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对一道2011年高考圆锥曲线问题的探究

时间:2015-09-21


?

专论荟 萃 ?  

数学通讯 —— 2 O 1 2年 第 3期 ( 上 半月)  

4 5  

对一道 2   0   1   1 年高考 圆锥曲线 问题的探究 
刘瑞美  
( 安徽省五河县第二中学 , 2 3 3 3 0 0 )  

2 0 1

1 年 安徽 省高 考数 学理 科试 题第 2 1 题对考  生探究 问题 的意识和综合数学素养具有 一定的要求 ,  
是一道 很好 的探究题材 , 现将探究过程呈现如下.  
1 .问题呈 现及解 答 

不偏 不怪 , 在考 查 这 些 主干 知识 的 同时 , 将 其 与平 
面向量 的概 念 、 运算及 性 质和点 的轨迹 方程 等综 合  在一 起 , 要求 考生运算 准 确 , 思 路清 晰. 把 它放 在考  卷的最后一 题 , 是一 道考查考生数学潜能 的靓题.   2 .试题 的背 景 

题1   如图 1 , 设 > 0 , 点 A 的坐标 为 ( 1 , 1 ) ,  

点 B在 抛物 线 Y = X 。 上运动 , 点 Q满 足B Q:J = 【  


本 题 有 着 深 刻 的知 识 背 景 , 首 先 它 是 有 向线  段 的定 比分点 坐 标 公 式 的一 个 具 体 应 用 . 由于 在 
新课 标教 材 中没 有 单 独 学 习定 比分 点 坐 标 公 式 ,  

经过 Q点 与 轴垂 直 的直线 交抛 物线 于点 M ,   分析  本 题 主要 考 查 

点 P满足蕊 一  j 沛 , 求点 P的轨迹方程.  
J   I  

所 以命题 老 师 把 它 作 为 公 式 的应 用 , 让 考 生 在 探  究 问题 的过程 中 去 体 验 和 推 导这 个 公 式 , 并 让 此 
公 式在解 题 过程 中得 到升 华. 其次, 本题 又 是 共线  向量 基本 定理 的一 个 具 体应 用 , 利 用 共 线 向量 的 

直线 和抛 物 线 方 程 , 平 面 向  量 的概念 、 性 质及 运算 , 动 点  轨 迹方 程 等 基 本 知 识 , 考 查 
灵 活运 用所 学知识 探究 问题  和解 决 问题 的 能力 , 全 面 考 
O  P 
、 \  

Q   / 

坐标 运算 , 将 几 何 问 题 代 数化 , 以数 助 形 , 数形 结 
合, 相得 益彰 , 彰 显解 析几 何 的魅 力. 再者 , 探究 抛  物线 在 一点 处 的 切 线 , 将 求 曲线 的 切线 问题 综 合  在 圆锥 曲线 之 中 , 彰 显 新课 程 高考 对 考 生数 学 学 
习能力 和思 维 品质考 查的 力度.  

查考生 的数学综合素养 .   解  由 题 意 , 可 设 

图1  

B( x l , X } ) , Q( z Q , Y Q ) , M( x M, Y M ) , P( x,  ) .   因为直线 Q M 上 z轴 , 所 以  o— z M= X .  

另外 , 本题 还 可 以看 成是 由 2 O O 8年 山东 高考  理 科第 2 2 题和 2 0 0 7年江 苏高考 卷理科第 1 9 题 演 
变 而来 的.  

又由于A的坐标为( 1 , 1 ) , 蔚 一  
-P, M 因此有:  
X1 +  + 

,   一  

题 2 ( 2 O O 8年 山 东 理 

: = = 莆


’ Y Q 一雨

’  

Y  J   I  

第2 2题 )如 图 2 , 设 抛 物 线 
方 程为 X  一 2 p y( p> O ) M 

y M   一 巫 二 —丁 一 —— 二 二 竺: 箜±     ±   ±  :  
由z Q= M— X可得 z1 =x ( t + ) 一 , 将 其 

z } +   . 、  

为直 线 Y 一一 2 户上 任 意 一 

点, 过 M 引 抛 物线 的切 线 ,  
切 点分 别 为 A, B.  
( I) 求 证 : A, M, B 三 
\   I / Y  
M 



 

:2 J D  

代 入  = 堑  ≠  
直线 2 x— Y一 1— 0 .  

一 z 2 , 化 简 整 理 得  
.  

(  + 1 ) ( 1 —2 z + )一 0 , 因为 > 0 , 所 以 + 1 ≠  0 , 因而 有 1 —2 z+Y一 0 , 所 以点 P 的轨迹 方程 为 

点 的横 坐标 成等 差数 列 ;  
( I D 已知 当 M 点 的坐标 

图2  

为( 2 , 一2 p ) 时, l   A B   l 一4   而, 求 此时抛物线 的  
方程 ;   -  

容 易知 道 , 此 直线恰 为抛 物线 在 点 A( 1 , 1 )处 
的切线 . 实 际上 , 过 P 点有 两 条 切 线 , 这 两 条 切 线 

( I l I ) 是否存在点 M, 使得点 C关于直线 A B的对 
称 点 D在抛物线 x 2 —2 p y ( p >O ) 上, 其中 , 点 C满足 
一  

与 弦 的两端 点可 以 围成一个 三角 形.   评 析  本题考查直线 与 圆锥 曲线位 置关 系 问  题, 这 是 考试 说 明和考 试大 纲 中 的基 本要 求 , 试题 

+  ( O为坐标原点) . 若存在 , 求出所有适 

合题意 的点 M 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理 由.  

4 6  

数 学通 讯 — — 2 O 1 2年 第 3期 ( 上半月)  

?专 论 荟 萃 ?  

将题 2 条件 中的平行 于 X轴 的直线 , 改编 为平  行 于 Y轴 的直 线 , 将 结论 稍加 变化 , 即得 到题 1 .   题 3( 2 0 0 7年 江苏卷 理 
J ,J  

得 。 ( 1 —2 x+ 2 p y) +2 ( 2 p+ 2 p y一 2 x )一 0 .  

因为 . = 【 > 0 , 所 以有 2 ( 1 —2 x+ 2 p y ) +( 2 p+ 
2 p y一 2 x )= 0 .  

1 9题 )如 图 3 , 在 平 面 直 角  坐标 系  中, 过 y轴正 方  向上 一点 c ( o , c )任 作 一 直 
线, 与抛 物线 Y= z   相交 于 
A, B两点 , 一条 垂直 于 z轴 

B   |  
、   J  
Q  
图3  

因而点 P 的轨 迹 方 程 为 直线 簇 ( 1 —2 z+ 
2 p y)+ ( 2 p+ 2 p y一 2 x)一 0 .  

特别地, 当P一去时, 点P的轨迹方程为直线 
2 x 一   一 1 — 0.  

的直线 , 分别 与线 段 A B 和 
直线Z :  =一c 相 交于 P, Q .  

若将抛 物线 变 为 z 。: 2 p y ( p> O ) , 定 点 

A( m,  ) ( i r m≠O ) , 其 它条 件 不 变 , 又 可 以得 到 点  P的轨 迹方 程为直 线簇 ( m   一2 臌 +2   ) +( 2 p n   +2 p y一 2 m x )= 0 . 如果 直线 簇 过点 A( m,   ) , 则 
抛 物线 的焦参数 P   mz 特别地 , 当 P=  1,m


( 1 ) 若  . 茁 一2 , 求 
f的值.  

( 2 )若 P为线段 AB 的中点 , 求证: O A 为此抛 
物线 的切线 .  

=  

( 3 )试 问( 2 ) 的 逆命题是 否成 立? 说 明理 由.  
以上 几道 高考试 题 都涉 及 到抛 物线 的弦 与过 

7 1 . =1 时, 点 P的轨迹 方程 为直线 2 z—  一 1= 0 .   从 上面 的探 究 过程 可 以看 出 , 将 问题 一 般 化 

弦 的端 点 的两条 切 线 所 围成 的三 角 形 , 这个 三角  形 被称 为阿 基米 德 三 角 形 , 在 很 早 以前 阿 基 米 德 
用 逼近 的思想 就证 明 了抛物 线 与 弦 围成 的封 闭 图 

之后 , 其轨迹方 程仍 是直线 .  
4 . 探 究 试 题 的 推 广 

为 了方便 起 见 , 我们 仍 以抛物 线 z 。= 2 p y( p   >0 )为例 , 并 约定 弦 A B 为 阿基 米德 三 角形 的底 
边, M 为底边 的中点 .  

形的面积等于阿基米德三角形面积的. 鲁 - . 此三角  
形具有 很 多有 趣 的 性 质 , 上 述 考 题 都 是 某 些 性 质  的体 现. 围绕 该 三 角形 性 质 的考 题 今 后 还 可 能 出   现, 因而对 该 三 角 形 的 性 质 进 行进 一 步 的探 究 对 

性质 l   阿基 米德 三 角形 底边 上 的 中线平 行  于抛 物线 的轴.   证 明  如 图 4 , 设 A( x   , 3 , 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 因为  M 为底 边 AB 的中 点 , 所 以 
M(   ,   ) .  
y  J  

于提 高学 生对 抛物线 几何 性 质 的认 识是 大 有裨 益 
的, 可 以让他 们 在 探 究 问 题 的 过 程 中 去体 验 和欣 
赏 数学 的美 .  
3 .试 题 的 一 般 化 探 究 

过 点 A 的 切 线 方 程 为 
z 1 X= P ( Y +Y 1 )   过 点 B的 

|  
B  0 

将 抛 物线变 为  = 2 p y ( 户> O ) , 其 它条 件不  变, 亦 有类 似 的结论.  
解  由题意 , 可 设 B( x   ,   ) , Q( x Q , Y o ) ,  

切 线 方 程 为  : z — P( y+ 
Y 2 ) ,又  {一 2 p y 1 ,   =  2 p y   z , 可 求得 两 切线 的 交点 

Q  
图 4  

M( xM, Y M) , P( x,  ) .  

因为直线 Q j   上 X轴 , 所以 X Q—   M= X .  

Q ( 半 ,  ) , 因 此  
/ /z轴 .  

又由 于   =  
z  + | = 【  

, 葡 =. ; 【   , 因此有: -  
兰  上 】  

性质 1 就 是题 2 和题 3所考查 的 内容 . 题2 第 

童 2 P + 

( I)问 , 结论 显然成 立 , 对 于第 ( Ⅱ)向 , 由题 意 可 
1+  一 

…  

z Q 一雨
一 — —  

 Q  而
2  
一  广

’ y M = : : —_ 『  
’  

兰 至 一叠 
知  =2 , T X 1 . 2 7 . 2— 2   邶 一   = = =  

+  4 - ,  ̄ y( 1+ 

由z Q—  M: X可 得 z 1 =z ( 1 + ) 一  , 将其 
代入 M一

弩 一   2 洇 而  
l A B   I =   干  ?  


i 

塞  

一   X 2   化 简 并 整 理  

√ 1 +  

一 4  ,  

?

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数 学 通 讯 —— 2 O 1 2年 第 3期 ( 上半月)  

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解 得 P一 1 或 P一 2 , 从 而可 得抛 物线 方程 .   性质 2 若 阿基 米德 三 
J ,  



箜 ±箜 4 -   >  ! 兰 !  
4 p   2。 /   一 
’  

+ 旦 
 2 。  

4 p  

角形 底边 弦 A B过 抛 物线 内 
定 点 C, 则 另一 顶 点 Q 的轨  迹 为一 条直线 .  
证 明  如 图 5 , 设 Q( z,  
D 

|  
B 
/  



 

4   + 

P 。2  

所以 s △ A B Q一 寺 I   Q M  I . I . 2 7 2 一X l   I  
≥ l   Q M  1 . ̄ / l  1 X 2   l ≥P 。 .  
上述 结 论 反 映 了 与 抛 物 线 的 切 线 有 关 的 性  质, 安徽 省连 续 三 年 通 过 不 同 的 方 式 考 查 直 线 与 

) , A( x l ,  1 ) , B( xz , Y z ) ,  

C ( x 0 , Y 0 ) , 由性 质 1 知, . 2 7 一 
,   一

酱, 所以  


图 5  

圆锥 曲线 的切 线有关 的 问题 , 试 题 散 而不 乱 , 充 分 
体 现 了稳 中求 变 , 变 中求 新 的新 课 程 理 念 , 试 题 背  景 深刻 , 使我 们真 正领 略到 “ 玉 题 犹在 , 靓 点 纷 呈”   的大好 形势 .  
5 . 对 今后教 学 的启示 

X   X 2= 2 p y,因 为 A, B, C 三 点 共 线 ,所 以 有 

叠 一生  叠 一  
:  

l—

Z2  

Zl—

Xo  

即 

Z 1 ~

—  :  
Z 2  

Zl—

ZO  

, 整 理 后 

将 z 1 z 2 =2 p y, 3 7 1 +z 2 —2 x代 入得 o z= P (  +  Y 。 ) , 即为 Q 点 的轨迹 方程 , 它表 示一条 直 线.  

高考试 题 的背 景 是 广 阔 的 , 既有 往 届 高 考 试  题背景, 也 有课本 习题背 景等 , 因此 我们 要 加 强对 

性质 3   抛物 线 的 以定 点 C为 中点 的 弦平行 
于点 Q 的轨 迹 .  

高考 题 的探 究 , 对其进 行一 般 性 推 广 , 这对 于 拓展 
我们 的解 题思路 和寻 找更 多 的解 题 方 法是 大 有裨 

易求 得 以点 c为 中 点 的 弦 的斜 率 为  , 因此 
P 

益的, 所 以应大 力提倡 对高 考试题 的研究 .   笔者认为 , 一道 高考试题 的价 值并 不在 于它 的 
精妙 , 而在 于它的检测功能 , 更在 于它的导 向作用.  

与 点 Q 的轨迹 平行 .  

性质 4   若直 线 z 与 抛物线 无公 共点 , 以z 上  的点为顶 点 的阿基 米德 三角 形 的底边 过定 点.  
证 明  如 图 5 , 设直线 1 的方程 为 口  +b y+f  
= 0 , 设 A( x 1 , y   ) , B( x 2 , Y 2 ) , C ( x 。 , Y 。 ) ,由 于 弦 

每一 年高 考结 束 , 总 能 听到不 少 师生 感慨 : 高 
三 教师做 了那 么 多 的 工 作 , 学 生 做 了 那 么 多 的 习 
题, 可是效 果 并 不 明显. 作 为一 线 教 师 , 的 确 需要  反恩, 反 思 我 们 教 给 了 学 生 什 么? 学 生 学 会 了 什  么? 能 否找到一 个让 教师 教起 来 轻 松 、 学 生学 起来 

A B过 点 C, 由性质 2知 , 点 Q的轨 迹方 程为 z 。 X— 
P ( Y+ Y 。 ) , 该方 程与 a x+b y+ C 一 0表示 同一 条 

愉 快的 复习方 法 ? 面对 漫 天 飞舞 的 复 习资 料 , 这个  秘笈、 那 个宝典 , 教 师和学 生该 如何选 择 ?  

直 线, 于 是有: z 。 一 一譬, Y 。 一÷, 即弦A B 过 定点  
c,   c ,  

C ( -譬 , 导) .  
性质 5   若 阿基米 德三 
Y  J  

笔 者 以为 , 抓 纲 务本 才是 真 ! 纲 即课 程标 准 和 
考 试说 明 ; 本 就 是 课 本. 首先 , 教 师 要 自己认 真 钻 

研 教材 , 充分 发挥课 本 中例 习题 的示 范性 、 典 型 性 

角形 的底 边 过 焦 点 , 则 顶 点  Q 的轨 迹 方 程 为 准线 , 且 阿  基 米 德 三 角 形 的 面 积 的 最  小值为 P 。 .   证明  如 图 6 , 由性 质  2 , 若 底边 过焦点 , 则 Y 。一 
, 2  ̄ 7 0— 0 , 点 Q的轨迹方 程 
Q  
图6  
D 

/  

及 探究性 功能 . 其次 , 教 师要 引 导学 生 重 视课 本 中 

的题 目, 使其 牢 固掌握基 础 知识 . 在实 际 教学 中仍 
有 不少 教师尤 其是 年轻 教 师对课 本 上 的题 目根 本  就 不屑一 顾 , 片面地 追求 “ 新、 活、 难” , 结果 使 得 一 
i  

批 学生 对数 学产 生 了畏 难 情 绪 , 渐 渐 地 对 数 学 失  去 兴趣 与信 心. 这 就警示 我 们要 以教 材 为本 , 在 复 
习中一定 要 回归 教 材. 尽 管 我 们 无 力 改 变 现 行 的 

考 试制 度 , 但是, 我 们可 以改变 我们 的课 堂 教学 模 

因为课本 才是我 们 的教学 之本.   为 3 , 一 一 号 , 就 是 准 线 ; 易 证 忌 Q A ? 是 Q 8 = 一 l ,  ̄ i f l A ) Q A   式! 上Q B, 故 阿基 米德三角形 为直角三角形 , 于是有 
( 收稿 日期 : 2 0 1 1 一O 9 —1 2 )  

1   Q M   l 一  

+ 号  


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