的最小值为 3, 2 ∴3>a ﹣2a,解得﹣1<a<3, 故所求的 a 的取值范围为(﹣1,3) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档 题. (φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 cos(θ ﹣ ) .

23.己知圆 C1 的参数方程为

极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ =2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 sin φ +cos φ =1 即可把圆 C1 的参数方程
2 2 2 2 2 2

,化为直角坐标方程.

(II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1.利用点到直 线的距离公式可得圆心(0,0)到此直线的距离 d,即可得出弦长|AB|=2 解答: 解: (I)由圆 C1 的参数方程 消去参数 φ 可得:x +y =1. 由圆 C2 的极坐标方程 ρ =2
2 2 2 2 2





cos(θ ﹣
2

) ,化为

?ρ ,

∴x +y =2x+2y.即(x﹣1) +(y﹣1) =2. 2 2 2 2 (II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1. 圆心(0,0)到此直线的距离 d= = .

∴弦长|AB|=2

=



点评: 本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、两圆的相交弦长、点到 直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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