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专论荟 萃 ?
数学通讯 —— ２ Ｏ １ ２年 第 ３期 （ 上 半月）
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对一道 ２ ０ １ １ 年高考 圆锥曲线 问题的探究
刘瑞美
（ 安徽省五河县第二中学 ， ２ ３ ３ ３ ０ ０ ）
２ ０ １ １ 年 安徽 省高 考数 学理 科试 题第 ２ １ 题对考 生探究 问题 的意识和综合数学素养具有 一定的要求 ，
是一道 很好 的探究题材 ， 现将探究过程呈现如下．
１ ．问题呈 现及解 答
不偏 不怪 ， 在考 查 这 些 主干 知识 的 同时 ， 将 其 与平
面向量 的概 念 、 运算及 性 质和点 的轨迹 方程 等综 合 在一 起 ， 要求 考生运算 准 确 ， 思 路清 晰． 把 它放 在考 卷的最后一 题 ， 是一 道考查考生数学潜能 的靓题． ２ ．试题 的背 景
题１ 如图 １ ， 设 ＞ ０ ， 点 Ａ 的坐标 为 （ １ ， １ ） ，
点 Ｂ在 抛物 线 Ｙ ＝ Ｘ 。 上运动 ， 点 Ｑ满 足Ｂ Ｑ：Ｊ ＝ 【
，
本 题 有 着 深 刻 的知 识 背 景 ， 首 先 它 是 有 向线 段 的定 比分点 坐 标 公 式 的一 个 具 体 应 用 ． 由于 在
新课 标教 材 中没 有 单 独 学 习定 比分 点 坐 标 公 式 ，
经过 Ｑ点 与 轴垂 直 的直线 交抛 物线 于点 Ｍ ， 分析 本 题 主要 考 查
点 Ｐ满足蕊 一 ｊ 沛 ， 求点 Ｐ的轨迹方程．
Ｊ Ｉ
所 以命题 老 师 把 它 作 为 公 式 的应 用 ， 让 考 生 在 探 究 问题 的过程 中 去 体 验 和 推 导这 个 公 式 ， 并 让 此
公 式在解 题 过程 中得 到升 华． 其次， 本题 又 是 共线 向量 基本 定理 的一 个 具 体应 用 ， 利 用 共 线 向量 的
直线 和抛 物 线 方 程 ， 平 面 向 量 的概念 、 性 质及 运算 ， 动 点 轨 迹方 程 等 基 本 知 识 ， 考 查
灵 活运 用所 学知识 探究 问题 和解 决 问题 的 能力 ， 全 面 考
Ｏ Ｐ
、 ＼
Ｑ ／
坐标 运算 ， 将 几 何 问 题 代 数化 ， 以数 助 形 ， 数形 结
合， 相得 益彰 ， 彰 显解 析几 何 的魅 力． 再者 ， 探究 抛 物线 在 一点 处 的 切 线 ， 将 求 曲线 的 切线 问题 综 合 在 圆锥 曲线 之 中 ， 彰 显 新课 程 高考 对 考 生数 学 学
习能力 和思 维 品质考 查的 力度．
查考生 的数学综合素养 ． 解 由 题 意 ， 可 设
图１
Ｂ（ ｘ ｌ ， Ｘ ｝ ） ， Ｑ（ ｚ Ｑ ， Ｙ Ｑ ） ， Ｍ（ ｘ Ｍ， Ｙ Ｍ ） ， Ｐ（ ｘ， ） ． 因为直线 Ｑ Ｍ 上 ｚ轴 ， 所 以 ｏ— ｚ Ｍ＝ Ｘ ．
另外 ， 本题 还 可 以看 成是 由 ２ Ｏ Ｏ ８年 山东 高考 理 科第 ２ ２ 题和 ２ ０ ０ ７年江 苏高考 卷理科第 １ ９ 题 演
变 而来 的．
又由于Ａ的坐标为（ １ ， １ ） ， 蔚 一
－Ｐ， Ｍ 因此有：
Ｘ１ ＋ ＋
， 一
题 ２ （ ２ Ｏ Ｏ ８年 山 东 理
： ＝ ＝ 莆
一
’ Ｙ Ｑ 一雨
’
Ｙ Ｊ Ｉ
第２ ２题 ）如 图 ２ ， 设 抛 物 线
方 程为 Ｘ 一 ２ ｐ ｙ（ ｐ＞ Ｏ ） Ｍ
ｙ Ｍ 一 巫 二 —丁 一 —— 二 二 竺： 箜± ± ± ：
由ｚ Ｑ＝ Ｍ— Ｘ可得 ｚ１ ＝ｘ （ ｔ ＋ ） 一 ， 将 其
ｚ ｝ ＋ ． 、
为直 线 Ｙ 一一 ２ 户上 任 意 一
点， 过 Ｍ 引 抛 物线 的切 线 ，
切 点分 别 为 Ａ， Ｂ．
（ Ｉ） 求 证 ： Ａ， Ｍ， Ｂ 三
＼ Ｉ ／ Ｙ
Ｍ
～
：２ Ｊ Ｄ
代 入 ＝ 堑 ≠
直线 ２ ｘ— Ｙ一 １— ０ ．
一 ｚ ２ ， 化 简 整 理 得
．
（ ＋ １ ） （ １ —２ ｚ ＋ ）一 ０ ， 因为 ＞ ０ ， 所 以 ＋ １ ≠ ０ ， 因而 有 １ —２ ｚ＋Ｙ一 ０ ， 所 以点 Ｐ 的轨迹 方程 为
点 的横 坐标 成等 差数 列 ；
（ Ｉ Ｄ 已知 当 Ｍ 点 的坐标
图２
为（ ２ ， 一２ ｐ ） 时， ｌ Ａ Ｂ ｌ 一４ 而， 求 此时抛物线 的
方程 ； －
容 易知 道 ， 此 直线恰 为抛 物线 在 点 Ａ（ １ ， １ ）处
的切线 ． 实 际上 ， 过 Ｐ 点有 两 条 切 线 ， 这 两 条 切 线
（ Ｉ ｌ Ｉ ） 是否存在点 Ｍ， 使得点 Ｃ关于直线 Ａ Ｂ的对
称 点 Ｄ在抛物线 ｘ ２ —２ ｐ ｙ （ ｐ ＞Ｏ ） 上， 其中 ， 点 Ｃ满足
一
与 弦 的两端 点可 以 围成一个 三角 形． 评 析 本题考查直线 与 圆锥 曲线位 置关 系 问 题， 这 是 考试 说 明和考 试大 纲 中 的基 本要 求 ， 试题
＋ （ Ｏ为坐标原点） ． 若存在 ， 求出所有适
合题意 的点 Ｍ 的坐标 ； 若不存在 ， 请说明理 由．
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数 学通 讯 — — ２ Ｏ １ ２年 第 ３期 （ 上半月）
?专 论 荟 萃 ?
将题 ２ 条件 中的平行 于 Ｘ轴 的直线 ， 改编 为平 行 于 Ｙ轴 的直 线 ， 将 结论 稍加 变化 ， 即得 到题 １ ． 题 ３（ ２ ０ ０ ７年 江苏卷 理
Ｊ ，Ｊ
得 。 （ １ —２ ｘ＋ ２ ｐ ｙ） ＋２ （ ２ ｐ＋ ２ ｐ ｙ一 ２ ｘ ）一 ０ ．
因为 ． ＝ 【 ＞ ０ ， 所 以有 ２ （ １ —２ ｘ＋ ２ ｐ ｙ ） ＋（ ２ ｐ＋
２ ｐ ｙ一 ２ ｘ ）＝ ０ ．
１ ９题 ）如 图 ３ ， 在 平 面 直 角 坐标 系 中， 过 ｙ轴正 方 向上 一点 ｃ （ ｏ ， ｃ ）任 作 一 直
线， 与抛 物线 Ｙ＝ ｚ 相交 于
Ａ， Ｂ两点 ， 一条 垂直 于 ｚ轴
Ｂ ｜
、 Ｊ
Ｑ
图３
因而点 Ｐ 的轨 迹 方 程 为 直线 簇 （ １ —２ ｚ＋
２ ｐ ｙ）＋ （ ２ ｐ＋ ２ ｐ ｙ一 ２ ｘ）一 ０ ．
特别地， 当Ｐ一去时， 点Ｐ的轨迹方程为直线
２ ｘ 一 一 １ — ０．
的直线 ， 分别 与线 段 Ａ Ｂ 和
直线Ｚ ： ＝一ｃ 相 交于 Ｐ， Ｑ ．
若将抛 物线 变 为 ｚ 。： ２ ｐ ｙ （ ｐ＞ Ｏ ） ， 定 点
Ａ（ ｍ， ） （ ｉ ｒ ｍ≠Ｏ ） ， 其 它条 件 不 变 ， 又 可 以得 到 点 Ｐ的轨 迹方 程为直 线簇 （ ｍ 一２ 臌 ＋２ ） ＋（ ２ ｐ ｎ ＋２ ｐ ｙ一 ２ ｍ ｘ ）＝ ０ ． 如果 直线 簇 过点 Ａ（ ｍ， ） ， 则
抛 物线 的焦参数 Ｐ ｍｚ 特别地 ， 当 Ｐ＝ １，ｍ
．
（ １ ） 若 ． 茁 一２ ， 求
ｆ的值．
（ ２ ）若 Ｐ为线段 ＡＢ 的中点 ， 求证： Ｏ Ａ 为此抛
物线 的切线 ．
＝
（ ３ ）试 问（ ２ ） 的 逆命题是 否成 立？ 说 明理 由．
以上 几道 高考试 题 都涉 及 到抛 物线 的弦 与过
７ １ ． ＝１ 时， 点 Ｐ的轨迹 方程 为直线 ２ ｚ— 一 １＝ ０ ． 从 上面 的探 究 过程 可 以看 出 ， 将 问题 一 般 化
弦 的端 点 的两条 切 线 所 围成 的三 角 形 ， 这个 三角 形 被称 为阿 基米 德 三 角 形 ， 在 很 早 以前 阿 基 米 德
用 逼近 的思想 就证 明 了抛物 线 与 弦 围成 的封 闭 图
之后 ， 其轨迹方 程仍 是直线 ．
４ ． 探 究 试 题 的 推 广
为 了方便 起 见 ， 我们 仍 以抛物 线 ｚ 。＝ ２ ｐ ｙ（ ｐ ＞０ ）为例 ， 并 约定 弦 Ａ Ｂ 为 阿基 米德 三 角形 的底
边， Ｍ 为底边 的中点 ．
形的面积等于阿基米德三角形面积的． 鲁 － ． 此三角
形具有 很 多有 趣 的 性 质 ， 上 述 考 题 都 是 某 些 性 质 的体 现． 围绕 该 三 角形 性 质 的考 题 今 后 还 可 能 出 现， 因而对 该 三 角 形 的 性 质 进 行进 一 步 的探 究 对
性质 ｌ 阿基 米德 三 角形 底边 上 的 中线平 行 于抛 物线 的轴． 证 明 如 图 ４ ， 设 Ａ（ ｘ ， ３ ， １ ） ， Ｂ（ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） ， 因为 Ｍ 为底 边 ＡＢ 的中 点 ， 所 以
Ｍ（ ， ） ．
ｙ Ｊ
于提 高学 生对 抛物线 几何 性 质 的认 识是 大 有裨 益
的， 可 以让他 们 在 探 究 问 题 的 过 程 中 去体 验 和欣
赏 数学 的美 ．
３ ．试 题 的 一 般 化 探 究
过 点 Ａ 的 切 线 方 程 为
ｚ １ Ｘ＝ Ｐ （ Ｙ ＋Ｙ １ ） 过 点 Ｂ的
｜
Ｂ ０
将 抛 物线变 为 ＝ ２ ｐ ｙ （ 户＞ Ｏ ） ， 其 它条 件不 变， 亦 有类 似 的结论．
解 由题意 ， 可 设 Ｂ（ ｘ ， ） ， Ｑ（ ｘ Ｑ ， Ｙ ｏ ） ，
切 线 方 程 为 ： ｚ — Ｐ（ ｙ＋
Ｙ ２ ） ，又 ｛一 ２ ｐ ｙ １ ， ＝ ２ ｐ ｙ ｚ ， 可 求得 两 切线 的 交点
Ｑ
图 ４
Ｍ（ ｘＭ， Ｙ Ｍ） ， Ｐ（ ｘ， ） ．
因为直线 Ｑ ｊ 上 Ｘ轴 ， 所以 Ｘ Ｑ— Ｍ＝ Ｘ ．
Ｑ （ 半 ， ） ， 因 此
／ ／ｚ轴 ．
又由 于 ＝
ｚ ＋ ｜ ＝ 【
， 葡 ＝． ； 【 ， 因此有： －
兰 上 】
性质 １ 就 是题 ２ 和题 ３所考查 的 内容 ． 题２ 第
童 ２ Ｐ ＋
（ Ｉ）问 ， 结论 显然成 立 ， 对 于第 （ Ⅱ）向 ， 由题 意 可
１＋ 一
…
ｚ Ｑ 一雨
一 — —
Ｑ 而
２
一 广
’ ｙ Ｍ ＝ ： ： —＿ 『
’
兰 至 一叠
知 ＝２ ， Ｔ Ｘ １ ． ２ ７ ． ２— ２ 邶 一 ＝ ＝ ＝
＋ ４ － ， ￣ ｙ（ １＋
由ｚ Ｑ— Ｍ： Ｘ可 得 ｚ １ ＝ｚ （ １ ＋ ） 一 ， 将其
代入 Ｍ一
弩 一 ２ 洇 而
ｌ Ａ Ｂ Ｉ ＝ 干 ?
＝
ｉ
塞
一 Ｘ ２ 化 简 并 整 理
√ １ ＋
一 ４ ，
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专论荟萃 ?
数 学 通 讯 —— ２ Ｏ １ ２年 第 ３期 （ 上半月）
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解 得 Ｐ一 １ 或 Ｐ一 ２ ， 从 而可 得抛 物线 方程 ． 性质 ２ 若 阿基 米德 三
Ｊ ，
一
箜 ±箜 ４ － ＞ ！ 兰 ！
４ ｐ ２。 ／ 一
’
＋ 旦
２ 。
４ ｐ
角形 底边 弦 Ａ Ｂ过 抛 物线 内
定 点 Ｃ， 则 另一 顶 点 Ｑ 的轨 迹 为一 条直线 ．
证 明 如 图 ５ ， 设 Ｑ（ ｚ，
Ｄ
｜
Ｂ
／
：
４ ＋
Ｐ 。２
所以 ｓ △ Ａ Ｂ Ｑ一 寺 Ｉ Ｑ Ｍ Ｉ ． Ｉ ． ２ ７ ２ 一Ｘ ｌ Ｉ
≥ ｌ Ｑ Ｍ １ ．￣ ／ ｌ １ Ｘ ２ ｌ ≥Ｐ 。 ．
上述 结 论 反 映 了 与 抛 物 线 的 切 线 有 关 的 性 质， 安徽 省连 续 三 年 通 过 不 同 的 方 式 考 查 直 线 与
） ， Ａ（ ｘ ｌ ， １ ） ， Ｂ（ ｘｚ ， Ｙ ｚ ） ，
Ｃ （ ｘ ０ ， Ｙ ０ ） ， 由性 质 １ 知， ． ２ ７ 一
， 一
酱， 所以
，
图 ５
圆锥 曲线 的切 线有关 的 问题 ， 试 题 散 而不 乱 ， 充 分
体 现 了稳 中求 变 ， 变 中求 新 的新 课 程 理 念 ， 试 题 背 景 深刻 ， 使我 们真 正领 略到 “ 玉 题 犹在 ， 靓 点 纷 呈” 的大好 形势 ．
５ ． 对 今后教 学 的启示
Ｘ Ｘ ２＝ ２ ｐ ｙ，因 为 Ａ， Ｂ， Ｃ 三 点 共 线 ，所 以 有
叠 一生 叠 一
：
ｌ—
Ｚ２
Ｚｌ—
Ｘｏ
即
Ｚ １ ～
— ：
Ｚ ２
Ｚｌ—
ＺＯ
， 整 理 后
将 ｚ １ ｚ ２ ＝２ ｐ ｙ， ３ ７ １ ＋ｚ ２ —２ ｘ代 入得 ｏ ｚ＝ Ｐ （ ＋ Ｙ 。 ） ， 即为 Ｑ 点 的轨迹 方程 ， 它表 示一条 直 线．
高考试 题 的背 景 是 广 阔 的 ， 既有 往 届 高 考 试 题背景， 也 有课本 习题背 景等 ， 因此 我们 要 加 强对
性质 ３ 抛物 线 的 以定 点 Ｃ为 中点 的 弦平行
于点 Ｑ 的轨 迹 ．
高考 题 的探 究 ， 对其进 行一 般 性 推 广 ， 这对 于 拓展
我们 的解 题思路 和寻 找更 多 的解 题 方 法是 大 有裨
易求 得 以点 ｃ为 中 点 的 弦 的斜 率 为 ， 因此
Ｐ
益的， 所 以应大 力提倡 对高 考试题 的研究 ． 笔者认为 ， 一道 高考试题 的价 值并 不在 于它 的
精妙 ， 而在 于它的检测功能 ， 更在 于它的导 向作用．
与 点 Ｑ 的轨迹 平行 ．
性质 ４ 若直 线 ｚ 与 抛物线 无公 共点 ， 以ｚ 上 的点为顶 点 的阿基 米德 三角 形 的底边 过定 点．
证 明 如 图 ５ ， 设直线 １ 的方程 为 口 ＋ｂ ｙ＋ｆ
＝ ０ ， 设 Ａ（ ｘ １ ， ｙ ） ， Ｂ（ ｘ ２ ， Ｙ ２ ） ， Ｃ （ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ，由 于 弦
每一 年高 考结 束 ， 总 能 听到不 少 师生 感慨 ： 高
三 教师做 了那 么 多 的 工 作 ， 学 生 做 了 那 么 多 的 习
题， 可是效 果 并 不 明显． 作 为一 线 教 师 ， 的 确 需要 反恩， 反 思 我 们 教 给 了 学 生 什 么？ 学 生 学 会 了 什 么？ 能 否找到一 个让 教师 教起 来 轻 松 、 学 生学 起来
Ａ Ｂ过 点 Ｃ， 由性质 ２知 ， 点 Ｑ的轨 迹方 程为 ｚ 。 Ｘ—
Ｐ （ Ｙ＋ Ｙ 。 ） ， 该方 程与 ａ ｘ＋ｂ ｙ＋ Ｃ 一 ０表示 同一 条
愉 快的 复习方 法 ？ 面对 漫 天 飞舞 的 复 习资 料 ， 这个 秘笈、 那 个宝典 ， 教 师和学 生该 如何选 择 ？
直 线， 于 是有： ｚ 。 一 一譬， Ｙ 。 一÷， 即弦Ａ Ｂ 过 定点
ｃ， ｃ ，
Ｃ （ －譬 ， 导） ．
性质 ５ 若 阿基米 德三
Ｙ Ｊ
笔 者 以为 ， 抓 纲 务本 才是 真 ！ 纲 即课 程标 准 和
考 试说 明 ； 本 就 是 课 本． 首先 ， 教 师 要 自己认 真 钻
研 教材 ， 充分 发挥课 本 中例 习题 的示 范性 、 典 型 性
角形 的底 边 过 焦 点 ， 则 顶 点 Ｑ 的轨 迹 方 程 为 准线 ， 且 阿 基 米 德 三 角 形 的 面 积 的 最 小值为 Ｐ 。 ． 证明 如 图 ６ ， 由性 质 ２ ， 若 底边 过焦点 ， 则 Ｙ 。一
， ２ ￣ ７ ０— ０ ， 点 Ｑ的轨迹方 程
Ｑ
图６
Ｄ
／
及 探究性 功能 ． 其次 ， 教 师要 引 导学 生 重 视课 本 中
的题 目， 使其 牢 固掌握基 础 知识 ． 在实 际 教学 中仍
有 不少 教师尤 其是 年轻 教 师对课 本 上 的题 目根 本 就 不屑一 顾 ， 片面地 追求 “ 新、 活、 难” ， 结果 使 得 一
ｉ
批 学生 对数 学产 生 了畏 难 情 绪 ， 渐 渐 地 对 数 学 失 去 兴趣 与信 心． 这 就警示 我 们要 以教 材 为本 ， 在 复
习中一定 要 回归 教 材． 尽 管 我 们 无 力 改 变 现 行 的
考 试制 度 ， 但是， 我 们可 以改变 我们 的课 堂 教学 模
因为课本 才是我 们 的教学 之本． 为 ３ ， 一 一 号 ， 就 是 准 线 ； 易 证 忌 Ｑ Ａ ? 是 Ｑ ８ ＝ 一 ｌ ， ￣ ｉ ｆ ｌ Ａ ） Ｑ Ａ 式！ 上Ｑ Ｂ， 故 阿基 米德三角形 为直角三角形 ， 于是有
（ 收稿 日期 ： ２ ０ １ １ 一Ｏ ９ —１ ２ ）
１ Ｑ Ｍ ｌ 一
＋ 号