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湖南省长浏宁三(市)县一中2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

时间:2016-08-14


湖南省长浏宁三(市)县一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ≤4,x∈R},B={x| ≤4,x∈Z},则 A∩B() A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{0,

2} 2. (5 分)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=() A.﹣5 B. 5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i 3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 x 的值是()

A.2

B.

C.

D.3

4. (5 分)下列函数中最小正周期是 π 的函数是() A.y=sinx+cosx B.y=sinx﹣cosx C.y=|sinx﹣cosx|

D.y=|sinx|+|cosx|

5. (5 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

6. (5 分)设不等式组

所表示的区域为 M,函数 y=

的图象与 x 轴所围

成的区域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为() A. B. C. D.

7. (5 分)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8. (5 分)已知双曲线



=1(b>0) ,过其右焦点 F 作图 x +y =9 的两条切线,切点

2

2

记作 C,D,双曲线的右顶点为 E,∠CED=150°,则双曲线的离心率为() A. B.
2 2

C.

D.

9. (5 分)如图,过原点的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,将 x 轴下 方的图形沿 x 轴折起,使之与 x 轴上方的图形成直二面角,设点 P 的横坐标为 x,线段 PQ 的 长度记为 f(x) ,则函数 y=f(x)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′ (x) ,且 f(x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) , 若数列 A.6 的前 n 项和大于 62,则 n 的最小值为() B. 7 C. 8 D.9
x





二、填空题(本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )选做题(请考生 在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分. )

11. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,若直线 l 平分圆 C 的周长,则 a=. 12. (5 分)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于.

13. (5 分)若实数 a,b,c 满足 a+2b+3c=2,则当 a +2b +3c 取最小值时,2a+4b+9c 的值为.

2

2

2

二.必做题(14-16 题)

14. (3 分)10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员,现从中选 3 人参加团体比赛,要求老 队员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有种.

15. (3 分)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? = ? =1,则对任意的正实数 t, | +t + |的最小值是.

16. (3 分)若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①都 P,Q 在函数 y=f(x)的图象上; ②P,Q 关于原点对称,则称(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与 (Q, P) 看作同一个“伙伴点组”) . 已知函数 f (x) = 则实数 k 的取值范围是. 有两个“伙伴点组”,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了 解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁) 之间的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30) ,[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) , [70,80]绘制频率分布直方图, 如图所示. 若规定年龄分布在[20,40) 岁的人为“青年人”,[40, 60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数 学期望. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a ﹣sinB)cos(A+B)=0 (1)求 C 的大小; 2 2 (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 19. (12 分) 如图四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AD∥BC, ADCD, 且 AD=CD=2 BC=4 ,PA=2,点 M 在线段 PD 上. (1)求证:AB⊥PC. ,

(2)若二面角 M﹣AC﹣D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值.

20. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切 n∈N ,点(n, 的图象上.

*

)都在函数 f(x)=x+

(1)计算 a1,a2,a3,并归纳出数列{an}的通项公式; (2)将数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(a1) , (a2,a3) , (a4,a5,a6) , (a7, a8,a9,a10) ; (a11) , (a12,a13) , (a14,a15,a16) , (a17,a18,a19,a20) ; (a21)…,分别计算 各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},求 b5+b100 的值; (3)设 An 为数列 都成立,求 a 的取值范围. 的前 n 项积,若不等式 An <f(a)﹣ 对一切 n∈N
*

21. (13 分)已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0)的上下焦点,其 F1 是抛物线

C2:x =4y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= . (1)试求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=k(x+t) (t≠0)交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一 点 P 满足 ,求实数 λ 的取值范围.

22. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)函数 F(x)=f(x)﹣x1nx 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若 不存在,请说明理由:

x

(3)若 g(x)=ln(e ﹣1)﹣lnx,当 x∈(0,+∞)时,不等式 f(g(x) )<f(x)恒成立, 求 a 的取值范围.

x

湖南省长浏宁三(市)县一中 2015 届高考数学模拟试卷 (理科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ≤4,x∈R},B={x| ≤4,x∈Z},则 A∩B() A.(0,2) B.[0,2] C.{0,1,2} D.{0,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:﹣2≤x≤2,即 A=[﹣2,2], 由 B 中不等式解得:0≤x≤16,x∈Z,即 B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13, 14,15,16}, 则 A∩B={0,1,2}, 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=() A.﹣5 B. 5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的几何意义求出 z2,即可得到结论. 解答: 解:z1=2+i 对应的点的坐标为(2,1) , ∵复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ∴(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(﹣2,1) , 则对应的复数,z2=﹣2+i, 2 则 z1z2=(2+i) (﹣2+i)=i ﹣4=﹣1﹣4=﹣5, 故选:A 点评: 本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础.

3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正视图中的 x 的值是()

A.2

B.

C.

D.3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为 1、2、2 的直角梯形,一条长为 x 的侧棱垂直于底面.据此可求出原几何体的体积. 解答: 解:由三视图可知:原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、2 的直角梯形,一条长为 x 的侧棱垂直于底面. 则体积为 = ,解得 x= .

故选:C. 点评: 本题考查了三视图,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键. 4. (5 分)下列函数中最小正周期是 π 的函数是() A.y=sinx+cosx B.y=sinx﹣cosx C.y=|sinx﹣cosx| 考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 从而得出结论. 解答: 解:由于 y=sinx﹣cosx= ﹣ )|的周期为 π, sin(x﹣ )的周期为 2π,∴y=|sinx﹣cosx|=| sin(x ,则函数 y=|Asin(ωx+φ)|的周期为 ? ,

D.y=|sinx|+|cosx|

故选:C. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 ,函数 y=|Asin(ωx+φ)|的周期为 ? ,属于基础题.

5. (5 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有()

A.1 个

B. 2 个

C. 3 个

D.4 个

考点: 程序框图. 专题: 数形结合;算法和程序框图.

分析: 算法的功能是求 y=

的值, 分当 x>5 时、 当 2<x≤5

时和当 x≤2 时求得满足条件的解的个数,从而得到答案.

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 y=

的值,

当 x>5 时,lnx+5=x?lnx=x﹣5,∵函数 y=x﹣5 与 y=lnx 的图象有两个交点,其中 x>5 的交 点只有 1 个,∴有 1 解; 当 2<x≤5 时, =x?x=±1(舍去) ; 当 x≤2 时,x =x?x=0 或 1 或﹣1,有三个解, 综上满足条件的 x 有 4 个解. 故选:D. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图,考查了数形结合思想,解题的关键是由框图的流 程判断算法的功能.
3

6. (5 分)设不等式组

所表示的区域为 M,函数 y=

的图象与 x 轴所围

成的区域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型;简单线性规划. 概率与统计. 画出图形,求出区域 M,N 的面积,利用几何概型的公式解答. 解:如图, ,由几何概型知所求概率为 P= .

区域 M 的面积为 2,区域 N 的面积为 故选 B.

点评: 本题考查了几何概型的运用;关键是求出区域的面积,利用几何概型的公式解答. 7. (5 分)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用{an}是等比数列,结合充要条件的判断方法,即可得出结论. 解答: 解:∵{an}是等比数列, ∴由“a1<a2<a4”可得,公比可为负数,数列{an}可以是递增数列,故充分性不成立. 若数列{an}是递增数列,则一定有 a1<a2<a4,故必要性成立. 综上,“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题考查充分条件、必要条件的定义,递增数列的定义,判断充分性是解题的难点, 属于中档题.

8. (5 分)已知双曲线



=1(b>0) ,过其右焦点 F 作图 x +y =9 的两条切线,切点

2

2

记作 C,D,双曲线的右顶点为 E,∠CED=150°,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据已知条件,作出图形,结合图形,由双曲线的性质得到∠FOC=30°,∠OCF=90°, OC=a,OF=c,CF= c, 利用勾股定理求出 a,c 间的等量关系,由此能求出双曲线的离心率. 解答: 解:如图,∵双曲线
2 2



=1(b>0) ,

过其右焦点 F 作圆 x +y =9 的两条切线,切点记作 C,D, 双曲线的右顶点为 E,∠CED=150°, ∴∠FOC=180°﹣2∠OEC=30°,∠OCF=90°, ∴OC=a,OF=c,CF= c, ∴a +( c) =c , 解得 c= ∴e= = 故选:D. a, .
2 2 2

点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运 用,是中档题. 9. (5 分)如图,过原点的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,将 x 轴下 方的图形沿 x 轴折起,使之与 x 轴上方的图形成直二面角,设点 P 的横坐标为 x,线段 PQ 的 长度记为 f(x) ,则函数 y=f(x)的图象大致是()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先建立函数关系式,再选择图象. 解答: 解:设 P(x,y) ,Q(﹣x,﹣y) ,分别过点 P、Q 作 X 轴的垂线,垂足分别为 A(x, 0) ,B(﹣x,0) , 折成直二面角后, (0<x

<1) ,其图象是双曲线的一部分. 故选:B. 点评: 本题考查建立函数关系式与识图能力,属中档题,一般先尝试建立函数关系式,这 也是关键所在,再选择正确图象. 10. (5 分)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′ (x) ,且 f(x)=a ?g(x) (a>0,且 a≠1) , 若数列 A.6 的前 n 项和大于 62,则 n 的最小值为() B. 7 C. 8 D.9
x





考点: 简单复合函数的导数;数列的函数特性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由 f′(x)g(x)>f(x)g′(x)可得 单调递增,从而可得 a>1,结合

,可求 a.利用等比数列的求和公式可求 ,从而可求 解答: 解:∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x) , ∴f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,





从而可得 ∵ ∴a=2. 故

单调递增,从而可得 a>1, ,

=2+2 +…+2 =
n+1 *

2

n



∴2 >64,即 n+1>6,n>5,n∈N . ∴n=6. 故选:A. 点评: 本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性,等比数列的求和公式的求 解,解题的关键是根据已知构造函数 单调递增.

二、填空题(本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )选做题(请考生 在第 11、12、13 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分. )

11. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,若直线 l 平分圆 C 的周长,则 a=﹣3. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 分别把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,由于直线 l 平分圆 C 的周长,可知:直线 l 经过圆心 C,即可得出.

解答: 解:直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,消去参数 t 化为:3x+4y+a=0.
2 2

圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,化为 ρ =2ρcosθ,化为直角坐标方程:x +y =2x,配方为(x﹣1) 2 2 +y =1,可得圆心 C(1,0) . ∵直线 l 平分圆 C 的周长,∴直线 l 经过圆心 C, ∴3+0+a=0, 解得 a=﹣3. 故答案为:﹣3.

点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位 置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 12. (5 分)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 6.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 PC=x,由割线定理得:5×12=x(x+11) ,解之得 x=4(舍去﹣15) ,再根据圆内接 四边形性质,得到△ PAC∽△PDB,最后由对应边成比例,列式并解之即得 BD=6. 解答: 解:设 PC=x,则根据割线定理得 PA×PB=PC×PD,即 5(5+7)=x(x+11) ,解之得 x=4(舍去﹣15) ∴PC=4,PD=15 ∵四边形 ABDC 是圆内接四边形 ∴∠B=∠ACP,∠D=∠CAP,可得△ PAC∽△PDB ∴ ,即 ,可得 BD=6

故答案为:6 点评: 本题给出三角形被圆截得内接四边形,在已知一些线段长的情况下求圆的一条弦长, 着重考查了圆中的相似三角形和割线定理等知识,属于基础题. 13. (5 分)若实数 a,b,c 满足 a+2b+3c=2,则当 a +2b +3c 取最小值时,2a+4b+9c 的值为 5. 考点: 二维形式的柯西不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由条件利用柯西不等式求得当 a +2b +3c 取最小值时,a、b、c 的值,可得 2a+4b+9c 的值. 解答: 解析:由柯西不等式得 4=(a+2b+3c)
2 2 2 2 2 2 2

≤[a +
2 2 2

2

+

][1 + =

2

+

],

∴a +2b +3c 取≥ = ,当且仅当 =

,即 a=b=c= 时,取等号,

此时,2a+4b+9c=5, 故答案为:5. 点评: 本题主要考查柯西不等式的应用,属于基础题. 二.必做题(14-16 题) 14. (3 分)10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员,现从中选 3 人参加团体比赛,要求老 队员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有 77 种.

考点: 排列及排列数公式. 专题: 计算题. 分析: 分两类,第一类,3 人中有 1 名老队员 2 名新队员,第二类,3 人全部是新队员,分 别计算两类的选法种数,相加可得答案. 解答: 解:分两类,第一类,有 1 名老队员 2 名新队员,共有 第二类,3 人全部是新队员,共有 =35 种选法; × =42 种选法;

∴老队员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有 42+35=77 种选法, 故答案是 77. 点评: 本题考查了加法计数原理与乘法计数原理,考查了组合数公式,分类要做到不重不 漏.

15. (3 分)已知 , 是两个互相垂直的单位向量,且 ? = ? =1,则对任意的正实数 t, | +t + |的最小值是 2 .

考点: 函数的最值及其几何意义;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 由题意建立直角坐标系,取 =(1,0) , =(0,1) ,从而可得 =(1,1) ,| |= 从而可得| +t + |= ;

=



=2



解答: 解:∵ ? =0,| |=| |=1, ? = ? =1, 建立如图所示的直角坐标系,取 =(1,0) , =(0,1) , 设 =(x,y) , ∴(x,y)?(1,0)=(x,y)?(0,1)=1. ∴x=y=1. ∴ =(1,1) , ∴| |= ∵t>0. ∴| +t + |= ;

= 当且仅当 t=1 时取等号. 故答案为:2 .



=2



点评: 本题考查了平面向量应用及基本不等式在求最值中的应用,属于中档题. 16. (3 分)若直角坐标平面内两点 P,Q 满足条件:①都 P,Q 在函数 y=f(x)的图象上; ②P,Q 关于原点对称,则称(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与 (Q, P) 看作同一个“伙伴点组”) . 已知函数 f (x) = 则实数 k 的取值范围是 k>2+2 . 有两个“伙伴点组”,

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据“伙伴点组”的定义可知,只需要利用图象,作出函数 f(x)=x +1,x≥0 时关于 原点对称的图象,利用对称图象在 x<0 上两个图象的交点个数,建立条件关系即可求出实数 k 的取值范围. 2 2 解答: 解:由题意知函数 f(x)=x +1,x≥0 关于原点对称的图象为﹣y=x +1, 2 即 y=﹣x ﹣1,x<0, 在 0<x<2 上作出两个函数的图象如图, 2 当直线 y=k(x+1)与 y=﹣x ﹣1,x<0 相切时,此时两个图象有一个公共点, 2 2 即 k(x+1)=﹣x ﹣1,即 x +kx+k+1=0, 2 2 则判别式△ =k ﹣4(k+1)=k ﹣4k﹣4=0, 解得 k= =2+2 或 k=2﹣2 <0, (舍去) ,

若函数 f(x)= 则 k>2+2 , 故答案为:k>2+2

有两个“伙伴点组”,

点评: 本题主要考查新定义题目,读懂题意,利用一元二次方程与判别式△ 之间的关系, 利用数形结合的思想是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了 解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁) 之间的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30) ,[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) , [70,80]绘制频率分布直方图, 如图所示. 若规定年龄分布在[20,40) 岁的人为“青年人”,[40, 60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20﹣80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20 ﹣80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数 学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率分布直方图能估算所调查的 600 人的平均年龄. (Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 ,依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,分 别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图估算所调查的 600 人的平均年龄为: 25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁) .

(Ⅱ)由频率分布直方图知“老年人”所点频率为 , ∴从该城市 20~80 年龄段市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为 , 依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X 0 P EX= = . = , = = , , ,

1

2

3

点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题,解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a ﹣sinB)cos(A+B)=0 (1)求 C 的大小; (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)利用三角形的内角转化为 A 的三角函数,利用两角和的正弦函数求解结合正弦 定理求出表达式,求出结合即可. (2)由余弦定理以及基本不等式求解最值即可. 解答: 解: (1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0 可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0 即:sinA﹣acosC=0. 由正弦定理可知: ∴ ∴asinC﹣acosC=0, sinC﹣cosC=0,可得 ∴C= . sin(C﹣ )=0,C 是三角形内角, , ,
2 2

(2)由余弦定理可知:c =a +b ﹣2abcosC, 2 2 得 1=a +b ﹣ ab 又 ∴ 即: 当
2

2

2

2

, , . 时,a +b 取到最大值为 2+
2



点评: 本题考查三角形的最值,余弦定理的应用,正弦定理的应用,考查计算能力. 19. (12 分) 如图四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AD∥BC, ADCD, 且 AD=CD=2 BC=4 ,PA=2,点 M 在线段 PD 上. (1)求证:AB⊥PC. (2)若二面角 M﹣AC﹣D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值. ,

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)设 E 为 BC 的中点,连接 AE,证明 AB⊥PC,只需证明 AB⊥平面 PAC,只需 证明 AB⊥AC,AB⊥PA. (2)设 AC∩BD=O,连接 OP,过点 M 作 MN⊥AD,过点 N 作 NG⊥AC 于 G,连接 MG, 证明∠MGN 是二面角 M﹣AC﹣D 的平面角,即∠MGN=45°,M 为 PD 的中点,连接 PO 交 BM 于 H,连接 AH,证明∠BHA 是 BM 与平面 PAC 所成的角,即可求 BM 与平面 PAC 所成 的角的正弦值. 解答: (1)证明:设 E 为 BC 的中点,连接 AE,则 AD=EC,AD∥EC, ∴四边形 AECD 为平行四边形, ∴AE⊥BC ∵AE=BE=EC=2 , ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴AB⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD, ∴AB⊥PA ∵AC∩PA=A, ∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥PC.

(2)设 AC∩BD=O,连接 OP,过点 M 作 MN⊥AD,过点 N 作 NG⊥AC 于 G,连接 MG, 则 MN∥PA, 由 PA⊥平面 ABCD,可得 MN⊥平面 ABCD, ∴MN⊥AC, ∵NG⊥AC,MN∩NG=N, ∴AC⊥平面 MNG, ∴AC⊥MG, ∴∠MGN 是二面角 M﹣AC﹣D 的平面角,即∠MGN=45° 设 MN=x,则 NG=AG=x,∴AN=ND= x, 可得 M 为 PD 的中点,连接 PO 交 BM 于 H,连接 AH, 由(1)AB⊥平面 PAC,∴∠BHA 是 BM 与平面 PAC 所成的角 在△ ABM 中,AB=4,AM= PD= ∴cos∠ABM= , ,BM=3 ,

∵∠BHA 与∠ABM 互余, ∴BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 .

点评: 本题考查线面垂直,线线垂直,考查面面角,考查线面角,考查学生分析解决问题 的能力,正确作出线面角是关键.
*

20. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对一切 n∈N ,点(n,

)都在函数 f(x)=x+

的图象上. (1)计算 a1,a2,a3,并归纳出数列{an}的通项公式; (2)将数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(a1) , (a2,a3) , (a4,a5,a6) , (a7, a8,a9,a10) ; (a11) , (a12,a13) , (a14,a15,a16) , (a17,a18,a19,a20) ; (a21)…,分别计算 各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},求 b5+b100 的值; (3)设 An 为数列 都成立,求 a 的取值范围. 考点: 数列与函数的综合. 专题: 计算题;压轴题. 的前 n 项积,若不等式 An <f(a)﹣ 对一切 n∈N
*

分析: (1)由已知可得,



.分别令 n=1,n=2,n=3,代入可求

a1,a2,a3,进而猜想 an (2)由 an=2n 可得数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2) , (4,6) , (8,10, 12) , (14,16,18,20) ; (22) , (24,26) , (28,30,32) , (34,36,38,40) ; (42) ,….每 一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号,故 b100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之 和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数,所有第 2 个数、所有第 3 个数、所 有第 4 个所有第 4 个数分别组成都是等差数列,公差均为 20.故各组第 4 个括号中各数之和 构成等差数列,且公差为 80.代入可求 (3)因为 ,

,若 成立 设 ,则只需 即可利用 g(n)的单调性可求其最大值 ,从而可求 a 的范围 解答: 解: (1)因为点 故 令 n=1,得 令 n=2,得 令 n=3,得 ,所以 . ,所以 a1=2; ,所以 a2=4; ,所以 a3=6. 在函数 的图象上,

由此猜想:an=2n. * (2)因为 an=2n(n∈N ) ,所以数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2) , (4, 6) , (8,10,12) , (14,16,18,20) ; (22) , (24,26) , (28,30,32) , (34,36,38,40) ; (42) ,….每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号,故 b100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数 列,且公差为 20.同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数 分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为 20.故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数 列,且公差为 80.注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68, 所以 b100=68+24×80=1988.又 b5=22,所以 b5+b100=2010 (3)因为 ,故 ,

所以 又 故 , 对一切 n∈N 都成立,就是
*



对一切 n∈N 都成立. 设 即可. ,则只需

*

由于

=



所以 g(n+1)<g(n) ,故 g(n)是单调递减,于是 令 ,即
*

. ,或 .

,解得

综上所述,使得所给不等式对一切 n∈N 都成立的实数 a 的取值范围是 . 点评: 本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项,等差数 列的求和公式的应用,及利用数列的单调性求解数列的最大(小)项问题的求解,属于函数与 数列知识的综合应用的考查

21. (13 分)已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0)的上下焦点,其 F1 是抛物线

C2:x =4y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= . (1)试求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=k(x+t) (t≠0)交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一 点 P 满足 ,求实数 λ 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用抛物线的方程和定义即可求出点 M 的坐标,再利用椭圆的定义即可求出; (2)根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径,可得 k= ,联立直线与椭圆方程,

结合椭圆上一点 P 满足

,可得到 λ 的表达式,进而求出实数 λ 的取值范围
2

2

解答: 解: (1)令 M 为(x0,y0) ,因为 M 在抛物线 C2 上,故 x0 =4y0,① 又|MF1|= ,则 y0+1= ,② 由①②解得 x0=﹣ ,y0=

椭圆 C1 的两个焦点为 F1(0,1) ,F2(0,﹣1) , 点 M 在椭圆上,由椭圆定义,得 2a=|MF1|+|MF2|= ∴a=2,又 c=1, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =3 ∴椭圆 C1 的方程为 .
2 2

=4

(2)∵直线 l:y=k(x+t)与圆 x +(y+1) =1 相切 ∴ =1,即 k= (t≠0,t±1)

把 y=k(x+t)代入
2 2 2 22

并整理得:

(4+3k )x +6k tx+3k t ﹣12=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 x1+x2= ,y1+y2=k(x1+x2)+2kt=

∵ ∴P(

=(x1+x2,y1+y2) , )

又∵点 P 在椭圆上 ∴ + =1

∴λ =

2

=

(t≠0)

∵t >0,t ≠1, ∴
2 2

2

2

>1 且

≠ 3,

∴0<λ <4 且 λ ≠ ∴λ 的取值范围为(﹣2,﹣ )∪(﹣ ,0)∪(0, )∪( ,2)

点评: 熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系 数的关系是解题的关键.本题需要较强的计算能力,注意分类讨论的思想方法应用. 22. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)函数 F(x)=f(x)﹣x1nx 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若 不存在,请说明理由: x (3)若 g(x)=ln(e ﹣1)﹣lnx,当 x∈(0,+∞)时,不等式 f(g(x) )<f(x)恒成立, 求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求导 f′(x)=e ﹣a;由导数的正负确定函数的单调性; (2)先求函数 F(x)=f(x)﹣x1nx 的定义域,由 F(x)=0 可化为 a= ﹣lnx, (x>0) ,
x x

从而令 h(x)=

﹣lnx, (x>0) ,求导 h′(x)=

,从而由导数求

单调性并求最值; x x x (3)当 x>0 时,e ﹣1>x,故对?x>0,g(x)>0;构造函数 H(x)=xe ﹣e +1(x>0) , x 则 H′(x)=xe >0;从而由导数确定恒成立问题. x 解答: 解: (1)∵f(x)=e ﹣ax﹣1, x ∴f′(x)=e ﹣a; 当 a≤0 时,f′(x)>0;函数 f(x)在 R 上是增函数; 当 a>0 时,当 x>lna 时,f′(x)>0,当 x<lna 时,f′(x)<0; 函数 f(x)的单调增区间为(lna,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,lna) ; 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调增区间为(lna,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,lna) ; (2)F(x)=f(x)﹣x1nx 的定义域为(0,+∞) ,

由 F(x)=0 得,a=

﹣lnx, (x>0) ,

令 h(x)=
x

﹣lnx, (x>0) ,则 h′(x)=



由于 x>0,e ﹣1>0;当 x>1 时,h′(x)>0;当 0<x<1,h′(x)<0; 故函数 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 故 h(x)≥h(1)=e﹣1; 又由(1)知,当 a=1 时,对?x>0,有 f(x)>f(lna)=0; 即 e ﹣1>x,故
x

>1;

∵x>0,∴

>0,

当 x→0 时,lnx→﹣∞,∴h(x)→+∞; 当 a>e﹣1 时,函数 F(x)有两个不同的零点, 当 a=e﹣1 时,函数 F(x)有且级有一个零点, 当 a<e﹣1 时,函数 F(x)没有零点; (3)由(2)知,当 x>0 时,e ﹣1>x,故对?x>0,g(x)>0; x x x 构造函数 H(x)=xe ﹣e +1(x>0) ,则 H′(x)=xe >0; 故函数 H(x)在(0,+∞)上单调递增, 则 H(x)>H(0) , 则?x>0,xe ﹣e +1>0 成立, 当 a≤1 时,由(1)知,f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(0,lna)上单调递减, 帮当 0<x<lna 时,0<g(x)<x<lna, 所以 f(g(x) )>f(x) ,则不满足题意, 所以满足题意的 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 点评: 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,属于中档题.
x x x


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