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2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题5.3 平面向量的数量积含解析


2015 年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合 题目要求的。 ) 1. 【2014 全国 2 高考理第 3 题】设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = (
A.

1 B. 2 C. 3 D. 5 )

2. 【组卷网合作校特供】 已知 {an } 是等差数列, 若 S 27 ? S 4000 , O 为坐标原点, 点 P (2, an ) 、 Sn 为其前 n 项和,

Q(2014 , a2014 ) ,则 OP ? OQ ? ( )
A.4028 B.2014 C.0 D.1

3. 【2014 重庆高考理第 4 题】 已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) , 且( 则实数 k = ( 2 a? 3) b ? c ,
A. ? 9 2
B.0 C. 3
D.



15 2

? ? ? ? 4.【2014 届福建省厦门市高三 5 月适应性考试】设向量 a 与 b 满足 a ? 2 ,b 在 a 方向上的投影为 1 ,若存

1

在实数 ? ,使得 a 与 a ? ?b 垂直,则 ? =( A.

?

?

?

) D. 3

1 2

B.1

C. 2

5. 【2014 辽宁高考理第 5 题】设 a, b, c 是非零向量,已知命题 P:若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;
命题 q:若 a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是( A. p ? q 【答案】A 【解析】由题意可知,命题 P 是假命题;命题 q 是真命题,故 p ? q 为真命题,故选 A. B. p ? q C. (?p) ? (?q) D . p ? ( ?q ) )

6.【改编自 2014 全国 1 高考理第 15 题】已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 AO ?

1 AB ? AC ,则 AB 与 2

?

?

AC 的夹角为(
A. 30
0

) B. 45
0

C.

60 0

D. 90

0

7. 【2014 届湖北省黄冈市高三 5 月适应性考试】非零向量 AB 与 AC 满足 ?
AB AB AC AC 1 ,则⊿ABC 为( 2

?

? AC ? ? ? BC ? 0 且 ? AB AC ? ? ? AB

?

?

)

A.三边均不等的三角形 C.等边三角形 【答案】C

B.直角三角形 D.等腰非等边三角形

2

8.【2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江西卷) 】已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 ? ,且
1 cos ? ? ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? ,则 cos ? 等于( 3
A.
2 3



B.

2 2

C.

2 2 3

D.

4 2 3

9.【2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷) 】已知菱形 ABCD 的边长为 2,
EA ? F ?BAD ? 120? , 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,BE ? ? BC ,DF ? ? DC . 若A
则? ?? ?( (A) ) (B)

2 CE ? CF ? ? , ? 1, 3

1 2

2 3

(C)

5 6

(D)

7 12

10. 【2013-2014 学年山东省高二暑假作业】设 O 为坐标原点, A ?1,1? ,若点
? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? B ? x, y ? 满足 ?0 ? x ? 1, 则OA ? OB 取得最小值时,点 B 的个数是( ?0 ? y ? 1, ? ?
A.1 B.2 C.3 D.无数个

)

3

【答案】B

?x2 ? y2 ? 1 ? 【解析】先画出点 B ( x , y )满足 ? 0 ? x ? 1 的平面区域如图,又因为 OA ? OB ? x ? y ,所以当在 ? 0 ? y ?1 ?
点M( 0 , 1 )和点 B ( 1 , 0 )处时, x+y 最小.即满足要求的点有两个.故选 B .

11.【改编自 2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(陕西卷) 】设 0 ? ? ?

?
2

,向量

a ? (sin 2? , cos? ),b ? (1,? cos? ) ,若 a ? b ? 0 ,则 tan ? ? (
(A)

).

1 2

(B)

2 3

(C)

5 6

(D)

7 12

12.【原创题】对于非零向量 a, b ,下列命题中正确的是(
A. a ∥ b ? a 在 b 上的投影为 a B. a ? b ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 C. a ⊥ b ? a ? b ? a ? b D. a ? c ? b ? c ? a ? b

).

? ?

2

4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 ) 13.【2014 届江苏省淮安市淮海中学高三Ⅲ级部决战四统测二】设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,

a ? (2,1), a ? 3b ? (5,4) ,则 cos ? ?



14.【2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖北卷) 】若向量 OA ? (1,?3) , | OA |?| OB | ,

OA ? OB ? 0 ,则 | AB |? ________.

? y? 15. 平面上有三个点 A(-2,y),B ? 0, ? ,C(x,y),若 AB ⊥ BC ,则动点 C 的轨迹方程为__________. ? 2?

5

16.【2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(安徽卷) 】已知两个不相等的非零向量 a, b, 两组向
量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记

S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , S min 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是
_________(写出所有正确命题的编号). ① S 有 5 个不同的值. ②若 a ? b, 则 S min 与 a 无关. ③若 a ∥b, 则 S min 与 b 无关. ④若 b ? 4 a ,则 Smin ? 0 . ⑤若 | b |? 2 | a |, S
min

? 8 | a |2 ,则 a 与 b 的夹角为

? 4

6

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.【2014 高考名师推荐】设向量

(1)若 (2)设函数

,求 x 的值 ,求 f(x)的最大值

18.【2014 届山东省威海市高三 3 月模拟】已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (1+cos? , ? sin ? ) .
(1)若 ? ?

? , ? ? (0, ? ) ,且 a ? b ,求 ? ; 3

(2)若 ? =? ,求 a ? b 的取值范围.

7

19.【2014 届江西省重点中学盟校高三第一次联考】已知向量 a1 ? (1,?7) , d ? (1,1) ,对任意 n ? N * 都有

an ?1 ? an ? d .
(1)求 | an | 的最小值; (2)求正整数 m, n ,使 am ? an

8

20. 【2014 届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知 O 为锐角△ABC 的外心,AB=6,AC=10,

AO ? xAB ? yAC ,且 2x+10y=5,求边 BC 的长.

9

∴ AC ABcos?A ? 20, 即 10 ? 6cos?A ? 20,cos?A ?

1 , 3

由余弦定理得, BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? ACcos?A ? 96, BC ? 4

6.

21.【2014 届江西省南昌市高三第二次模拟】如图已知 △ABC 中, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 120? ,点 M
是边 BC 上的动点,动点 N 满足 ?MAN ? 30? (点 A, M , N 按逆时针方向排列) .

(1)若 AN ? 2 AC ,求 BN 的长; (2)若 AM ? AN ? 3 ,求△ ABN 面积的最大值. 【答案】 (1) BN ? 【解析】 (1)由 AN ? 2 AC ,得点 N 在射线 AC 上, AN ? 4 ,

21 ;(2)

2 7 ?3 3 4

BN 2 ? 1 ? 16 ? 2 ?1? 4 ? cos120? ? 21 ,即 BN ? 21 ;

5分

10

22. 【2014 届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试】 如图:A ? 3m, m , B
上移动,且 OA ? OB ? ?

?

? ?

3n, n 两点分别在射线 OS , OT

?

1 , O 为坐标原点,动点 P 满足 OP ? OA ? OB 2

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q ? x0 , ? ,过 Q 作(1)中曲线 C 的两条切线,切点分别为 M , N ,①求证:直线 MN 过定点; ②若 OM ? ON ? ?7 ,求 x0 的值。 【答案】 (1) y ?
2

? ?

1? 2?

x2 1 ? 1( y ? 0) ; (2)①见解析;② x0 ? ? . 2 3

【解析】 (1)由已知得, OA ? OB ? ?3mn ? mn ? ?

1 1 ,即 mn ? 2 4

11

设 P 坐标为 ? x, y ?? y ? 0? ,由 OP ? OA ? OB 得: ? x, y ? ? ? 3m, m ?

?

? ?

3n, n ?

? ?

3 ? n ? m? , m ? n

?

? x2 ?x ? 3 ?n ? m? 2 ? 1( y ? 0) ∴? ,消去 m, n 可得, y ? 3 ? ?y ? m ? n

x2 ? 1( y ? 0) ∴轨迹 C 的方程为: y ? 3
2

4分

12


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