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2015-2016昌平高三上学期期末文科数学试题及答案

时间:2016-01-26


2016 年北京昌平高三上学期期末文科数学试题及答案

昌平区 2015-2016 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2016.1

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要

求的一项.) (1)若集合 Α ? x ?3 ? x ? 3 , Β ? ? x | ( x ? 4)( x ? 2) ? 0? ,则 Α ? Β = A. ? x | ?3 ? x ? 2? C. {x | ?3 ? x ? ?2} (2)下列函数中,为偶函数的是( A. y ? ) D. y ? cos x B. ? x | 2 ? x ? 3? D. {x | x ? ?4 或 x ? ?3}

?

?

x

B. y ? 2

x

C. y ? sin x

(3)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?1, m) ,若 a ? b ,则 m 的值为 A. ?2 B. 2

C.

1 2

D. ?

1 2

(4)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 A.36 B.18 C.12 D.6

4

3 正(主)视图 1 2

3 侧(左)视图

俯视图

(5)设 a ? 20.5 , b ? 0.52 , c ? log2 0.5 ,则 a, b, c 的大小关系为

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

(6)在等比数列 {an } 中, a1 = 1, 则“ a2 ? 4 ”是“ a3 ? 16 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? y ? 3 ? 0, ? (7)若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 且 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,则 k 的值为 ?x ? k, ?
A. ?1 B.1 C. ?7 D. 7

(8)2015 年 12 月 7 日,北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括:全市范围内 将实施机动车单双号限行(即单日只有单号车可以上路行驶,双日只有双号车可以上路行 驶),其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上,再停驶车量总数的 30% .现某单位的公 务车,职工的私家车数量如下表:

公务车 单号(辆) 双号(辆) 10 20

私家车 135 120

根据应急措施,12 月 8 日,这个单位需要停驶 的公务车和私家车一共有 .. A.154 辆 B.149 辆 C.145 辆 D.140 辆

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)已知复数 z ? i(2 ? i) ,则 | z |? ____________.

(10)若直线 y ? 2 x ? m 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5 相切,则 m 的值是_______.
2 2

(11)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为______

(12)若双曲线 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到右焦点的距离是 6,则点 P 到左焦点的距离 4 9
1 , 则b ? 3

a ? 3, c ? 2, cos B ? (13) 在 ?ABC 中,

sin C ? ;

.

(14)某大学进行自主招生时,要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测 试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、 乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:

200 总 成 绩 排 名

200 阅 读 表 达 成 绩 排 名







O

逻辑思维成绩排名 200

O

逻辑思维成绩排名

200

从这次测试看,甲、乙两位同学,总成绩排名更靠前的是___________;甲、丙两位同学, 逻辑思维成绩排名更靠前的是____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = 2sin x cos x + cos2 x ? sin 2 x. (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)求 f ( x ) 的单调递增区间. (16)(本小题满分 13 分) 在等差数列 {an } 中, a2 = 1, a4 = 5. (I)求数列 {an } 的通项公式;

(II) 设数列 cn ? an ? bn , 且数列 {cn } 是等比数列.若 b1 = b2 = 3, 求数列 {bn } 的前 n 项 和 Sn . (17) (本小题满分 13 分) 小王为了锻炼身体, 每天坚持 “健步走” , 并用计步器进行统计.小王最近 8 天 “健步走” 步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下:
频数(天) 3 2 1 O 16 17 18 19 步数(千步)

图1 (Ⅰ)求小王这 8 天 “健步走”步数的平均数;

表1

(Ⅱ)从步数为 17 千步,18 千步,19 千步的几天中任选 2 天,求小王这 2 天通过“健 步走”消耗的能量和不小于 1000 卡路里的概率. (18) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA1 , AB ? AC , D 为 BC 中点. AB1 与

A1 B 交于点 O.
(Ⅰ)求证: A1C / / 平面 AB1D ; (Ⅱ)求证: A1 B ? 平面 AB1C ;

A1

B1 O

C1

A B D

C

(Ⅲ)在线段 B1C 上是否存在点 E ,使得 BC ? AE ?请说明理由.

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 ( 3, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程;

(II)若直线 l : y ? kx ? m (k ? 0, m ? 0) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 中点为 M,点 O 为坐标原点. 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (Ⅰ) 求函数 f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线方程; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)设 h ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? ,若 h ? x ? 存在最大值,且当最大值大于 2k ? 2 时,确定 实数 k 的取值范围.

昌平区 2015-2016 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 (文)

2016.1

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 5 (10) ?12 或 ?2 (11) 4

(12) 2

(13)3;

4 2 9

(14) 乙;甲

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x) = 2sin x cos x + cos2 x ? sin 2 x

= sin 2 x + cos 2 x

=

2 sin(2 x +

π ). 4 2π 2π = = π. ω 2

?????????4 分 ?????????6 分

所以 最小正周期 T = (2)由 ? 得?

π π π + 2kπ ? 2 x + ? + 2kπ, k ? Z, 2 4 2 3π π + kπ ? x ? + kπ, k ? Z. 8 8
?????????12 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [(16)(本小题满分 13 分)

3π π + kπ, + kπ], k ? Z. ?????13 分 8 8

解:(I)设等差数列 {an } 的公差为 d , 由 a2 = 1, a4 = 5, 得 a1 ? ?1, d ? 2 所以 an = a1 + (n ?1)d = 2n ? 3, n ? ??. (II) 由 a1 ? ?1, b1 ? 3, 得 c1 ? 2 . a2 ?, b2 ? 3, 得 c2 ? 4 . ????????4 分

因为 {cn } 是等比数列, 所以 cn ? c1 ? (

c2 ? 2, c1
????????8 分

c2 n ?1 ) ? 2n. c1

所以 bn ? cn ? an ? 2n ? (2n ? 3).

2 ? 2n ?1 n(?1 ? 2n ? 3) ? 2n?1 ? n2 ? 2n ? 2 , n ?? ?. ? 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1? 2 2
?????13 分

(17)(本小题满分 13 分) 解: (I) 小王这 8 天 每天“健步走”步数的平均数为
16 ? 3 ? 17 ? 2 ? 18 ?1 ? 19 ? 2 ? 17.25 (千步) . 8

????????6 分

(II)设小王这 2 天通过“健步走”消耗的能量和不小于 1000 卡路里为事件 A. “健步走”17 千步的天数为 2 天,记为 a1 , a2 ,“健步走”18 千步的天数为 1 天, 记为 b1 , “健步走”19 千步的天数为 2 天,记为 c1 , c2 . 5 天中任选 2 天包含基本事件有: a1a2 , a1b1 , a1c1 , a1c2 , a2b1 , a2c1 , a2c2 , b1c1 , b1c2 , c1c2 , 共 10 个. 事件 A 包含基本事件有: b1c1 , b1c2 , c1c2 共 3 个. 所以 P( A) ?
3 . 10

????????13 分

(18) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 连结 OD . 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 因为 AB ? AA1 , 所以 四边形 AA1 B1 B 为正方形, 所以 O 为 A1 B 中点. 因为 D 为 BC 中点, 所以 OD 为 ?A1 BC 的中位线, 所以 OD / / A1C.

A1

B1 O E

C1

A D B

C

因为 A1C ? 平面 AB1 D ,

OD ? 平面 AB1 D ,
所以 A1C // 平面 AB1 D . ????????4 分

(Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? AB , AC ? AA1 , AA1 I AB ? A , 所以 AC ? 平面 AA1 B1 B , 所以 AC ? A1 B. 在正方形 AA1 B1 B 中, A1 B ? AB1 , AC I AB1 ? A 所以 A1 B ? 平面 AB1C . (Ⅲ) 存在 取 B1C 中点 E ,连结 DE , AE . 所以 DE // BB1 . 所以 DE ? BC . 因为 AB ? AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC . 因为 AD I DE ? D , 所以 BC ? 平面 ADE . 所以 BC ? AE . 所以 当 E 为 B1C 中点时, BC ? AE . ??????14 分 ????????9 分

(19) (本小题满分 13 分)

? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a 2 ?a ? b 2 ? c 2 . ? ?

解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1. 4
(Ⅱ)法一: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .

????????5 分

将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?

?8km , 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
1 . 4
????????13 分

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ?

法二: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .则 xM ? 0, x1 ? x2 ? 0,

? x12 ? y12 ? 1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 由 ? 得 1 2 4 x ? 2 ? y 2 ?1 2 ? ? 4


yM ( y1 ? y2 ) 1 ?? , xM ( x1 ? x2 ) 4

即 kOM ? k ? ?

1 . 4
1 . 4
???????13 分

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? (20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:定义域为 (0, ??) , f ' ? x ? ? 由 题 意 , f ' ?1? ? 1 ,

1 . x

f ?1? ? 0 , 所 以 函 数 f ? x ? 在 点 ?1,f ?1? ? 处 的 切 线 方 程 为

y ? x ? 1 .???????4 分
(Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ,可转化为 当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? f ? x ? ? x ? 1 ,

所以 g '( x) ?

1 1? x . ?1 ? x x

当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 成立. (Ⅲ)设 h ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? ,定义域为 (0, ??) , 所以 h ' ? x ? ? ????????8 分

1 1 ? kx ?k ? . x x

⑴当 k ? 0 时,对于任意的 x ? 0 , h '( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数,所以 h( x) 无最大值,即 k ? 0 不符合题意. ⑵当 k ? 0 时,令 h ' ? x ? ? 0 ,即 1 ? kx ? 0 ,则 x ? 所以 h( x) , h '( x) 变化如下:
x
h '( x)

1 ?0. k

0

1 (0, ) k

1 k
0 极大值

1 ( , ??) k

?
h(0)

? ↘

h( x )



1 ?1? 因为 h( x) max ? h ? ? ? ln ? 1 ? k . k k ? ? 1 所以 ln ? 1 ? k ? 2k ? 2 成立,即 ln k ? ?k ? 1 , k

令 p(k ) ? ln k ? k ? 1 , k ? 0 , 所以 p '(k ) ?
1 ? 1 ? 0 ,即 p(k ) 在 (0, ??) 上为增函数. k

又因为 p(1) ? 0 ,所以当 0 ? k ? 1 时, p(k ) ? p(1) ? 0 . 所以, 0 ? k ? 1 时,命题成立. 综上, k 的取值范围为 (0,1) . ???????14 分


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