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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第19练 解三角形问题课件 理


专题4 三角函数与平面向量

第19练 解三角形问题

题型分析·高考展望

正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,而解三角形问题 是高考每年必考的热点问题之一 . 命题的重点主要有三个 方面:一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角 形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为 背景,考查解三角形问题;三是与

其他知识的交汇性问题, 此类试题一直是命题的重点和热点.

常考题型精析 高考题型精练

常考题型精析
题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题 题型二 正弦、余弦定理的实际应用
题型三 解三角形与其他知识的交汇

题型一

活用正弦、余弦定理求解三角形问题

3 得 4=b +12-2×b×2 3× 2 ,
2

即b2-6b+8=0, ∴b=4或b=2, 又b<c,∴b=2. 答案 C

3 解 ①在△ABC 中,由题意知,sin A= 1-cos A= 3 , π 又因为 B=A+2,
2

6 所以 sin A= 3 . 6 3× 3 asin B 由正弦定理,得 b= sin A = =3 2. 3 3 π ②由 B=A+2得
cos
? π? ? B=cos?A+2? ?=-sin ? ?

? π? ? B=sin?A+2? ?=cos ? ?

3 A=- 3 .

由A+B+C=π,得C=π-(A+B).

所以sin C=sin[π-(A+B)]
=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
3 ? 6 6 1 3? ? ? = 3 ×?- ?+ 3 × 3 =3. 3? ?

因此△ABC的面积
1 1 1 3 2 S=2absin C=2×3×3 2×3= 2 .

点评

在根据正弦、余弦定理解三角形问题中,要结合大

边对大角进行判断.一般地,斜三角形中,用正弦定理求角

时,若已知小角求大角,有两解,已知大角求小角有一解;
在解三角形问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在

解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数
值的符号,防止增解等扩大范围的现象发生.

变式训练1

(2015· 课标全国Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,

AD平分∠BAC,BD=2DC.
sin B (1)求sin C; 解 由正弦定理得 AD BD AD DC = , = . sin B sin∠BAD sin C sin∠CAD

因为AD平分∠BAC,BD=2DC, sin B DC 1 所以sin C=BD=2.

(2)若∠BAC=60°,求B. 解 因为C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°,
3 1 所以 sin C=sin(∠BAC+B)= 2 cos B+2sin B.

3 由(1)知 2sin B=sin C,所以 tan B= 3 ,

即B=30°.

题型二 正弦、余弦定理的实际应用
例2 如图,游客从某旅游景区的景点A处下 山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行 到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步 行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行, 速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在

B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运

12 动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A 13 3 = ,cos C= . 5

(1)求索道AB的长;
12 3 解 在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5

从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65.

AB AC 由正弦定理 = ,得 sin C sin B
AC 1 260 4 AB=sin B×sin C= 63 ×5=1 040(m). 65

所以索道AB的长为1 040 m.

(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
解 假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了

(100+50t)m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得

12 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)×13 1 040 2 =200(37t -70t+50),由于 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8, 35 故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. 37
2 2 2

(3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙
步行的速度应控制在什么范围内?
BC AC 解 由正弦定理sin A=sin B,
AC 1 260 5 得 BC=sin B×sin A= 63 ×13=500(m). 65 乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走

710 m才能到达C.

设乙步行的速度为v m/min,由题意得
500 710 1 250 625 -3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ , 50 43 14

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,
?1 250 625? ? , 乙步行的速度应控制在? ? 43 ?(单位:m/min)范围内. 14 ? ?

点评 解三角形中的实际问题四步骤:

(1) 分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3) 将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4) 检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍, 得出正确答案.

解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;

变式训练 2

(2014· 四川 ) 如图,从

气球A上测得正前方的河流的两岸B,
C 的俯角分别为 67°, 30°,此时

气球的高是46 m,则河流的宽度BC
约等于________m.(用四舍五入法将

46 解析 根据已知的图形可得 AB=sin 67° .
在△ABC 中,∠BCA=30° ,∠BAC=37° ,
AB BC 由正弦定理,得sin 30° =sin 37° ,

46 所以 BC≈2×0.92×0.60=60(m).

答案 60

题型三

解三角形与其他知识的交汇
? x,-1),n= ? ? ?

例3 已知向量m=(cos f(x)=(m+n)· m. 解 f(x)=(m+n)· m

1? ,函数 3sin x,-2? ? ?

(1)求函数f(x)的最小正周期;
3 =cos x+ 3sin xcos x+ 2 1+cos 2x 3 3 = + sin 2x+ 2 2 2
2

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+2
? π? ? =sin?2x+6? ?+2. ? ?
? π? ? =sin?2x+6? ?+2. ? ?

(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐 π? ? ? 上的最大值, 角,a=1,c= 3,且f(A)恰是函数f(x)在 ? 0 , ? 2? ? ? 求A,b和△ABC的面积.



由(1)知

? π? ? f(x)=sin?2x+6? ?+2, ? ?

? π? π π 7π ? ? x∈?0,2?时, ≤2x+ ≤ . 6 6 6 ? ?

π π 由正弦函数图象可知,当 2x+6=2时,

f(x)取得最大值3,又A为锐角,
π π π 所以 2A+6=2,A=6.
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,

π 得 1=b +3-2× 3×b×cos 6,
2

所以b=1或b=2,经检验均符合题意.

从而当b=1时,△ABC的面积
1 π 3 S=2× 3×1×sin 6= 4 ;

当b=2时,△ABC的面积
1 π 3 S=2× 3×2×sin 6= 2 .

点评

解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立

体几何、数列等知识结合交汇,是近年来高考的新题型, 对于这种问题要细心读题,弄清问题实质,一般都以其他 知识为载体,主体还是利用正弦、余弦定理解三角形,所 以将问题转化为解三角形是关键.

π 而由 a= 7,b=2,A=3, 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,

因为c>0,所以c=3,
1 3 3 故△ABC 的面积为 S=2bcsin A= 2 .

7 2 方法二 由正弦定理,得 = , π sin B sin 3 21 从而 sin B= 7 ,

2 7 又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= , 7 ? π? ? 故 sin C=sin(A+B)=sin?B+3? ? ? ? π π 3 21 =sin Bcos 3+cos Bsin 3= 14 . 1 3 3 所以△ABC 的面积为 S=2absin C= 2 .

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sin 2 A sin C

b2+c2-a2 25+36-16 3 解析 由余弦定理: cos A= = = , 2bc 4 2×5×6 7 ∴sin A= 4 ,

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a2+b2-c2 16+25-36 1 cos C= 2ab = =8, 2×4×5
3 7 ∴sin C= 8 ,

3 7 2×4× 4 sin 2A ∴ sin C = =1. 3 7 8

答案 C

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解析 由3sin A=2sin B,得3a=2b,
3 3 ∴b=2a=2×2=3,

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在△ABC 中,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=22+ 3
2

? 1? ? - -2×2×3×? ? 4?=16,解得 ? ?

c=4.

答案 D

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15 7 A. 4

15 7 B. 2

5 7 C. 4

5 7 D. 2

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3 1 2 解析 cos A=4,cos C=2cos A-1=8, 3 7 sin C= 8 ,tan C=3 7, 如图,设 AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD

= 7x.

BD 7x 在 Rt△DBC 中,tan C= = =3 7, CD 5-3x 3 7 1 15 7 解之得:BD= 7x= 2 ,S△ABC=2BD· AC= 4 .

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4.(2014· 江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是 a, 2 2 2sin B - sin A 的值为( b,c.若3a=2b,则 ) 2 sin A 1 1 7 A.9 B.3 C.1 D.2 a b sin B b 解析 ∵sin A=sin B,∴sin A=a.

b 3 ∵3a=2b,∴ = . a 2

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sin B 3 ∴sin A=2.

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2sin 2B-sin2A sin B 2 32 ∴ =2( ) -1=2×( ) -1 sin2A sin A 2

9 7 =2-1=2.

答案 D

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1 5.(2014· 课标全国 Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC = 2,则 AC 等于( A.5 )

B. 5 C.2 D.1 1 1 1 解析 ∵S=2AB· BCsin B=2×1× 2sin B=2, 2 π 3π ∴sin B= 2 ,∴B=4或 4 .

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3π 当 B= 4 时,

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根据余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2+2
=5,
∴AC= 5, 此时△ABC 为钝角三角形, 符合题意; π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 4

=1+2-2=1,

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→ → → → 6.在△ABC 中,AC· AB=|AC-AB|=3,则△ABC 面积的最大 值为 ( )

3 21 21 A. 21 B. C. D.3 21 4 2 解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

→ → → → ∵AC· AB=|AC-AB|=3,

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b2+c2-a2 9 3cos A 又 cos A= ≥1- =1- , 2bc 2bc 2
2 21 ∴cos A≥ ,∴0<sin A≤ , 5 5

1 3 3 21 3 21 ∴△ABC 的面积 S=2bcsin A=2tan A≤2× 2 = 4 ,
3 21 故△ABC 面积的最大值为 4 .

答案 B

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3 1 1 1 即 b=2c.又 b-c=4a,∴2c=4a,即 a=2c.

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9 2 2 2 2 2 2 c + c - 4 c b +c -a 4 由余弦定理得 cos A= = 2bc 3 2 2×2c
3 2 -4c 1 = 3c2 =-4.
答案 1 -4

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8.(2015· 江苏)设向量
11

? kπ kπ kπ? ? ak=?cos 6 ,sin 6 +cos 6 ? ?, ?(k=0,1,2 , ? ?

12),则 ? (ak· ak+1)的值为________.
k=0

解析

? kπ ? ∵ak=?cos 6 ,sin ?

kπ kπ ? +cos ? , 6 6? ?
? ? k + 1 k + 1 k + 1 kπ? ? ? ? · cos π , sin π + cos π ? 6? ? ? 6 6 6 ? ?

? kπ kπ ? ∴ak· ak+1=?cos 6 ,sin 6 +cos ?

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? ? k+1 k+1 k+1 ? kπ kπ? kπ ? ? ? ? =cos · cos π+?sin 6 +cos 6 ?· ?sin 6 6 ? ? ? 6 π+cos 6 π? ?

2k+1 3 π 1 2k+1 = cos + cos π+sin π. 2 6 2 6 6
故 ? ak· ak+1
k =0 11

2k+1 ? π 1 2k+1 ?3 ? = π + sin π ? cos + cos ? 2 6 2 6 6 ? ? k=0

?

11 ?

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11 2k+1 3 11 π 1 11 2k+1 = ?cos + ?cos π+ ?sin π. 2k=0 6 2k=0 6 6 k=0

11 2k+1 2k+1 由 ?cos 6 π=0, ?sin 6 π=0, k =0 k=0 11

3 π 得 ? ak· ak+1=2cos 6×12=9 3. k=0
11

答案 9 3

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9.(2014· 课标全国Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,
B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)· sin C,

则△ABC面积的最大值为________.

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a b c 解析 ∵sin A=sin B=sin C=2R,a=2,
又(2+b)(sin A-sin B)
=(c-b)sin C可化为(a+b)(a-b)=(c-b)· c,

∴a2-b2=c2-bc,
∴b2+c2-a2=bc.

b2+c2-a2 bc 1 ∴ = = =cos A,∴A=60° . 2bc 2bc 2

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∵△ABC中,4=a2=b2+c2-2bc· cos 60°

=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(“=”当且仅当b=c时取得),

1 1 3 ∴S△ABC=2· bc· sin A≤2×4× 2 = 3.
答案 3

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10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A π = ,a= 3,则b2+c2的取值范围为________. 3 a b c 解析 由正弦定理,得 sin A=sin B=sin C=2, b=2sin B,c=2sin C,

所以b2+c2=4(sin2B+sin2C)
=2(1-cos 2B+1-cos 2C)

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2π =4-2cos 2 B-2cos 2( 3 -B)
=4+ 3sin 2 B-cos 2 B

π =4+2sin(2 B-6). 2π 又 0<B< 3 ,

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π π 7π 所以- <2B- < . 6 6 6

π 所以-1<2sin(2 B-6)≤2.

所以3<b2+c2≤6.

答案 (3,6]

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11.(2014· 重庆)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c,且a+b+c=8. 5 (1) 若 a=2,b=2,求 cos C 的值; 7 解 由题意可知 c=8-(a+b)=2. 由余弦定理得 52 72 2 a2+b2-c2 2 +?2? -?2? 1 cos C= 2ab = 5 =-5. 2×2×2

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(2) 若 sin Acos
2B

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2A

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2

+sin Bcos

2

=2sin C,且△ABC 的面积 S

9 =2sin C,求 a 和 b 的值 . 2B 2A 解 由 sin Acos 2 +sin Bcos 2 =2sin C,可得
1+cos B 1+cos A sin A· 2 +sin B· 2 =2sin C,

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化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.

因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,
所以sin A+sin B=3sin C.

由正弦定理可知a+b=3c.
又因为a+b+c=8,故a+b=6. 1 9 由于 S=2absin C=2sin C,所以 ab=9, 从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.

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π 解 由∠B=2,AB=a,BC= 3a, π 所以∠BAC=3.

设MA=MA′=xa(0<x<1),则MB=a-xa,
a-xa 1 所以在 Rt△MBA′中,cos(π-2θ)= xa =2,

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2 所以 x=3.

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由于△AMN为等边三角形, 所以绿地的面积 1 2 2 π 2 3 2 S=2×2×3a×3a×sin 3= 9 a .

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(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将 AN,A′N的值 设计最短,求此时绿地公共走道的长度. π 解 因为在 Rt△ABC 中,∠B= ,AB=a,BC= 3a, 2 π 2π 所以∠BAC=3,所以在△AMN 中,∠ANM= 3 -θ, AN AM 由正弦定理得sin θ= ?2π ?, ? - θ sin? ?3 ? ? ?

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设AM=ax(0<x<1),则A′M=ax,BM=a-ax,
a-ax 1-x 所以在 Rt△MBA′中, cos(π -2θ)= = , ax x 1 a 所以 x=2sin2θ,即 AM=2sin2θ,
所以 AN= 2sin
?2π ?. ? - θ θsin? ?3 ? ? ?

a

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2sin

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?2π ? ? 2 θsin? 3 -θ? = sin θ+ ? ? ?

3sin θcos θ

1 3 1 1 π = + sin 2θ- cos 2 θ= +sin(2 θ- ), 2 2 2 2 6
π π π π 5π 因为 <θ< ,所以 <2θ- < , 4 2 3 6 6
π π π 所以当且仅当 2θ- = ,即 θ= 时, 6 2 3

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2 AN 的值最小,且 AN= a, 3

2 此时绿地公共走道的长度 MN=3a.


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