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高中数学 四种命题课件二 新人教A版选修1-1


1.1 命题及其关系
1.1.1 命题

学好要领

下列句子中,你能判断它们的真假吗? ⑴若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点 能 ⑵画一个角等于已知角; 不能 ⑶刘翔是世界冠军; 能 ⑷垂直于同一条直线的两个平面平行 能 ⑸请借我一枝钢笔。 不能 ⑹玫瑰花是动物。 能 能 ⑺熊猫没有翅膀。 ⑻若a2= b2,则a=b。 能



并且可以判断真假。 命题:语句都是陈述句, 真命题:判断为真的语句。 假命题:判断为假的语句。

例1.判断下列语句是不是命题?是真命题还是假命题
1)
2)

空集是任何集合的子集
若整数a是素数,则a是奇数.

真命题

假命题
疑问句

3)
4)

指数函数是增函数吗?

若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行. 假命题
(?2)
2

5)
6)

? 2

真命题 不能判断真假

X>15

? 判断一个语句是不是命题,关键看这语句
是否符合:

语句是否是陈述句 是否可以判断真假。

P4 练习 2
判断下列命题的真假
1)能被6整除的整数一定能被3整除。
真命题

2)若四边形四条边都相等,则这个四边形是正方形 假命题

3)二次函数的图像是一条抛物线。

真命题

4)两个内角等于45°的三角形是等腰三角形 真命题

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p
?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条

件,q叫做命题的结论。
?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是

唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有

q”等形式。
?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易

辨别.

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 若整数a能被2整除,则a是偶数;
2) 若四边形是菱形,则它的对角线互相垂 直且平分。
解:1) 条件p: 整数a能被2整除 结论q: 整数a 是偶数 2) 条件p:
四边形是菱形

结论q:四边形的对角线互相垂直且平分

真命题 (1) 负数的平方是正数. (2) 正方形的四条边相等. 真命题 (3) 等腰三角形两腰的中线相等 真命题 (4) 面积相等的两个三角形全等. 假命题 (5)偶函数的图象关于y轴对称 真命题

把下列命题改写成“若p则q”的形式,并 判定真假。

(6)垂直于同一个平面的两个平面 假命题 平行 (7)对顶角相等 真命题

1.1.2 四种命题

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系?
1.若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; 2.若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;

3.若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
4.若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
(1)与(2) :可以发现命题(1)与(2)的 条件与结论互换了 像这样,一般地,对于两个命题,如果一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题, 其中一个命题叫原命题,另一个叫做原命题的 逆命题。

逆命题
若原命题为:若p,则q 则它的逆命题为:若q,则p

例:将命题“若a=0,则ab=0”的条件和结论 互换,得到它的逆命题

若ab=0,则a=0

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系?

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(3) 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; 可以发现(3)的条件和结论恰好是(1)的 条件和结论的否定 像这样,一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个 命题叫做互否命题,其中一个叫原命题,另一个 叫原命题的否命题.

否命题

一般地,把条件p,结论q的否定分别记作“? p, ? q”, 读作“非p”、“非q”. 因此若原命题为“若p,则q”, 则否命题为:若? p,则 ? q”

例如:若a=0,则ab=0否命题为: 若a≠0,则ab≠0.

思考:
1 . 原 命 题 : 若 x ? 1 0, 则 x ? 5
. 否 命 题 : 若 x ? 1 0, 则 x ? 5
真命题 假命题

2 . 原 命 题 : 若 一 个 四 边 形 是 矩 形 ,则 它 的 四个角都是直角
真命题

. 否 命 题 : 若 一 个 四 边 形 不 是 矩 形 ,则 它 的

四个角不都是直角

真命题

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分 别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;

(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
我们发现 (4)的条件恰好是(1)的 结论的否定, (4)的结论恰好是(1)的 条件的否定. 像这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中 一个叫原命题,另一个叫原命题的逆否命题。

逆否命题
即若原命题为:“若p,则q”, ? ? 则它的逆否命题为“若 q,则 p”

如“若a=0,则ab=0”的逆否命题为: 若ab≠0,则a≠0.

四种命题的形式: ? 原命题:若p则q;
? 逆命题:若q则p; ? 否命题:若┐p则┐q; ? 逆否命题:若┐q则┐p

练习
写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题, 并判断它们的真假: ? (1)若一个整数的末位数字是0或5,则这

个整数能被5整除
? (2)若一个三角形的两条边相等,则这个

三角形的两个角相等
? (3)奇函数的图像关于原点对称

例2 写出命题“若xy=0,则x=0或y=0” 的逆命题、否命题、逆否命题。

解: 逆命题:若 x = 0或 y = 0, 则 xy = 0; 否命题:若 xy ? 0, 则 x ? 0且 y ? 0; 逆否命题:若 x ? 0且 y ? 0 , 则 xy?0。
“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”

准确地写出否定形式是非常重要的,下面是 一些常见的结论的否定形式.
正面 词语 否定 正面 词语 否定 等于 大于 小于 是 不是 P或q 非p且 非q 都是 不都是 P且q 非p或 非q

不等于 不大于 不小于 全 不全 至少有 一个 一个也 没有 能 不能

练习
1. 命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命 题是( ) D A. a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B. a+b是偶数 ,则a,b都是奇数 C. a+b是偶数 ,则a,b都不是奇数

D. a+b不是偶数,则a,b不都是奇数;

作业:写出下列各命题的逆命题,否命题,逆 否命题,并判断各命题的真假: (1)菱形的四条边都相等 (2)若 x ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ? 1 且 x ? 2
2

(3)若 A ? B ? B 则 A ? B

四种命题的关系
上述四种情况概括如下: (1)“若p,则q”为原命题,则 (2)“若q,则p”为逆命题 (3)“若 ? p,则 ? q”为否命题 (4) “若 ? q,则 ? p”为逆否命题 由上可得四种命题之间的关系:

原命题(若p, 互逆 则q)
互 否

逆命题(若q, 则p)
互 否

互为逆否 互逆

否命题(若 非p,则非q)

逆否命题(若 非q,则非p)

四种命题的真假

例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断真假。

(1)若x2+y2=0,则x,y全为0; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形; (4)若x<3,则x>1.
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假

归纳可得,四种命题的真假性有且仅有上面四种关系.

四种命题之间的真假关系: 1.原命题为真,它的逆命题不一定为真. 2.原命题为真,它的否命题不一定为真. 3.原命题为真,它的逆否命题一定为真. 若一个命题p的逆命题是一个假命题,则下列判断 一定正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题 C.命题p的逆否命题是一个假命题 D.命题p的否定是真命题

例2.设原命题是:当c>0时,若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别 . 判断它们的真假.
分析:“当c>0时”是大前提,写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”, 论是“ac>bc”. 结

解:逆命题: 当c>0时,若ac>bc, 则a>b.
否命题:当c>0时,若a≤b, 则ac≤bc.

(真) (真)

逆否命题: 当c>0时,若ac≤bc, 则a≤b. (真)

例2 若m≤0或n≤0,则m+n≤0。写出其逆命 题、否命题、逆否命题,并分别指出其真假。
分析:搞清四种命题的定义及其关系,注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。

解:逆命题: 若m+n≤0,则m≤0或n≤0。 (真) (真) 否命题: 若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题: 若m+n>0, 则m>0且n>0. (假)
小结:在判断四种命题的真假时,只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假一致,逆否命题与原命 题真假一致。

1.原命题“若a≠0且b≠0,则ab≠0”的逆否命题 为 若ab=0,则a=0或b=0 (真) 2.设原命题是:“已知a,b是实数,若a+b是 无理数,则a,b都是无理数”.写出它的逆命题、 否命题、逆否命题。并分别说明它们的真假.

课后思考题
1、

2、

小结:
1.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用?p和?q分
别表示p和q的否定。于是四种命题的形式就是:

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

若 p则 q 若 q则 p

(交换原命题的条件和结论) 若?p则?q (同时否定原命题的条件和结论)
(交换原命题的条件和结论, 并同时否定)

若?q则?p

2.由四种命题表述可知,要写出原命题的逆命题、否命
题与逆否命题,关键是 找出原命题的条件p与结论q。

原命题
若 p则 q

四种命题

逆命题

否命题
若?p则?q

若 q则 p

真假 一致

真假 一致

逆否命题
若?q则?p

解:(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 则a+b≥0.为真命题. 用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a. ∵ f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾,所以, 逆命题为真. (2)逆否命题:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b <0,为真命题. 因为原命题的真假与它的逆否命题真假相同,所以可证 明原命题为真命题. ∵ a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a,又∵f(x)在(-∞,+∞) 上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ∴ 逆否命题为真.


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