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专论荟 萃 ?
数学通讯 —— 2 O 1 2年 第 3期 ( 上 半月)
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对一道 2 0 1 1 年高考 圆锥曲线 问题的探究
刘瑞美
( 安徽省五河县第二中学 , 2 3 3 3 0 0 )
2 0 1 1 年 安徽 省高 考数 学理 科试 题第 2 1 题对考 生探究 问题 的意识和综合数学素养具有 一定的要求 ,
是一道 很好 的探究题材 , 现将探究过程呈现如下.
1 .问题呈 现及解 答
不偏 不怪 , 在考 查 这 些 主干 知识 的 同时 , 将 其 与平
面向量 的概 念 、 运算及 性 质和点 的轨迹 方程 等综 合 在一 起 , 要求 考生运算 准 确 , 思 路清 晰. 把 它放 在考 卷的最后一 题 , 是一 道考查考生数学潜能 的靓题. 2 .试题 的背 景
题1 如图 1 , 设 > 0 , 点 A 的坐标 为 ( 1 , 1 ) ,
点 B在 抛物 线 Y = X 。 上运动 , 点 Q满 足B Q:J = 【
,
本 题 有 着 深 刻 的知 识 背 景 , 首 先 它 是 有 向线 段 的定 比分点 坐 标 公 式 的一 个 具 体 应 用 . 由于 在
新课 标教 材 中没 有 单 独 学 习定 比分 点 坐 标 公 式 ,
经过 Q点 与 轴垂 直 的直线 交抛 物线 于点 M , 分析 本 题 主要 考 查
点 P满足蕊 一 j 沛 , 求点 P的轨迹方程.
J I
所 以命题 老 师 把 它 作 为 公 式 的应 用 , 让 考 生 在 探 究 问题 的过程 中 去 体 验 和 推 导这 个 公 式 , 并 让 此
公 式在解 题 过程 中得 到升 华. 其次, 本题 又 是 共线 向量 基本 定理 的一 个 具 体应 用 , 利 用 共 线 向量 的
直线 和抛 物 线 方 程 , 平 面 向 量 的概念 、 性 质及 运算 , 动 点 轨 迹方 程 等 基 本 知 识 , 考 查
灵 活运 用所 学知识 探究 问题 和解 决 问题 的 能力 , 全 面 考
O P
、 \
Q /
坐标 运算 , 将 几 何 问 题 代 数化 , 以数 助 形 , 数形 结
合, 相得 益彰 , 彰 显解 析几 何 的魅 力. 再者 , 探究 抛 物线 在 一点 处 的 切 线 , 将 求 曲线 的 切线 问题 综 合 在 圆锥 曲线 之 中 , 彰 显 新课 程 高考 对 考 生数 学 学
习能力 和思 维 品质考 查的 力度.
查考生 的数学综合素养 . 解 由 题 意 , 可 设
图1
B( x l , X } ) , Q( z Q , Y Q ) , M( x M, Y M ) , P( x, ) . 因为直线 Q M 上 z轴 , 所 以 o— z M= X .
另外 , 本题 还 可 以看 成是 由 2 O O 8年 山东 高考 理 科第 2 2 题和 2 0 0 7年江 苏高考 卷理科第 1 9 题 演
变 而来 的.
又由于A的坐标为( 1 , 1 ) , 蔚 一
-P, M 因此有:
X1 + +
, 一
题 2 ( 2 O O 8年 山 东 理
: = = 莆
一
’ Y Q 一雨
’
Y J I
第2 2题 )如 图 2 , 设 抛 物 线
方 程为 X 一 2 p y( p> O ) M
y M 一 巫 二 —丁 一 —— 二 二 竺: 箜± ± ± :
由z Q= M— X可得 z1 =x ( t + ) 一 , 将 其
z } + . 、
为直 线 Y 一一 2 户上 任 意 一
点, 过 M 引 抛 物线 的切 线 ,
切 点分 别 为 A, B.
( I) 求 证 : A, M, B 三
\ I / Y
M
~
:2 J D
代 入 = 堑 ≠
直线 2 x— Y一 1— 0 .
一 z 2 , 化 简 整 理 得
.
( + 1 ) ( 1 —2 z + )一 0 , 因为 > 0 , 所 以 + 1 ≠ 0 , 因而 有 1 —2 z+Y一 0 , 所 以点 P 的轨迹 方程 为
点 的横 坐标 成等 差数 列 ;
( I D 已知 当 M 点 的坐标
图2
为( 2 , 一2 p ) 时, l A B l 一4 而, 求 此时抛物线 的
方程 ; -
容 易知 道 , 此 直线恰 为抛 物线 在 点 A( 1 , 1 )处
的切线 . 实 际上 , 过 P 点有 两 条 切 线 , 这 两 条 切 线
( I l I ) 是否存在点 M, 使得点 C关于直线 A B的对
称 点 D在抛物线 x 2 —2 p y ( p >O ) 上, 其中 , 点 C满足
一
与 弦 的两端 点可 以 围成一个 三角 形. 评 析 本题考查直线 与 圆锥 曲线位 置关 系 问 题, 这 是 考试 说 明和考 试大 纲 中 的基 本要 求 , 试题
+ ( O为坐标原点) . 若存在 , 求出所有适
合题意 的点 M 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理 由.
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数 学通 讯 — — 2 O 1 2年 第 3期 ( 上半月)
?专 论 荟 萃 ?
将题 2 条件 中的平行 于 X轴 的直线 , 改编 为平 行 于 Y轴 的直 线 , 将 结论 稍加 变化 , 即得 到题 1 . 题 3( 2 0 0 7年 江苏卷 理
J ,J
得 。 ( 1 —2 x+ 2 p y) +2 ( 2 p+ 2 p y一 2 x )一 0 .
因为 . = 【 > 0 , 所 以有 2 ( 1 —2 x+ 2 p y ) +( 2 p+
2 p y一 2 x )= 0 .
1 9题 )如 图 3 , 在 平 面 直 角 坐标 系 中, 过 y轴正 方 向上 一点 c ( o , c )任 作 一 直
线, 与抛 物线 Y= z 相交 于
A, B两点 , 一条 垂直 于 z轴
B |
、 J
Q
图3
因而点 P 的轨 迹 方 程 为 直线 簇 ( 1 —2 z+
2 p y)+ ( 2 p+ 2 p y一 2 x)一 0 .
特别地, 当P一去时, 点P的轨迹方程为直线
2 x 一 一 1 — 0.
的直线 , 分别 与线 段 A B 和
直线Z : =一c 相 交于 P, Q .
若将抛 物线 变 为 z 。: 2 p y ( p> O ) , 定 点
A( m, ) ( i r m≠O ) , 其 它条 件 不 变 , 又 可 以得 到 点 P的轨 迹方 程为直 线簇 ( m 一2 臌 +2 ) +( 2 p n +2 p y一 2 m x )= 0 . 如果 直线 簇 过点 A( m, ) , 则
抛 物线 的焦参数 P mz 特别地 , 当 P= 1,m
.
( 1 ) 若 . 茁 一2 , 求
f的值.
( 2 )若 P为线段 AB 的中点 , 求证: O A 为此抛
物线 的切线 .
=
( 3 )试 问( 2 ) 的 逆命题是 否成 立? 说 明理 由.
以上 几道 高考试 题 都涉 及 到抛 物线 的弦 与过
7 1 . =1 时, 点 P的轨迹 方程 为直线 2 z— 一 1= 0 . 从 上面 的探 究 过程 可 以看 出 , 将 问题 一 般 化
弦 的端 点 的两条 切 线 所 围成 的三 角 形 , 这个 三角 形 被称 为阿 基米 德 三 角 形 , 在 很 早 以前 阿 基 米 德
用 逼近 的思想 就证 明 了抛物 线 与 弦 围成 的封 闭 图
之后 , 其轨迹方 程仍 是直线 .
4 . 探 究 试 题 的 推 广
为 了方便 起 见 , 我们 仍 以抛物 线 z 。= 2 p y( p >0 )为例 , 并 约定 弦 A B 为 阿基 米德 三 角形 的底
边, M 为底边 的中点 .
形的面积等于阿基米德三角形面积的. 鲁 - . 此三角
形具有 很 多有 趣 的 性 质 , 上 述 考 题 都 是 某 些 性 质 的体 现. 围绕 该 三 角形 性 质 的考 题 今 后 还 可 能 出 现, 因而对 该 三 角 形 的 性 质 进 行进 一 步 的探 究 对
性质 l 阿基 米德 三 角形 底边 上 的 中线平 行 于抛 物线 的轴. 证 明 如 图 4 , 设 A( x , 3 , 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 因为 M 为底 边 AB 的中 点 , 所 以
M( , ) .
y J
于提 高学 生对 抛物线 几何 性 质 的认 识是 大 有裨 益
的, 可 以让他 们 在 探 究 问 题 的 过 程 中 去体 验 和欣
赏 数学 的美 .
3 .试 题 的 一 般 化 探 究
过 点 A 的 切 线 方 程 为
z 1 X= P ( Y +Y 1 ) 过 点 B的
|
B 0
将 抛 物线变 为 = 2 p y ( 户> O ) , 其 它条 件不 变, 亦 有类 似 的结论.
解 由题意 , 可 设 B( x , ) , Q( x Q , Y o ) ,
切 线 方 程 为 : z — P( y+
Y 2 ) ,又 {一 2 p y 1 , = 2 p y z , 可 求得 两 切线 的 交点
Q
图 4
M( xM, Y M) , P( x, ) .
因为直线 Q j 上 X轴 , 所以 X Q— M= X .
Q ( 半 , ) , 因 此
/ /z轴 .
又由 于 =
z + | = 【
, 葡 =. ; 【 , 因此有: -
兰 上 】
性质 1 就 是题 2 和题 3所考查 的 内容 . 题2 第
童 2 P +
( I)问 , 结论 显然成 立 , 对 于第 ( Ⅱ)向 , 由题 意 可
1+ 一
…
z Q 一雨
一 — —
Q 而
2
一 广
’ y M = : : —_ 『
’
兰 至 一叠
知 =2 , T X 1 . 2 7 . 2— 2 邶 一 = = =
+ 4 - ,  ̄ y( 1+
由z Q— M: X可 得 z 1 =z ( 1 + ) 一 , 将其
代入 M一
弩 一 2 洇 而
l A B I = 干 ?
=
i
塞
一 X 2 化 简 并 整 理
√ 1 +
一 4 ,
?
专论荟萃 ?
数 学 通 讯 —— 2 O 1 2年 第 3期 ( 上半月)
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解 得 P一 1 或 P一 2 , 从 而可 得抛 物线 方程 . 性质 2 若 阿基 米德 三
J ,
一
箜 ±箜 4 - > ! 兰 !
4 p 2。 / 一
’
+ 旦
2 。
4 p
角形 底边 弦 A B过 抛 物线 内
定 点 C, 则 另一 顶 点 Q 的轨 迹 为一 条直线 .
证 明 如 图 5 , 设 Q( z,
D
|
B
/
:
4 +
P 。2
所以 s △ A B Q一 寺 I Q M I . I . 2 7 2 一X l I
≥ l Q M 1 . ̄ / l 1 X 2 l ≥P 。 .
上述 结 论 反 映 了 与 抛 物 线 的 切 线 有 关 的 性 质, 安徽 省连 续 三 年 通 过 不 同 的 方 式 考 查 直 线 与
) , A( x l , 1 ) , B( xz , Y z ) ,
C ( x 0 , Y 0 ) , 由性 质 1 知, . 2 7 一
, 一
酱, 所以
,
图 5
圆锥 曲线 的切 线有关 的 问题 , 试 题 散 而不 乱 , 充 分
体 现 了稳 中求 变 , 变 中求 新 的新 课 程 理 念 , 试 题 背 景 深刻 , 使我 们真 正领 略到 “ 玉 题 犹在 , 靓 点 纷 呈” 的大好 形势 .
5 . 对 今后教 学 的启示
X X 2= 2 p y,因 为 A, B, C 三 点 共 线 ,所 以 有
叠 一生 叠 一
:
l—
Z2
Zl—
Xo
即
Z 1 ~
— :
Z 2
Zl—
ZO
, 整 理 后
将 z 1 z 2 =2 p y, 3 7 1 +z 2 —2 x代 入得 o z= P ( + Y 。 ) , 即为 Q 点 的轨迹 方程 , 它表 示一条 直 线.
高考试 题 的背 景 是 广 阔 的 , 既有 往 届 高 考 试 题背景, 也 有课本 习题背 景等 , 因此 我们 要 加 强对
性质 3 抛物 线 的 以定 点 C为 中点 的 弦平行
于点 Q 的轨 迹 .
高考 题 的探 究 , 对其进 行一 般 性 推 广 , 这对 于 拓展
我们 的解 题思路 和寻 找更 多 的解 题 方 法是 大 有裨
易求 得 以点 c为 中 点 的 弦 的斜 率 为 , 因此
P
益的, 所 以应大 力提倡 对高 考试题 的研究 . 笔者认为 , 一道 高考试题 的价 值并 不在 于它 的
精妙 , 而在 于它的检测功能 , 更在 于它的导 向作用.
与 点 Q 的轨迹 平行 .
性质 4 若直 线 z 与 抛物线 无公 共点 , 以z 上 的点为顶 点 的阿基 米德 三角 形 的底边 过定 点.
证 明 如 图 5 , 设直线 1 的方程 为 口 +b y+f
= 0 , 设 A( x 1 , y ) , B( x 2 , Y 2 ) , C ( x 。 , Y 。 ) ,由 于 弦
每一 年高 考结 束 , 总 能 听到不 少 师生 感慨 : 高
三 教师做 了那 么 多 的 工 作 , 学 生 做 了 那 么 多 的 习
题, 可是效 果 并 不 明显. 作 为一 线 教 师 , 的 确 需要 反恩, 反 思 我 们 教 给 了 学 生 什 么? 学 生 学 会 了 什 么? 能 否找到一 个让 教师 教起 来 轻 松 、 学 生学 起来
A B过 点 C, 由性质 2知 , 点 Q的轨 迹方 程为 z 。 X—
P ( Y+ Y 。 ) , 该方 程与 a x+b y+ C 一 0表示 同一 条
愉 快的 复习方 法 ? 面对 漫 天 飞舞 的 复 习资 料 , 这个 秘笈、 那 个宝典 , 教 师和学 生该 如何选 择 ?
直 线, 于 是有: z 。 一 一譬, Y 。 一÷, 即弦A B 过 定点
c, c ,
C ( -譬 , 导) .
性质 5 若 阿基米 德三
Y J
笔 者 以为 , 抓 纲 务本 才是 真 ! 纲 即课 程标 准 和
考 试说 明 ; 本 就 是 课 本. 首先 , 教 师 要 自己认 真 钻
研 教材 , 充分 发挥课 本 中例 习题 的示 范性 、 典 型 性
角形 的底 边 过 焦 点 , 则 顶 点 Q 的轨 迹 方 程 为 准线 , 且 阿 基 米 德 三 角 形 的 面 积 的 最 小值为 P 。 . 证明 如 图 6 , 由性 质 2 , 若 底边 过焦点 , 则 Y 。一
, 2  ̄ 7 0— 0 , 点 Q的轨迹方 程
Q
图6
D
/
及 探究性 功能 . 其次 , 教 师要 引 导学 生 重 视课 本 中
的题 目, 使其 牢 固掌握基 础 知识 . 在实 际 教学 中仍
有 不少 教师尤 其是 年轻 教 师对课 本 上 的题 目根 本 就 不屑一 顾 , 片面地 追求 “ 新、 活、 难” , 结果 使 得 一
i
批 学生 对数 学产 生 了畏 难 情 绪 , 渐 渐 地 对 数 学 失 去 兴趣 与信 心. 这 就警示 我 们要 以教 材 为本 , 在 复
习中一定 要 回归 教 材. 尽 管 我 们 无 力 改 变 现 行 的
考 试制 度 , 但是, 我 们可 以改变 我们 的课 堂 教学 模
因为课本 才是我 们 的教学 之本. 为 3 , 一 一 号 , 就 是 准 线 ; 易 证 忌 Q A ? 是 Q 8 = 一 l ,  ̄ i f l A ) Q A 式! 上Q B, 故 阿基 米德三角形 为直角三角形 , 于是有
( 收稿 日期 : 2 0 1 1 一O 9 —1 2 )
1 Q M l 一
+ 号