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运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式

时间:2013-02-02


运用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式
【典例 1】函数 f ? x ? 是 R 上的单调函数,满足 f ? 2? ? f ?1? ,且 f ? m 2 ? ? f ? ?m ? , 求实数 m 的取值范围; 【问题解决】 由已知函数 f ? x ? 是 R 上的单调函数,且满足 f ? 2? ? f ?1? , 得函数是 R 上的单调递增函数, 又 f ? m 2 ?

? f ? ?m ? , 所以 m2 ? ?m ,解得 m ? ?1或m ? 0 所以实数 m 的取值范围是 m ? ?1或m ? 0 ; 【典例 2】已知奇函数 f ( x) 的定义域为 [?2, 2] ,且在区间 [?2, 0] 内单调递减,求满 足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围. 【问题解决】 ∵ f ( x) 的定义域为 [?2, 2] ,

? ?2 ? 1 ? m ? 2 ∴有 ? ,解得 ?1 ? m ? 3 2 ??2 ? 1 ? m ? 2
由 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ∴ f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 )



又由 f ( x) 为奇函数,得 ? f (1 ? m2 ) ? f (m2 ?1) ∴ f (1 ? m) ? f (m2 ?1) 又 f ( x) 为奇函数,且在 [?2, 0] 上单调递减, ∴ f ( x) 在 [?2, 2] 上单调递减. (要证明) ∴ 1 ? m ? m2 ? 1 . 即 ?2 ? m ? 1 ②

综合①②,可知 ?1 ? m ? 1 . 【牛刀小试】
2 ?x +4x ?x≥0?, ? 1、已知函数 f(x)= 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 2 ?4x-x ?x<0?,

(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) 答案:C

B.(-1,2)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

2、 设定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x) 在区间[0,2]上单调递减, 若 f (1 ? m) ? f (m) , 求实数 m 的取值范围. 答案: ?1 ? m ?
1 。 2

3、函数 f ( x) 对任意的 a,b∈R,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1 ,并且当 x ? 0 时,
f ( x) ? 1 ,若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m2 ? m ? 2) ? 3 。

答案: ?1 ? m ?

4 。 3

4、如果函数 f ? x ? 在 [a, b] 上是增函数,对于任意的 x1 , x2 ?[a, b],( x1 ? x2 ) ,给出下 列结论: (1) 、

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, x2 ? x1

(2) 、 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 , (3) 、 f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (b) , (4) 、

x2 ? x1 ? 0; f ( x2 ) ? f ( x1 )

其中正确的是____________(将正确的序号都填上) ; 答案: (1) , (2) , (4) ;


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