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2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学(理科)答案

时间:2012-12-25


2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 简答与提示: 1. B 6. C 12. C

2 由 x ? x ? 2 ? 0 可 得 ?1 ?

x ? 2 , 又 y ? ln(1 | | 中 1? | x |? 0 , 则 1 ? | x | 即 ? x )

?1 ? x ? 1 ,则 ?R B ? {x | x ≤ -1或x ≥1} ,因此 A ? (?R B) ? [1, 2) ,故选 B.
2.

3. 4.

1 ? ai (1 ? ai)2 1 ? 2ai ? a 2 1 ? a 2 2a 3 4 ? ? ? ? i ? ? ? i, 2 2 2 1 ? ai (1 ? ai)(1 ? ai) 1? a 1? a 1? a 5 5 2 2a 4 1? a 3 ? 可知 ? ? ,化简得 5a 2 ? 5 ? 3a 2 ? 3 , a 2 ? 4 则 a ? ?2 ,由 ? 因此 2 2 1? a 5 1? a 5 a ? 0 ,仅有 a ? ?2 满足,故选 B. A 由于要取 a , b , c 中最大项,输出的 x 应当是 a , b , c 中的最大者,所以应填 比较 x 与 c 大小的语句 c ? x ,故选 A.
B 由题意可知: A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成,且高都 为 3 ,因此该几何体体积为

1 ?1 1 3? 4 3 ?8 ? ? ? 3 ? ,故选 A. V ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2? ? 3 ? ? ? 3 ?2 3 6 3 6 ?
1

5.

x 3 2 3 a ? ? x dx ? ? x3 ? ; A 由题意可计算得 0 1 2 0 2 ? ?1 3 0
1 ?

1 3

1 ? ?1 3

1

? 3 ? x2 1 b ? 1 ? ? x dx ? 1 ? ? 0 ? 3 ? 2 ?
1 2

1

? ? 2 1 ? ? 1? ? ? 0 ? ? ; ? ? ? ?3 ? 3 ? 0?

x4 1 c ? ? x dx ? ? ,综上 a ? b ? c ,故选 A. 0 4 0 4
1 3

1

6.

3 3 C 由 a1a2a3 ? 4 ? a1 q3 与 a4a5a6 ? 12 ? a1 q12 可得 q9 ? 3 , 3 an?1 ? an ? an?1 ? a1 ? q3n?3 ? 324 ,因此 q3n?6 ? 81 ? 34 ? q36 ,所以 n ? 14 ,故选 C.

7.

B 由题意 ?ABC 中 ?BAC ? 60? ,BC ? 2 3 , 由正弦定理可知 BC ? 2 3 ? 2 R , sin A 3 2 2 由此 R ? 2 , S ? ? R ? 4? ,故选 B. B

8.

3? ? ? ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] 4 4 2 2 4 ? ?? ? ? sin(2 x ? ) 与 y ? sin ? 2 x ? ? 关于原点对称,故 p 为真命题; q 命题中 4 4? ?
p 命题中 y ? cos(2 x ?

9.

? ? ?? ? y ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 取极小值时, 2 x ? ? 2k? ? ,则 4 2 4? ? 3? x ? k? ? (k ?Z) ,故 q 为假命题,则 ? p ? q 为假命题,故选 B. 8 ?2 1? 4y x 4y x D x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? ? ? ? 2 ? ? ,即 4y 2 ? x 2 ? ? 2 ? 8 ,当且仅当 x y x y? x y ?
时等号成立. 由 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则 m ? 2m ? 8 , m ? 2m ? 8 ? 0 ,解得
2 2

?4 ? m ? 2 ,故选 D. ??? ??? ? ? ? 3 ??? 10. C 当 | OA ? OB |? | AB | 时, O , A , B 三点为等 3 ? 腰三角形的三个顶点,其中 OA ? OB , ?AOB ? 120 , 从而圆心 O 到直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 的距离为 1,此 ??? ??? ? ? ? 3 ??? 时 k ? 2 ;当 k ? 2 时 | OA ? OB |? | AB | ,又直 3 2 2 线与圆 x ? y ? 4 存在两交点,故 k ? 2 2 ,综上 k 的
取值范围为 ? 2, 2 2 ,故选 C.

y
A

O

x
B

?

?

11. B 由题可知:双曲线离心率 e1 ?

| AB | | CD | 与椭圆离心率 e2 ? | DB | ? | DA | | BD | ? | BC |

设 | AD |?| BC |? t 则 | AB |? 2t , | CD |? 2t ? 2t cos ? , | BD |? t 5 ? 4cos? ,

2 2 ? 2cos ? , e2 ? , 5 ? 4cos ? ? 1 5 ? 4 cos ? ? 1 ? ?? ? ? ? 0, ? 时,当 ? 增大, cos ? 减小,导致 e1 减小. ? 2? 2 2 ? 2 cos ? e1 ? e2 ? ? ? 1 . 故选 B. 5 ? 4 cos ? ? 1 5 ? 4 cos ? ? 1 1 1 * * 12. C 对于②,假设 M ? P ? {x | 0 ? x ? } ,则 M ? {x | x ≥ } ,则 M ? P ? ? ,因 2 2 1 1 1 * 此②错误;对于③,假设 M ? P ? {x | 0 ? x ≤ } ,则 ? M ,又 ? P ,则 2 2 2 M ? P* ? ? ,因此③也错误,而①和④都是正确的,故选 C. e1 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. [1,5] 简答与提示: 14. 3 15.

6 3

?

16. 604
y

y ? 1 y ? (?1) ? 13. 由题可知 , 即为求区域内的点与 (0, ?1) 点连线斜 x x?0 率 k 的取值范围,由图可知 k ??1,5? .
O

x

14. 由正弦定理与余弦定理可知, sin B ? 6 cos A ? sin C 可化为 b ? 6 ?

b2 ? c 2 ? a 2 ? c ,化 2bc 2 2 简可得 b2 ? 3(b2 ? c2 ? a2 ) ,又 a ? c ? 2b 且 b ? 0 ,可计算得 b ? 3 .

3 2 ? a ? 3a 2 ,其内切球半径为 4 1 ? a2 1 6 6 正四面体高的 ,即 r ? ? , a? a ,因此内切球表面积为 S2 ? 4? r 2 ? 4 6 4 3 12 S 3a 2 6 3 ? 则 1 ? . S2 ? a 2 ? 6 16. 由 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,可知 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 16 ,则 f ( x ? 5) ? f ( x ? 5) ? 0 ,所
15. 设正四面体棱长为 a ,则正四面体表面积为 S1 ? 4 ? 以 f ( x ) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 (?1,9] 上,函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 在 x ? (?1, 4] 区间内有 3 个零点,在 x ? (4,9] 区间内无零点,故 f ( x) 在一个周期上仅有 3 个零点, 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期, x ? [0,3] 时也存在一个零点 x ? 2 , 又 故 f ( x ) 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3 ? 201 ? 1 ? 604 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一中任选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用, 以 及三角函数的值域的有关知识. 【试题解析】解:(1)由图像得 A ? 1 ,

( ,1) 代入得 1 ? sin( ? ? ) ,而 ? ? ? ? ,所以 ? ? ,因此函数 6 6 2 2 3 ?
f ( x) ? sin( x ? ) ;(6 分) 3
(2) 由于 x ? [ ?? , ? 值范围是 [?1 ,

?

?

?

T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? 2? ,则 ? ? 1 ;将 4 3 6 2

?

?

?

6

],?

2? ? ? ? 1 ≤ x ? ≤ ,所以 ?1 ≤ sin( x ? ) ≤ ,所以 f ( x) 的取 3 3 6 3 2

1 ( 12 分) ]. 2 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式,其中还包括对数 的运算与裂项求和的应用技巧.
【试题解析】解:(1)由题

1 S n ?1 ? an ?1 ? 1 2 1 S n ? an ? 1 2

① ②

1 1 1 an ?1 ? an ? 0 ,则 an ?1 ? an . (3 分) 2 2 3 1 2 2 1 当 n ? 1 时 S1 ? a1 ? 1 ,则 a1 ? ,则 {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列, 2 3 3 3 2 1 n ?1 2 n ?1 因此 an ? a1 ? q ? ? ( ) ? n . (6 分) 3 3 3 a2 ?2 n (2) bn ? log 3 n ? log 3 3 ? ?2n , (8 分) 4
①-②可得 an ?1 ?

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) , (10 分) bn ? bn? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? 8 1 3 2 4 n ?1 n ?1 n n ? 2 8 2 n ? 1 n ? 2 16
(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体,考查平面几何的基础知识.同时题目指出 侧面的一条高与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考 查了空间直线垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和 运算求解能力. 【试题解析】解:(1) ? AA ? AC ? AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点, 1 1

? AO ? AC ,又? 侧面 AAC1C ? 底面 ABC ,交线为 AC , AO ? 面A1 AC , 1 1 1 ? AO ? 平面 ABC . (4 分) 1 (2) 如图,以 O 为原点,分别以 OB、OC、 OA1 所在直线为 x、y、z 轴,建立空

???? ? AC ? (0,1, ? 3) ,令平面 A1 AB 的法向量为 1 ? ???? ? ??? ? ? n ? ( x, y, z) ,则 n ? AA1 ? n ? AB ? 0 ,而 ???? ??? ? AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (1,1,0) ,可求得一个法向 ? 量 n ? (3, ?3, 3) ,所以 ? ???? ???? ? | n ? A1C | 6 21 | cos ? A1C , n ?|? ? ???? ? ? , A 7 | n | ? | A1C | 2 ? 21
21 . 故直线 AC 与平面 A AB 所成角的正弦值为 1 1 7
(8 分) (3) 存在点 E 为线段 BC1 的中点.

间直角坐标系,则由题可知 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , A (0,0, 3) , A(0, ?1, 0) . 1

z A1 B1 C1

O B x

C

y

证明:连结 B1C 交 BC1 于点 M ,连结 AB1 、 OM ,则 M 为 BC1 的中点,从而 OM 是

?CAB1 的一条中位线, OM // AB1 ,而 AB1 ? 平面 A1 AB , OM ? 平面 A1 AB ,所以 OM // 平面 A1 AB ,故 BC1 的中点 M 即为所求的 E 点. (12 分)
20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,考查学生的逻辑思 维能力和运算求解能力.

7 7 2 2 可知 x0 ? y0 ? ①(1 分) 4 2 ???? ???? 3 ? 3 又 PF1 ? PF2 ? , (?c ? x0 , ? y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ? , 4 4 3 2 2 2 (2 分) 即 x0 ? c ? y0 ? ② 4 2 ①代入②得: c ? 1 . 又 e ? , 2 x2 (4 分) 可得 a ? 2, b ? 1,故所求椭圆方程为 ? y2 ? 1 2
【试题解析】解:(1)设 P( x0 , y0 ) ,由 | OP |?

??? ?

1 4 16 x2 2 2 ,代入 ? y 2 ? 1,有 (2k ? 1) x ? kx ? ? 0 . 3 3 9 2 4k ?16 , x1 x2 ? . (6 分) 设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1) uuu r uuu r 若 y 轴上存在定点 M (0, m) 满足题设,则 MA ? ( x1 , y1 ? m) , MB ? ( x2 , y2 ? m) ,
(2)设直线 l : y ? kx ?

uuu uuu r r MAgMB ? x1x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m2

1 1 1 1 ? x1 x2 ?( k x ? ) ( k 2 ? ) ? m k x ? 2 x? ) 2? m x ( 1 ? k 1 3 3 3 3 1 2m 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? 3 3 9 18(m2 ? 1)k 2 ? (9m2 ? 6m ? 15) ? 9(2k 2 ? 1) uuu uuu r r 由题意知,对任意实数 k 都有 MAgMB ? 0 恒成立,
即 18(m2 ?1)k 2 ? (9m2 ? 6m ?15) ? 0 对 k ? R 成立.

(9 分)

(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研 究函数的单调性、极值等,以及函数与不等式知识的综合应用,考查学生解决问题的综 合能力. 【试题解析】解:由题意得:

?m2 ? 1 ? 0, ? ?? 2 解得 m ? 1 , ?9m ? 6m ? 15 ? 0, ? ? 在 y 轴上存在定点 M (0,1) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点.

(11 分)

f ?( x) ? (ex )? ? (ax2 ? 2x ? 2) ? ex ? (ax2 ? 2x ? 2)? 2 ? e x (ax 2 ? 2x ? 2) ? e x (2ax ? 2) ? ae x ( x ? )( x ? 2) ; (2 分) a (1) 由曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2))处的切线垂直于 y 轴,结合导数的几何意义得 2 2a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ; (4 分) f ?(2) ? 0 ,即 a ? e 2 ? (2 ? )(2 ? 2) ? 4ae2 ? a a (2) 设 | sin x |? t (0 ≤ t ≤ 1) ,则只需求当 a ? 0 时,函数 y ? f (t )(0 ≤ t ≤1) 的最小值. 2 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? ?2 ,而 a ? 0 ,即 ? ?2 . a a 2 2 从而函数 f ( x ) 在 (??, ?2) 和 ( , ??) 上单调递增,在 ( ?2, ) 上单调递减. a a 2 当 ≥ 1 时,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上为减函数, ymin ? f (1) ? (a ? 4)e ; a 2 当 0 ? ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的极小值即为其在区间 [0,1] 上的最小值, a 2 2 ymin ? f ( ) ? ?2e a . a 综上可知,当 0 ? a ≤ 2 时,函数 f (| sin x |) 的最小值为 (a ? 4)e ;当 a ? 2 时,函数
f (| sin x |) 的最小值为 ?2e a .
2

(8 分)

(3) 令 e x ( x2 ? 2 x ? 2) ? kx ,显然 x ? 0 ,则 k ? 构造函数 g ( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) . x

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) ex , g ?( x) ? 2 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 2) . x x 令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? ? 2 , x2 ? 1 , x3 ? 2 ,可知: g ( x) 在 (??, ? 2) 上单调递减, 且 g ( x) ? 0 ,当 x 无限减小时, g ( x) 保持恒负并无限接近于 0,其图像在下方无限靠
近 x 轴负半轴; g ( x) 在 (? 2,0) 上单调递增,当 x 无限接近于 0 时, g ( x) 无限增大, 其图像在左侧向上无限接近 y 轴正半轴,由于极小值 g (? 2) ? ?2e?
2

? 0 ,所以 g ( x)

在 (? 2,0) 内存在一个零点; g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递减,在

( 2, ??) 上单调递增,因此 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? ?3e ,在 x ? 2 处取得
极小值 g ( 2) ? ?2e
2

. 当 x ? 0 并无限靠近 0 时,g ( x) 无限减小, 其图像无限靠近 y

轴负半轴, x 无限增大时,g ( x) 也由负值变为正值无限增大,g ( x) 在区间 ( 2, ??) 当 内也存在一个零点. 函数 g ( x) 的大致图像如图所示:

y

O

x

k

k

根据条件 y ? kx 与 y ? f ( x) 的图像存在三个交点, 即方程 e x ( x2 ? 2 x ? 2) ? kx 有三个 解,直线 y ? k 与函数 g ( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) 的图像有三个公共点. 因此 x g (? 2) ? k ? 0 或 g ( 2) ? k ? g (1) ,即 ?2e? 2 ? k ? 0 或 ?2e 2 ? k ? ?3e ,从而 k

的取值范围是 (?2e 2 , ?3e) ? (?2e? 2 ,0) . (12 分) 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质, 以及圆中角的性质 等知识. 【试题解析】证明(1):已知 AD 为⊙ 的直径,连接 AB ,则 ?BCE ? ?BAE , M

?CEF ? ?ABC ? 90? ,由点 G 为弧 BD 的中点可知 ?GAD ? ?BAE ? ?FCE ,故 CE EF ?CEF ∽ ?AGD ,所以有 ? ,即 AG ? EF ? CE ? GD . (5 分) AG GD GF DG EF D ∽ ?DGF , ? ? (2)由(1)知 ?DFG ? ?CFE ? ?ADG , ?A 故 G 所以 , DG AG CE GF EF 2 ? . (10 分) 即 AG CE 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程向 直角坐标方程转化,参数方程向普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等.
2 2 2 【试题解析】解:(1)对于 C :由 ? ? 4cos ? ,得 ? ? 4? cos? ,进而 x ? y ? 4 x ;

? 3 t ?x ? 5 ? 1 ? 2 ( t 为参数) 对于 l :由 ? ,得 y ? ( x ? 5) ,即 x ? 3 y ? 5 ? 0 .(5 分) 3 ?y ? 1 t ? ? 2
(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为 (2, 0) ,半径为 2,则弦心距 d ?
2

| 2 ? 3 ?0 ?5| 3 ? , 2 1? 3

弦长 | PQ |? 2 2 ? ( ) ? 7 ,因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积
2

3 2

(10 分) 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识, 具体涉及到绝对值不等式的解法及性 质等内容. 【试题解析】解:(1) 当 a ? 5 时, f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ,由

S ? 2d ? | PQ |? 3 7 .

? x ≥ ?1 ? ?2 ≤ x ? ?1 ? x ? ?2 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ≥ 0 得 ? 或? 或? ,解得 x ≥ 1 2 x ? 2 ≥ 0 ??2 ≥ 0 ?8 ? 2 x ≥ 0 ? ? 或 x ≤ ?4 .即函数 f (x) 的定义域为{x| x ≥ 1 或 x ≤ ?4 }. (5 分) (2) 由题可知 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a ≥ 0 恒成立,即 a ≤| x ? 1| ? | x ? 2 | 恒成立,而 | x ? 1| ? | x ? 2 |≥| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1 ,所以 a ≤ 1 ,即 a 的取值范围为 (??,1] .
(10 分)


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