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课时作业71相似三角形的判定及有关性质


课时作业 71

相似三角形的判定及有关性质
分值:100 分

时间:45 分钟

一、填空题(每小题 5 分,共 45 分)

1.如右图所示,已知在△ABC 中,∠C=90° ,正方形 DEFC 内接于△ABC,DE∥AC, EF∥BC,AC=1,BC=2,则 AF? 等于______

__. FC AF FE x 1-x 2 解析:设正方形边长为 x,则由△AFE∽△ACB,可得 = ,即 = ,所以 x= , AC CB 2 1 3 AF 1 于是 = . FC 2 1 答案: 2

2.如右图所示,圆内接△ABC 的∠C 的平分线 CD 延长后交圆于点 E,连接 BE,已知 BD=3,CE=7,BC=5,则线段 BE=________. 解析:∵∠ABE=∠ACD,CD 是∠ACB 的平分线, ∴∠ACD=∠BCE.∴∠EBD=∠BCE. ∴△BED∽△CEB. ∴ BE BD = . CE BC

BD· CE 3×7 21 ∴BE= = = . BC 5 5 21 答案: 5 3.在 Rt△ABC 中,CD、CE 分别是斜边 AB 上的高和中线,设该图中共有 x 个三角形 与△ABC 相似,则 x=________. 解析:2 个,△ACD 和△CBD. 答案:2

4.(2010· 天津武清一模)如右图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC, AB=15,AF=4,则 DE=________. 解析:设 DE=x,∵DE∥AC, ∴ ∴ BE x 15x = ,解得 BE= . 15 x+4 x+4 BD BE BE x = = = . DC EA 15-BE 4

BD BA 15 x 又∵AD 平分∠BAC,∴ = = = ,解得 x=6. DC AC x+4 4 答案:6

5.(2011· 惠州调研)如右图,平行四边形 ABCD 中,AE? EB=1?2 ,△AEF 的面积为 6, 则△ADF 的面积为________. 解析:由题意可得△AEF∽△CDF,且相似比为 1?3 ,由△AEF 的面积为 6,得△CDF 的面积为 54,由题意知 S△ADF? △CDF=1?3 S ,所以 S△ADF=18. 答案:18

6.(2010· 福建质检)如右图,在锐角△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD? DC? AD =2?3?6 则∠BAC 的大小为________. , 解析:由△ABD、△ACD 均为直角三角形,可得 tan∠BAC=tan(∠BAD+∠DAC)= tan∠BAD+tan∠DAC = 1-tan∠BAD×tan∠DAC 2 3 + 6 6 π =1,所以∠BAC= . 2 3 4 1- × 6 6 π 答案: 4

AB BC AC 5 7.如右图,在△ABC 和△DBE 中, = = = .若△ABC 与△DBE 的周长之差为 DB BE DE 3 10 cm,则△ABC 的周长为________;若△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2,则△DBE 的面积为________. AB BC AC 5 解析:∵ = = = , DB BE DE 3 ∴△ABC∽△DBE. ∴ AB+BC+AC 5 c 3 = = .∴c′= c, 5 c′ DB+BE+DE 3

2c ∵c-c′= =10.∴c=25 cm. 5 ∵ S△ABC c2 25 = 2= ,S△ABC+S△DBE=170, 9 S△DBE c′

∴S△DBE=45 cm2. 答案:25 cm 45 cm2 8.在△ABC 中,AD 是 BC 边上中线,AE 是 BC 边上的高,∠DAB=∠DBA,AB=18, BE=12,则 CE=________.

解析:∵∠DAB=∠DBA,∴AD=BD,又 AD 是 BC 边上中线, ∴BD=CD.易知∠BAC=90° ,又 AE⊥BC. 由射影定理可知 AB2=BE· BC, ∴BC=27,∴CE=15. 答案:15

9.如右图,在直角梯形 ABCD 中,上底 AD= 3,下底 BC=3 3,与两底垂直的腰 AB =6,在 AB 上选取一点 P,使△PAD 和△PBC 相似,这样的点 P 有________个. 解析:设 AP=x,(1)若△ADP∽△BPC,

则 即

AD AP = , BP BC 3 x = ,所以 x2-6x+9=0, 6-x 3 3

解得 x=3. AD AP (2)若△ADP∽△BCP,则 = , BC BP 即 3 x 3 = ,解得 x= , 2 3 3 6-x

所以符合条件的点 P 有两个. 答案:两 二、解答题(共 55 分)

10.(15 分)如右图,BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分 别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H. 求证:(1)DG2=BG· CG; (2)BG· CG=GF· GH. 证明:(1)DG 为 Rt△BCD 斜边上的高, ∴由射影定理得 DG2=BG· CG. (2)∵DG⊥BC,∴∠ABC+∠H=90° , ∵CE⊥AB,∴∠ABC+∠ECB=90° , ∴∠ABC+∠H=∠ABC+∠ECB, ∴∠H=∠ECB. 又∵∠HGB=∠FGC=90° , ∴Rt△HBG∽Rt△CFG, ∴ BG GH = ,∴BG· CG=GF· GH. GF GC

11. 分)如右图, (20 已知在等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=DC, 过点 D 作 AC 的 平 行线 DE,交 BA 的延长线于点 E.求证: (1)△ABC≌△DCB;

(2)DE· DC=AE· BD. 证明:(1)∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AC=DB. ∵AB=DC,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. (2)∵△ABC≌△DCB, ∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB. ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC. ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC. ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB. ∴△ADE∽△CBD. ∴DE? BD=AE? CD. ∴DE· DC=AE· BD. ——探究提升——

12.(20 分)有一块直角三角形木板,如右图所示,∠C=90° ,AB=5 cm,BC=3 cm, AC=4 cm.根据需要,要把它加工成一个面积最大的正方形木板,设计一个方案,应怎样裁 才能使正方形木板面积最大,并求出这个正方形木板的边长. 解:如下图(1)所示,设正方形 DEFG 的边长为 x cm,过点 C 作 CM⊥AB 于 M,交 DE 于 N, 1 1 因为 S△ABC= AC· BC= AB· CM, 2 2

所以 AC· BC=AB· CM,即 3×4=5· CM. 12 所以 CM= . 5 因为 DE∥AB,所以△CDE∽△CAB. 12 -x 5 CN DE x 60 所以 = ,即 = .所以 x= . CM AB 12 5 37 5

如上图(2)所示,设正方形 CDEF 的边长为 y cm, 因为 EF∥AC,所以△BEF∽△BAC. 3-y y BF EF 12 所以 = ,即 = .所以 y= . BC AC 3 4 7 60 12 60 因为 x= ,y= = ,所以 x<y. 37 7 35 12 所以当按图(2)的方法裁剪时,正方形面积最大,其边长为 cm. 7


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