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2015年高三第一轮复习圆锥曲线中的定值与最值问题

时间:2015-04-11


圆锥曲线中的定值与最值问题 一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表 示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值,就是要 求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值. 在圆锥曲线中,某

些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该变量具有定值特征.解 答此类问题的基本策略有以下两种: 1、把相关几何量的变元特殊化,在特例中求出几何量 的定值,再证明结论与特定状态无关. 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示,再证明结论与求参数无关. 例 1: 过抛物线 m :y ? ax2( a >0) 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P, Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p, q , 则 p ?1 ? q ?1 的值必等于( A. 2 a B. 1
2a

) . D. 4
a

C. 4 a

解法 1: (特殊值法)令直线 l 与 x 轴垂直,则有 l : y ? 1 ? p ? q ? 1 ,所以有 p ?1 ? q ?1 ? 4a 2a 4a 解法 2: (参数法)如图 1,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 且 PM , QN 分别垂直于准线于 M , N .

p ? PM ? y1 ?

1 , q ? QN ? y2 ? 1 抛物线 y ? ax2 ( a >0)的焦点 F (0, 1 ) ,准线 y ? ? 1 . 4a 4a 4a 4a

∴ l : y ? kx ? 1 又由 l ? m ,消去 x 得 16a2 y 2 ? 8a(1 ? 2k 2 ) y ? 1 ? 0
4a
2 2 2 ∴ y1 ? y2 ? 1 ? 2k , y1 y2 ? 1 , ∴ p ? q ? 1 ? k , pq ? y1 y2 ? 1 ( y1 ? y2 ) ? 1 2 ? 1 ? k ∴ p ?1 ? q ?1 ? 4a . 2 2 a 4a 16a 4a 2a 16a

例 2: 过抛物线 y 2 ? 2 px( p >0) 上一定点 P( x0 , y0 )( y0 >0) , 作两条直线分别交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 求证: PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,直线 AB 的斜率为非零常数.

【解析】设直线 PA 的斜率为 K PA ,直线 PB 的斜率为 KPB .由 y12 ? 2 px1 故 K ? y1 ? y0 ? 2 p PA
x1 ? x0 y1 ? y0

y02 ? 2 px0 相减得, ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 )

( x1 ? x0 ) 同理可得, K PB ?

y2 ? y0 2p ? x2 ? x0 y2 ? y0

( x2 ? x0 )
y12 ? 2 px1 相 减 得 ,

由 PA, PB 倾 斜 角 互 补 知 : KPA ? ?KPB ∴

2p 2p ∴ ?? y1 ? y0 y2 ? y0

y1 ? y2 ? ?2 y0 由 y22 ? 2 px2

( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 ) ∴ K AB ? y2 ? y1 ? 2 p ? 2 p ? ? p ∴直线 AB 的斜率为非零常数. x2 ? x1 y1 ? y2 ?2 y0 y0
例 3:已知定点 M ( x0, y0 ) 在抛物线 m : y2 ? 2 px ( p >0)上,动点 A, B ? m 且 MA ? MB ? 0 .求证:弦 AB 必 过一定点.

【解析】设 AB 所在直线方程为: x ? my ? n .与抛物线方程 y 2 ? 2 px 联立,消去 x 得 y 2 ? 2 pmy ? 2 pn ? 0 .设

A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ? 2 pm ①

0 即 y1 ?y0 y2 y? y1 y2 ? ?2 pn ②由已知 MA ? MB ? 0 得, KMA KMB ? ?1.

x1 ?x0 x2 x? 0

? ?1

③ ∵ x1 ? x0 ? 1 ( y12 ? y0 2 ) ? 1 ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) 2p 2p

x2 ? x0 ?

1 1 ( y2 2 ? y0 2 ) ? ( y2 ? y0 )( y2 ? y0 ) 2p 2p

∴ ③ 式 可 化 为

2 2 2p 2p ? ?1 , 即 4 p ? ?[ y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ] . 将 ① ② 代 入 得 , n ? 2 p ? my0 ? x0 . 直 线 AB 方 程 化 为 : y1 ? y0 y2 ? y0

AB 恒过点 ( x0 ? 2 p, ? y0 ) . x ? my ? 2 p ? x ( y? 0y ) ? 0x ?2 .∴直线 p 0 ? my 0 ? m
【例 4】(2012?湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,
2 2

M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.(1)求曲线 C1 的方程;(2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2
外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,

B,C,D 的纵坐标之积为定值.
[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条 切线的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之 和和纵坐标之积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证.

(1)解 法一 设 M 的坐标为(x,y),由已知得|x+2|= 右侧,于是 x+2>0,所以

x-

2

+y -3.易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的
2

2

x-

2

+y =x+5.化简得曲线 C1 的方程为 y =20x.

2

法二 由题设知, 曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线 x=-5 的距离. 因此, 曲线 C1 是以(5,0) 为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y =20x. (2)证明 当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0),又 y0≠±3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率
2

k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交点, 切线方程为 y-y0=k(x+4), 即 kx-y+y0+4k=0.于是
2 2

|5k+y0+4k|

k2+1

=3.整理得 72k +18y0k+y0-9=0.①设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两个实
? ?k1x-y+y0+4k1=0, 18y0 y0 根,故 k1+k2=- =- .②由? 2 72 4 ?y =20x ?

得 k1y -20y+20(y0+4k1)=0.③

2

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两个实根,所以 y1y2= 同 理 可 得 y3y4 =

y0+4k1 .④ k1


y0+4k2 k2

. ⑤ 于 是 由 ② , ④ , ⑤ 三 式 得 y1y2y3y4 =

y0+4k1 y0+4k2 k1k2

400[y0+

2

k1+k2 y0+16k1k2] = k1k2

2 y2 0-y0+16k1k2 =6 400. k1k2

所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6 400. 【例 5】已知椭圆 C 的离心率 e ?
3 ,长轴的左右端点分别为 A1 ? ?2 , 0? , A2 ? 2 , 0 ? 。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 2

设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1 P 与 A2 Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直 线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。

解(1)设椭圆 C 的方程为 ∴椭圆 C 的方程为
? ?

c 3 x 2 y2 ,∴ c ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 。 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 。∵ a ? 2 , e ? ? 2 a 2 a b

x2 ? y2 ? 1 。 42
3? ? 3 ? ,直线 A1P 的方程是 y ? 3 x ? 3 , 直线 A 2 Q 的方程是 y ? 3 x ? 3, 交点为 S1 ? ,Q ? ?1, ? 2 ? ? 6 3 2 2 ? ? ? ?

(2)取 m ? 0, 得 P ? ?1,

? 4, 3 ? .



? 3 ? ? 3 ? ,由对称性可知交点为 S 4, ? 3 . 若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 : x ? 4 。 2 P? ?1, ? ? ,Q ? ? ? ?1, ? 2 ? ? ? 2 ?
x 以下证明对于任意的 m, 直线 A1P 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 : x ? 4 上。 事实上, 由? ? ? y2 ? 1 得 ?4 ? x ? my ? 1 ?
2

?

?

? my ? 1?

2

? 4y2 ? 4, 即

?m

2

? 4? y2 ? 2my ? 3 ? 0 , 记 P ? x1 , y ? x ? , 则 y1 ? y 2 ? 1? , Q 2 , y 2

?2m ?3 。设 A1P 与 交 于点 S0 (4, y0 ), 由 , y 1y 2? 2 2 m ?4 m ?4

y0 y1 6y1 2y 2 y? y2 ? , 得 y0 ? . 设 A2 Q 与 交于点 S0? (4, y0? ), 由 0 ? . , 得 y 0? ? 4 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 4 ? 2 x2 ? 2
? 2 6y ? my2 ? 1? ? 2y 2 ? my1 ? 3? 4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ? 6y1 2y 2 2 y 0 ? y 0? ? ? ? 1 ? ? m ?4 m ?4 ?0, x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x 2 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x 2 ? 2? ?12m ?12m

∴ y0 ? y0? ,即 S 0 与 S0? 重合,这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 : x ? 4 上。
2 2 1、若 AB 是过椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM,BM 与 坐标轴不平行, 2 2

,

分别

a

b

表示直线 AM,BM 的斜率,则 A. B. C. D.

=( )

2、已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是 上述椭圆和双曲线的离心率,则有 A. + =4 B. + =2

C.e12+e22=4

D.e12+e22=2 + 的值为( )

3.过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线 y2=2px(p>0)于 P、Q 两点,则 A. B.
2

C.

D.

4.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,A,B 在抛物线准线上的射影分别是 A1,B1,点 M 是 A1B1 的中点,若|AF|=m,|BF|=n,则|MF|= ( ) A.m+n B.

m?n 2

C.

D.mn

5.经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作一条直线与该抛物线交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则 y1· y2 的值为( ) 2 A.2p B.p2 C.-2P2 D.-p2

6.椭圆 A.

=1(a>b>0)上两点 A、B 与中心 O 的连线互相垂直,则 B. C. D.

的值为(



7.过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1、 P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜 率为 k2,则 k1· k2 的值为( ) A.2 B.-2 C. 1
2

D. ?

1 2

8.已知 F1、F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 1 时,

·

的值为__________.

9.设

上的两点,已知向量



,若 m· n=0 且椭圆的离心率

短轴长为 2,O 为坐标

原点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

10.已知,椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程;(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为 定值,并求出这个定值.

11.已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与

a ? (3, ?1) 共线 (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

1.【解析】本题可用特殊值法.不妨设弦 AB 为椭圆的短轴.M 为椭圆的右顶点,则 A(0,b),B(0,-b),M(a,0).所 以 .故选 B.

2.【答案】B 设椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴长为 2a2,焦距均为 2c,



∴|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.∵PF1 与 PF2 垂直,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. + =2 p),∴|MP|= p,|MQ|= p. ∴ + = .

∴(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,∴2a12+2a22=4c2.∴ 3.【解析】不妨取 PQ⊥x 轴,则 P(p,

p),Q(p,-

4.【答案】答案:C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图, 连接 AlF、BlF,由抛物线的定义,有 AAl=AF,BBl=BF,则有∠AA1F=∠AFA1,∠BB1F=∠BFB1, 容易证明∠AlFB1=90°.所以 MF 为直角三角形 A1FB1 斜边上的中线.故 在直角梯形 AA1B1B 中,构造直角三角形可解得|A1B1|= 5.【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题,注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点坐标为( ,0),设过焦点的直线方程为:y=k(x- ),则有 y2=2P( )即 ∴y1?y2=-p2. = ,k2= =- . = = .排除选项 A、B、C,选 D. . ∴k1?k2= ? = =- . ,代入抛物线方程有:

6.解析:假设 A、B 为椭圆的长轴和短轴的顶点,则 7.【解析】设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 P(x0,y0),则 k1= 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程 x2+2y2=2,相减得 8.答案:0 由已知 F1( ∴PF1⊥PF2,即 9.解: (1)由题意知 (2)由题意,设 AB 的方程为 =0. ,0),F2( ,0),P(

),PF1 的斜率 k1=

,PF2 的斜率 k2=

,k1k2=-1,

椭圆的方程为

由已知 m?n=0 得:

(3) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 又 在椭圆上,所以

,由 m?n=0



,所以 S

=

所以三角形 AOB 的面积为定值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

,



所以三角形的面积为定值.
10.解:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 (2)设直线 AE 方程: ,代入 ,因为 A 在椭圆上,所以 得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4( , ,解得 b2=3,所以椭圆方 程为 )2-12=0. . , .

设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A(1, )在椭圆上,所以

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代 k,可得 .所以直线 EF 的斜率 11.解: (1)设椭圆方程为
2 2

,即直线 EF 的斜率为定值,其值为 .
? y2 ? 1 ,化简得 b2

2 x y ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) 则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,代入 x 2 a2 b2 a

2 2 2 2 2 ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 x ? x ? 2a c , x x ? a c ? a b . (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 .令 A( x1 , y1 ) 1 2 1 2 2 2 2 2

a ?b

a ?b

由 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3,?1),OA ? OB 与 a 共线,得 3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ,
? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0, ? x1 ? x 2 ? 3 即 2a 2 c 3c c. ? ,所以 a 2 ? 3b 2 . 2 2 a2 ? b2
a b
?c ? a2 ? b2 ? 6a ,故离心率 c 6 e? ? . 3 a 3

2 2 (2)证明: (1)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆 x ? y ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 设 OM ? ( x, y) , 2 2

x ? ?x1 ? ?x 2 , ? M ( x, y ) 在椭圆上,? (?x ? ?x ) 2 ? 3(?y ? ?y ) 2 ? 3b 2 . 由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ), ? ? 1 2 1 2 ? ? y ? ?x1 ? ?x 2 .

即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b . ①
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 由(1)知 x1 ? x2 ? 3c , a 2 ? 3 c 2 , b 2 ? 1 c 2 . x1 x2 ? a c ? a b ? 3 c 2 2 2

2

2

2

a ?b

8

x1x2 ? 3 y1 y2 ? x1x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c) ? 4x1x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c2 ? 3 c 2 ? 9 c 2 ? 3c 2 =0
2 2

王新敞
奎屯

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2 2 2 2 2 又 x2 ,代入①得 ?2 ? ? 2 ? 1. 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1 1 ?3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y 2 ? 3b

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二.解析几何中的最值、范围问题或探索性问题 1.必备知识 (1)有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,“设而不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运 用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 1 1+ 2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用韦达定理,即作如下变形: 1+k |x2-x1|或|P1P2|=
2

k

|x2-x1|= (2)弦的中点问题

x1+x2

2

-4x1x2; |y2-y1|=

y1+y2

2

-4y1y2.

有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. (3)圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

x2 y2 F1、F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆的任意一点,B 为短轴的一个端点,O 为坐标原点,则有 a b
①|OP|∈[b,a]; ③|PF1|?|PF2|∈[b ,a ]; (2)双曲线中的最值
2 2

②|PF1|∈[a-c,a+c]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2.

x2 y2 F1、F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,O 为坐标原点,则有 a b
①|OP|≥a; ②|PF1|≥c-a.
2

(3)抛物线中的最值点 P 为抛物线 y =2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有 ①|PF|≥ ; 2 2.必备方法 (1)定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解 这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参 数影响的量. (2)解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围, 因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其 原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际 情况灵活处理. 该类试题设计巧妙、命制新颖别致,常求特定量、特定式子的最值或范围.常与函数解析式的求法、函数最值、 不等式等知识交汇,成为近年高考热点. 3.与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过 解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函

p

②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.

数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。 因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 5.解析几何问题求解的途径为: 通法:选择直线方程的形式和圆锥曲线方程联立,化归一元二次次方程有实数解的问题,借助判别式和根与系数的 关系沟通整体处理,注意二次项系数不为 0 和斜率不存在的特殊性的讨论,称为通法。 代点作差法:设两点在曲线上适合方程,作差凑“整体斜率“用弦的中点坐标来表示”研究弦的中点有关的问题称 为代点作差法。 通法下的判别式和弦长公式及韦达定理, 代点作差法(揭示了弦斜率整体和弦的中点横、 纵坐标的关系)都体现了 ‘设 而不解,整体思维”.为此,凡涉及弦长,参数范围和存在性问题的讨论常常选用通法. 涉及弦的中点和圆锥曲线上两 点关于某直线对称等问题可用代点作差法求解.但用代点作差法必须以直线和圆锥曲线相交为前提. 解几最值和范围问题,常常依据题设和解析几何的特征“设而不解,整体思维” ,联立方程组化归一元二次方程,借 助判别式和根与系数的关系(简称通法) ,通法下构建目标函数,化归函数的值域问题,用函数的性质或用均值不等式 求解;或借助判别式适合的条件构建不等式解最值或范围。 x2 y2 1 【例 1】? (2012?浙江)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.不过原 a b 2 点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

1 [审题视点] (1)利用椭圆的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10求解. 2 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设为 y=kx+m,结合椭圆方程,线段 AB 被直线 OP 平分可求 k 值.然后以 AB 为底,点 P 到直线 AB 的距离为高表示出 S△ABP 的表达式,借助导数求最值. 解 (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得
2

+c ? ? ?c 1 = , ? ?a 2

+1= 10,

得?

?c=1, ? ?a=2. ?

所以椭圆方程为 + =1. 4 3

x2 y2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx +m(m≠0),由?
?y=kx+m, ? ?3x +4y =12 ?
2 2

消去 y,整理得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0,(1)

2

2

2

8km x +x =- , ? ? 3+4k 则 Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)>0,? 4m -12 xx= . ? ? 3+4k
1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

? 4km 2, 3m 2?. 所以线段 AB 的中点 M?- ? ? 3+4k 3+4k ?

1 3m -2km 3 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 2= 2.得 m=0(舍去)或 k=- . 2 3+4k 3+4k 2

x1+x2=m, ? ? 此时方程(1)为 3x -3mx+m -3=0,则 Δ =3(12-m )>0,? m2-3 x . 1x2= ? 3 ?
2 2 2

所以|AB|= 1+k ?|x1-x2|=

2

39 |8-2m| 2|m-4| 2 ? 12-m .设点 P 到直线 AB 距离为 d,则 d= 2 2 = . 6 3 +2 13

1 3 设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|?d= ? 2 6 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2

m-
2

2

-m
2

2

. 3,2 3],

3).令 u(m)=(12-m )(m-4) ,m∈[-2

u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7).
所以当且仅当 m=1- 7,u(m)取到最大值.故当且仅当 m=1- 7,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2 7-2=0.

求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用 图形性质来解决;(2)代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求最值; (3)求函数最值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等. 【例 2】椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e ?
2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两 3

点,且满足点 C 分向量 AB 的比为 2.(1)用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大 时,求椭圆 E 的方程。

解: (1)设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a>b>0 ),由 e = c ? a2 b2 a

2 ∴a 3

2

=3b

2

故椭圆方程 x + 3y = 3b

2

2

2

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

∴? ?

? x1 ? 2 x 2 ? ?1 3 ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ? 3 ?
2 2 2 2

① ②
2

x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) 由 ? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 消去 y 整理并化简得 即? ? ? y1 ? ?2 y 2
? ? y ? k ( x ? 1)

(3k +1)x +6k x+3k -3b =0 由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

? ?? ? 0恒成立(点C是 AB的内分点) ? 6k 2 ③ ? 而 S△OAB ? 1 | y1 ? y 2 |? 1 | ?2 y 2 ? y 2 |? 3 | y 2 |? 3 | k ( x2 ? 1) |? 3 | k || x2 ? 1 | x ? x ? ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 3k ? 1 ? 2 2 ? 3k ? 3b ? x1 x 2 ? ④ 3k 2 ? 1 ?
由①③得:x2+1=-
2 3k ? 1
2



,代入⑤得:S△OAB =

3| k | (k ? 0) 3k 2 ? 1

3 ⑤ 3 3 ,当且仅当 3 S△OAB 取得最大值此时 x1 + x2 =-1, (2)因 S△OAB= 3 | k | ? k ?? , ? ? 2 3 1 2 3k ? 1 2 3 3| k | ? |k|

又∵ x1 ? 2 x 2 =-1

1 2 2 2 代入④得 3b = 5 ∴椭圆方程 x + 3y = 5 3 3 2 4 【例 3】已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),且离心率 e 满足: , e, 成等差数列。 3 3
∴x1=1,x2 =-2 将 x1,x2 及 k =
2

(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 斜角的范围;若不存在,请说明理由。

1 平分,若存在,求出 l 的倾 2

(1) 解: 依题意 e

?

2 2, 3

a=3, 又 F1(0, -2 2 ), ∴c=2 2 , b=1, ∴椭圆中心在原点, 所求方程为 x 2 ? 1 y 2 ? 1
9

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? 由?

1 平分∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m 2

? y ? kx ? m 2 2 2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, ? 2 y2 ?1 ?x ? 9 ?
2 2 2 2 2 2

∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? x1 ? x2 ? ?km ? ? 1 2
2 k ?9 2


k ?9 2k
2

?m ?



(k 2 ? 9) 2 ? ? ? 2? ? (k 2 ? 9) ? 0 ,∴k> 3 或 k<- 3 ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 2 3 2 2 3 4k 2 y → → 2 1.(2012?陕西五校联考)已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1?PF2的 3
把②代入①式中得

最小值为(

). C.1 D.0
2

81 A.-2 B.- 16

2.(2011?山东)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x =8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛 物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) ).

3.(2010?福建)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一 点,则 O P ?F P 的取值范围为(

x2 a

2





).

A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞)

? 7 ? C.?- ,+∞? ? 4 ?

?7 ? D.? ,+∞? ?4 ?
2 2 2

4.(2012?浙江)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=________.

→ → 2 1.答案: A [由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1),则PA1?PF2=(-1-x,-y)?(2-x,-y)=4x → → 2 -x-5.令 f(x)=4x -x-5,则 f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值,即PA1?PF2取最 小值,最小值为-2.] 2.答案: C [∵x =8y, ∴焦点 F 的坐标为(0,2), 准线方程为 y=-2.由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以 F 为圆心、 |FM|为半径的圆的标准方程为 x +(y-2) =(y0+2) . 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准线的距离为 4,故 4<y0+2,∴y0>2.] 3.答案:B [如图,由 c=2 得 a +1=4,∴a =3,∴双曲线方程为 -y =1. 设 P(x,y)(x≥ 3), 3
2 2 2 2 2 2

x2

2

x2 → → O P ?F P =(x,y)?(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+ -1
3 4 2 4 2 = x +2x-1(x≥ 3).令 g(x)= x +2x-1(x≥ 3),则 g(x)在[ 3,+∞)上 3 3 单调递增.g(x)min=g( 3)=3+2 3.∴O P ?F P 的取值范围为[3+2 3,+∞).] |0- - 2 2 4.解析 因曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 2
2 2 2







2=2

2- 2= 2,则曲线 C1

与直线 l 不能相交,即 x +a>x,∴x +a-x>0.设 C1:y=x +a 上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x0+a ? 则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= = = 2 2
2

?x0-1?2+a-1 ? 2? 4 4a-1 ?
2 ≥ 4

9 = 2,所以 a= . 4 2

三.圆锥曲线中探索性问题 此类问题命题背景宽, 涉及知识点多, 综合性强, 探究平分面积的线、 平分线段的线, 或探究等式成立的参数值. 常 与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合,形成知识的交汇.

2 a 【例 1】 (2011?重庆卷改编)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= ,且 =2 2. 2 c 1 → → → (1) 求该椭圆的标准方程;(2)设动点 P 满足:OP=OM+2ON,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为- . 2 问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在,说明理由.

2

2 a → → → [审题视点] (1)利用 e= , =2 2求 a,c.(2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),由OP=OM+2ON可得 x=x1 2 c +2x2,y=y1+2y2,又点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上,可得 x1+2y1=4,x2+2y2=4,再结合直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 2 - .可求得点 P 满足方程 x +2y =20.由椭圆的定义可求解. 2
2 c 2 a x2 y2 2 2 2 解 (1)由 e= = , =2 2,解得 a=2,c= 2,b =a -c =2,故椭圆的标准方程为 + =1. a 2 c 4 2 2 2 2 2 2 2

2

→ → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由OP=OM+2ON,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2.因为点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上,所以 x1+2y1=4,x2+2y2=4, 故 x +2y =(x1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2)=(x1+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 kOM?kON= 所以 x +2y =20.所以 P 点是椭圆 定义|PF1|+|PF2|为定值,又因 c=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y1y2 1 =- ,因此 x1x2+2y1y2=0, x1x2 2

x2
5 5
2

+ 2 -

y2
10 10
2

2

=1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由椭圆的

= 10,因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0).

探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如果真的存在,则能得出相应 结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论. 【例 2】(2012?济南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y =1 有两 2 个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围;(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k, → → → 使得向量OP+OQ与AB共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由.

x2

2

x2 ?1 2? 2 2 解 (1)由已知,得直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程,得 +(kx+ 2) =1,整理,得? +k ?x +2 2kx+1=0, 2 ?2 ?
2 2 ?1 2? 2 2 ①直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ =8k -4?? +k ?=4k -2>0,解得 k<- 或 k> ,即 k 的取 2 2 ?2 ? 值范围为?-∞,-

? ?

2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? 4 2k 2,②又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ 1+2k

(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由方程①,得 x1+x2=-

→ → → → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1),所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 将②③代入上式,解得 k= 四.圆锥曲线“最”有应得 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活,学生时常感到无从下手.常遇到面积最大最小问题,距离 的最长最短问题,不定量的最大最小问题等等,下面给同学们提供两种解法,只要掌握了它们,就可以“最”有应得. 一、几何法求最值 【例 1】? 抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,-2)作直线 l 与抛物线相交于 A,B 两 → → 点,且满足OA+OB=(-4,-12).(1)求直线 l 和抛物线的方程;(2)当抛物线上一动点 P 从点 A 运动到点 B 时,求△ 2 2 2 ,由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2 2

ABP 面积的最大值.



(1)根据题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2,抛物线方程为 x =-2py(p>0).由?
2

2

?y=kx-2, ? ? ?x =-2py,
2 2

得 x +2pkx-4p=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk -4.
?-2pk=-4, ? → → 所以OA+OB=(-4,-12),所以? 2 ?-2pk -4=-12, ?

解得?

?p=1, ? ?k=2. ?

故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线方

程为 x =-2y. (2)设 P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大. 1 2 1 2 对 y=- x 求导,得 y′=-x,所以-x0=2,即 x0=-2,y0=- x0=-2,即 P(-2,-2). 2 2 此时点 P 到直线 l 的距离 d=
?y=2x-2, ? ? ?x =-2y,
2

2


2

- -
2

-2|

2+ -



4 5

4 =

5 5

.

由?

得 x +4x-4=0,则 x1+x2=-4,x1x2=-4,

2

|AB|=

1+k ?

2

x1+x2

2

-4x1x2= 10? 4

1+2 ? 5 5 =8

2

- 2.

2





=4

10.

1 于是,△ABP 面积的最大值为 ?4 2

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值问题时, 可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线, 则两条平行线间的距离,就是所求的最值,切点就是曲线上取得最值的点,这种求最值的方法称为切线法. 切线法的基本思想是数形结合,其中求曲线的切线方程需要利用导数知识,判断切线与曲线的最值需要借助几何 图形的直观性,通过图形来确定何时取得最大值,何时取得最小值. 二、函数法求最值 【例 2】? (2012?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

2 ,且椭圆 3

C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不同的两点 A、B,且△
2 2

OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

解 (1)由 e= =

c a

a2-b2 = a2

2 x y 2 2 2 ,得 a= 3b,椭圆 C: 2+ 2=1,即 x +3y =3b , 3 3b b

2

2

设 P(x,y)为 C 上任意一点,则|PQ|=

x2+ y-
- -

2




2

y+
2

2

+3b +6,-b≤y≤b.

2

若 b<1,则-b>-1,当 y=-b 时,|PQ|max= 若 b≥1,则-b≤-1,当 y=-1 时,|PQ|max= ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 3

-b+ -1+

+3b +6=3,又 b>0,得 b=1(舍去), +3b +6=3,得 b=1.
2

2

x2

2

m m 1 2 2 (2)法一 假设存在这样的点 M(m,n)满足题意,则有 +n =1,即 n =1- ,- 3≤m≤ 3.由题意可得 S△AOB= 3 3 2
1 1 |OA|?|OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ ,当∠AOB=90°时取等号,这时△AOB 为等腰直角三角形, 2 2 此时圆心(0,0)到直线 mx+ny=1 的距离为 则 1
2

2

2

2 , 2

m2+n

= 2

2 m 3 1 2? ? 6 2? ? 6 2 2 2 2 2 ,得 m +n =2,又 +n =1,解得 m = ,n = ,即存点 M 的坐标为? , ?,? ,- ?, 2 3 2 2 2 ? ?2 2 ? ?2

1 6 2? ? 6 2? ? ?- , ?,?- ,- ?满足题意,且△AOB 的最大面积为2. 2? ? 2 2 ? ? 2 法二 假设存在这样的点 M(m,n)满足题意,则有 +n =1,即 n =1- ,- 3≤m≤ 3, 3 3 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由?
? ?mx+ny=1 ?x +y =1 ?
2 2 2 2

m2

2

2

m2

,消去 y 得(m +n )x -2mx+1-n =0,①

2

2

2

2

把 n =1- 代入①整理得(3+2m )x -6mx+m =0,则 Δ =8m (3-m )≥0, 3 6m x +x = , ? ? 3+2m ∴? m xx= ? ? 3+2m ,
1 2 2 2 1 2 2

2

m2

2

2

2

1 1 1 ②而 S△AOB= |OA|?|OB|sin∠AOB= sin∠AOB,当∠AOB=90°,S△AOB 取得最大值 , 2 2 2

1-mx1 1-mx2 3-3m x1+x2 +3m x1x2 → → 此时OA?OB=x1x2+y1y2=0,又 y1y2= ? = , 2 n n 3-m 3-3m x1+x2 +3m x1x2 2 ∴x1x2+ =0,即 3-3m(x1+x2)+(3+2m )?x1x2=0, 2 3-m 3 6 4 2 2 2 把②代入上式整理得 2m -9m +9=0,解得 m = 或 m =3(舍去),∴m=± ,n=± 2 2 ∴M 点的坐标为?
2

2

m 2 1- =± , 3 2

2

1 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 , ?,? ,- ?,?- , ?,?- ,- ?,使得 S△AOB 取得最大值 . 2 2? ?2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?2

当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时,我们常常先建立对应的函数关系式,然后利用函数方法求出 对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问题中求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一种最重要的 方法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时,除了重视建立函数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函数 式中的变量是否有限制范围,这些限制范围恰好制约了最值的取得,因此在解题时要予以高度关注.


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