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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题1 第2讲 数形结合思想

时间:2015-02-01


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第二讲 数形结合思想

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1.数形结合的含义 (1)数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相 互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过 “以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化, 能够变抽象思维为形象

思维,有助于把握数学问题的本质,它是 数学的规律性与灵活性的有机结合. (2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用 大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数 形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的 图像来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严 密性
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来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲 线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2.应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及Venn图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线; (5)对于研究距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手进行求 解即可; (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图 象求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运 用.
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角度一

利用数形结合讨论方程的解或图象的 交点
? x 2 ? - kx ,x≤0, ? x-1 f(x)=? ? ?ln x,x>0 ?

[ 例 1]

若函数

有且只有两

个不同的零点,则实数 k 的取值范围是( A.(-4,0) C.(-4,0]

)

B.(-∞,0] D.(-∞,0)

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[思维流程]

解析:当 x>0 时,f(x)=ln x 与 x 轴有一个交点,即 f(x) 有一个零点. x 依题意,显然当 x≤0 时,f(x)= -kx2 也有一个零 x-1 x 点,即方程 -kx2=0 只能有一个解. x-1
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x 令 h (x )= ,g(x)=kx2,则两函数图象在 x≤0 时只 x- 1 能有一个交点.

x 若 k>0,显然函数 h(x)= 与 g(x)=kx2 在 x≤0 时有 x- 1 两个交点,即点 A 与原点 O(如图所示). 显然 k>0 不符合题意.

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x 若 k<0,函数 h(x)= 与 g(x)=kx2 在 x≤0 时只有一 x-1 个交点,即原点 O(如图所示). x 当 k= 0 , 显然函数 h(x)= 与 g(x)=kx2 在 x≤0 时只 x-1 有一个交点,即原点 O. 综上,所求实数 k 的取值范围是(-∞,0].故选 B. 答案:B
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利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数,使问题转化为 讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图像 的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键,数形结合

应以快和准为原则而采用,不要刻意去数形结合.

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1 1、若 f(x)+1= ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区 fx+ 间(-1,1]内 g(x)=f(x)-mx-m 有两个零点,则实数 m 的取 值范围是(
? 1? ? A.?0,2? ? ? ? ? 1? ? C.?0,3? ? ? ?

)
?1 ? ? B.?2,+∞? ? ? ? ? 1? ? D.?0,2? ? ? ?

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解析:选 D 当 x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1], ∵当 x∈(0,1]时,f(x)=x,∴f(x+1)=x+1. 1 1 1 而由 f(x)+1= ,可得 f(x)= - 1= - f?x+1? f?x+1? x+1 1(x∈(-1,0]).

如图所示,作出函数 f(x)在区间(-1,1]内的图象,而函 数 g(x)零点的个数即为函数 f(x)与 y=mx+m 图象交点的个 数,显然函数 y=mx+m 的图象为经过点 P(-1,0),斜率为 m 的直线.
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如图所示,f(1)=1,故 B(1,1).直线 PB 的斜率 k1= 1-0 1 = ;直线 PO 的斜率为 k2=0.由图可知,函数 f(x) 1-?-1? 2 与 y=mx+m 的图象有两个交点,则直线 y=mx+m 的斜率 ? 1? ? k2<m≤k1,即 m∈?0,2? ?.故选 D. ? ?

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角度二

利用数形结合解不等式或求参数

[例 2] (1)使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是 ________. (2)(2014· 南 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) =
? ?|log3 x|,0<x<3, ? ? 10 ?1 2 x - x+8,x≥3, ?3 3 ?

若存在实数 a、b、c、d,满足 f(a)

=f(b)=f(c)=f(d),其中 d>c>b>a>0,则 abcd 的取值范围是 ________.
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思维流程:

解析:

(1)在同一坐标系中,分别作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,由图可知,x 的取值范围是(-1,0).
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(2)如下图所示,由图形易知 0<a<1,1<b<3, 则 f(a)=|log3a|=-log3a,f(b)=|log3b|=log3b, ∵f(a)=f(b),∴-log3a=log3b, 1 2 10 ∴ab=1,令3x - 3 x+8=0,即 x2-10x+24=0,

1 2 10 解得 x=4 或 x=6,而二次函数 y=3x - 3 x+8 的图象 的对称轴为直线 x=5,由图象知,3<c<5,d>5,点(c,f(c)) 1 2 10 和点(d,f(d))均在二次函数 y=3x - 3 x+8 的图象上,故有 c+d 2 =5,∴d=10-c,
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1 10 2 由于 f(3)=3×3 - 3 ×3+8=1,当 1<x<3 时,f(x)= |log3x|=log3x,∴0<log3x<1, ∵1<b<3,∴0<f(b)<1, ∵f(b)=f(c),∴0<f(c)<1, 由于函数 f(x)在(3,5)上单调递减,且 f(3)=1, f(4)=0,∴3<c<4, ∴ abcd = 1×cd = cd = c(10 - c) =- c2 + 10c =- (c - 5)2 +25, ∵3<c<4,∴21<-(c-5)2+25<24,即 21<abcd<24. 答案:(1)(-1,0) (2)(21,24)

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利用数形结合解不等式或求参数的方法

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不
等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数 图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避

免繁琐的运算,获得简捷的解答.

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1 2.若不等式|x-2a|≥2x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________.

1 解析:作出 y=|x-2a|和 y=2x+a-1 的简图,依题意 1 知应有 2a≤2-2a,故 a≤2.

? 1? ? 答案:?-∞,2? ? ? ?

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角度三
[例 3] 大值为( 1 A.2

利用数形结合求最值

y (1)如果实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,则x的最 ) 3 B. 3 3 C. 2 D. 3

(2)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向 量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是( A. 1 B.2 C. 2 ) 2 D. 2
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[思维流程]

[解析]

(1)(x - 2)2 + y2 = 3 表示坐标平面上的一个圆,圆心为 y y-0 M(2,0),半径 r= 3,如图,而x= 表示圆上的点(x,y) x-0 与原点 O(0,0)连线的斜率.
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该问题转化为如下几何问题: 点 A 在 M(2,0)为圆心, 3 为半径的圆上移动,求直线 OA 的斜率的最大值. 由图可知,当点 A 在第一象限,且 OA 与圆相切时 OA 的斜率最大. 连 接 AM , 则 AM ⊥ OA , |OA| = |OM|2-|AM|2 = y 2 -? 3? =1,可得x的最大值为 tan ∠AOM= 3,故选
2 2

D.

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(2)因为(a-c)· (b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).如图所 示, 设, , , , 所以 O,A,C,B 四点共圆.当且仅当 OC 为圆的直径时, |c|最大,且最大值为 2.

[答案]

(1)D

(2)C

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利用数形结合求最值的方法步骤 第一步:分析数理特征,确定目标问题的几何意义.一般从图 形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义. 第二步:转化为几何问题. 第三步:解决几何问题. 第四步:回归代数问题. 第五步:回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟 悉常见的几何结构的代数形式,主要有:(1)比值——可考虑 直线的斜率;(2)二元一次式——可考虑直线的截距;(3)根式 分式——可考虑点到直线的距离;(4)根式——可考虑两点间 的距离.
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3.已知 O 为坐标原点,M(1,2),点 P 的坐标(x,y)满足
? ? ?x+|y|≤1, 约束条件? ? ? ?x≥0,

则 z=

的最大值为(

)

A. - 2 C. 1

B.-1 D. 2

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解析:选 D

?x+|y|≤1, ? 约束条件? ? ?x≥0

所围成的可行域是

以点 A(0,1),B(0,-1),C(1,0)为顶点的直角三角形及其内 部,如图所示. 因为 , 所以 =x+2y.由图知, 当目标函数 z 过点 A(0,1)时取最大值. 其最大值为 0+2×1=2,故选 D.
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4.过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( ) 3 3 A. 3 B.- 3 3 C.± 3 D.- 3
解析:选 B 法一:由 y= 1-x2,得 x2+y2=1(y≥0), 其所表示的图形是以原点 O 为圆心, 1 为半径的上半圆(如图

所示).
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分析知△AOB 是等腰三角形,且|AO|=|BO|=1, 1 1 所以 S△AOB=2×|AO|×|BO|×sin∠AOB=2sin∠AOB. 要使△AOB 面积最大,则∠AOB=90° ,即△AOB 是等 腰直角三角形,所以|AB|= 2. 设点 O 到直线 l 的距离为 h, 1 1 2 由 S△AOB=2=2×|AB|×h,所以 h= 2 . 由图,可设直线 l 的斜率为 k(k<0),则其方程为 y=k(x - 2),即 kx-y- 2k=0, |k×0-0- 2k| 2 1 2 故 = 2 ,得 k =3, k2+1 3 又 k<0,故 k=- 3 .故选 B.
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法二:由 y= 1-x2,得 x2+y2=1(y≥0),其所表示的 图形是以原点 O 为圆心,1 为半径的上半圆(如图所示). 由题意及图形,知直线 l 的斜率必为负值,故排除 A, C 选项.当其斜率为- 3时,直线 l 的方程为 3x+y- 6= |- 6| 6 0,点 O 到其距离为 = 2 >1,不符合题意,故排除 D 3+1 选项.故选 B.

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运用数形结合的思想分析解决问题时,应把握以下三个 原则 (1)等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价 的,否则解题将会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不 能完整地表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观 而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导.

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(2)双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代 数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分 析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通 的. 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研 究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的 几何特征,将会使得复杂的问题简单化.
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(3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方 法或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于哪种方法更 为简单,而不是去刻意追求代数问题运用几何方法,几何问 题运用代数方法.

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