nbhkdz.com冰点文库

2.2.2 向量加减法


第二章

平面向量

2.2 平面向量的线性运算

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义

想一想 1.两个向量相加就是两个向量的模相加吗? 提示:不是.两个向量的和仍是一个向量,所以两个向 量相加要注意两个方面,即和向量的方向和模.

/>做一做
→ → → → → 1.化简AB+CA=________,AM+MB+BC=________.
→ 答案:CB → AC

想一想 2. 向量a,b是否为相反向量?

提示:不是.因为a与b的长度不相等.
想一想

3.若a-c=b-d,则a+d=c+b成立吗?
提示:成立,移项法则对向量等式适用. 做一做
→ → → 2.化简PM-PN+MN的结果是________.

答案:0

题型一

已知向量作和(差)向量

例1

如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.

【解】

→ 在平面内任取一点 O,作OA=a,

→ → OB=b,OC= c. → 由向量加法的平行四边形法则得OD=a+b;

→ → → 由向量的减法法则得CD=OD-OC=a+b-c. → 所以CD就是所要求作的向量 a+b-c(如图所示).

【点评】

求两个向量的和向量时,要注意向量加法的

三角形法则和平行四边形法则的应用.求两向量的差向 量时,有以下两种思路: (1) 可以转化为向量的加法来进 行,如a-b,可以先作-b,然后用加法法则计算 a+(- b) 即可. (2) 也可以直接用向量减法的三角形法则,即把

两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,
指向被减向量的终点的向量.

跟踪训练
→ 1.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长等于 1,AB=a, → → BC=b,AC=c,试作向量 a-b+c.

→ → → → 解: 延长 AB 至 F, 使|AB|=|BF|, 连接 CF, 由于BF=AB= → → → → → → → a,∴CF=a-b.a-b+c=CF+AC=AC+CF= AF.则AF即 为所求,如图.

题型二 例2

向量的加减法运算

化简下列各式: → → → → (1)(AB-CD )- (AC-BD ); → → → → (2)(AD -BM)+ (BC-MC).

【解】

→ → → → → → → → (1)(AB- CD )- (AC-BD )= AB+DC+CA+BD =

→ → → → → → (AB+BD )+ (DC+CA)=AD +DA= 0. → → → → → → → → → (2)(AD - BM ) + ( BC - MC) = AD + MB+ BC + CM = AD + → → → → → → → (MB+BC)+CM=AD + MC+CM=AD .

【点评】 进行向量的加减运算时,常用的变形如下: → → → → (1)运用AB =-BA 或AB +BA =0 化减为加. → → → (2)运用AB +BC =AC 转化为“首尾顺次相接的形式相加”.

→ → → → → → (3)运用OA -OB =BA 或AB =OB -OA 转化为“同一点出发的两个

跟踪训练
2.化简: → → → → (1)MN-MP+NQ-PQ; → → → → (2)BD +DC+ AB-AC.

→ → → → → → → → 解:(1)MN-MP+NQ-PQ= (MN+NQ)-(MP+PQ) → → =MQ-MQ=0.

→ → → → → → → → (2)BD +DC+AB-AC=(BD +DC)+(AB-AC) → → =BC+CB=0.

题型三 例3

用已知向量表示其他向量

如图,解答下列各题: → (1)用 a, d, e 表示DB; → (2)用 b, c 表示DB; → (3)用 a, b, e 表示EC; → (4)用 d, c 表示EC.

→ → → → 【解】 由题意知,AB= a,BC= b,CD = c,DE= d, → EA= e,则 → → → → (1)DB=DE+ EA+AB= d+ e+ a. → → → → → (2)DB=CB- CD =-BC-CD =- b- c. → → → → (3)EC=EA+ AB+BC= a+ b+ e. → → → → (4)EC=-CE=- (CD +DE)=- c-d.

【点评】

解此类问题要根据图形的几何性质,运用

向量的平行四边形法则和三角形法则解题.要特别注 意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.

跟踪训练
→ → → 3. 如图, 在矩形 ABCD 中,|AD |=4 3.设AB=a, BC= → b,BD =c,试求向量 a+b+c 的模.

解:如图过 D 作 AC 的平行线,交 BC 的延长线于 E, 则 DE∥ AC, AD∥ BE.∴四边形 ADEC 为平行四边形, → → → → ∴DE= AC,CE=AD . → → → → → → → → ∵ a+ b+ c= AB+ BC + BD = AC+ BD = DE +BD =BE → → → =AD + AD =2AD , → ∴ |a+b+ c|= 2|AD |= 8 3.

??? ? ? ???? ? o 练习3:如图,已知向量 AB ? a , AD ? b,?DAB ? 120 , ? ? ? ? ? ? 且 | a |?| b |? 3,求 | a ? b | 和 | a ? b |
C
O

D

? 120o ? a b
A

`

B

解:以AB 、AD 为邻边作平行四边形 ABCD , 由于 | AD |?| AB |? 3,故此四边形为菱形 由向量的加减法知 ? ? ? ? AC ? a ? b, DB ? a ? b ? ? ? ? 故 | AC |?| a ? b | , | DB |?| a ? b |
因为?DAB ? 120 O ,所以?DAC ? 60 O 所以?ADC 是正三角形,则 | AC |? 3
C
D
O

? b

120o A

`

? a

B

由于菱形对角线互相垂直平分,所以?AOD是直角三角形, ???? ???? 3 3 3 o | OD |?| AD | sin 60 ? 3 ? ? 2 2 ? ? ? ? 所以 | a ? b |? 3, | a ? b |? 3 3

练习4.判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由

1、 AB ? BA ? 0 2、 AB ? OA ? OB
4、若

( (

) ) )

3、相反向量就是方向相反的量 (

AB ? BC ? CA ? 0

,则A、B、C )

三点是一个三角形的定点 ( 5、 0?a ? a ( )

6、两个向量是互为相反向量,则两个向量共线 ( )



练习5
若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC的取值范围是_____.

解: ? BC ? AC ? AB , ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC ? AB ? 3 ? BC ? 13


2.2.2向量减法

2.2.2向量减法_数学_高中教育_教育专区。高一数学讲义 向量 2.2.2 向量的减法教学目标:理解相反向量及向量减法的概念;掌握向量减法与加法逆运算关系,并能正确作...

2.2.1向量加法

2.2.1向量加法_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 教学目标: 向量的加法运算及其几何意义 1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角...

2.2.2 平面向量的减法

了解相反向量的概念; 2.过程与方法:掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3.情感态度与价值观:通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法...

2.2.2向量的减法

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 1、类比“实数中的相反数”得到“相反向量”的概念; 学习目标 2、类比“实数中的减法运算” 将向量的减法运算转化成向量的...

2.2.2向量的减法

§ 2.2.2 向量的减法编写者: 审核者:高一数学组全体 (三)例题精讲 例 4.已知向量 a, b, c,求作向量 a-b+c。 一、学习目标 (1)理解相反向量的意义...

2.2.1向量加法运算及其几何意义(教学设计)

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章) 2.2.1 向量加法运算及其几何意义(教学设计) [教学目标] 一、知识与能力: 1. 掌握向量的...

2.2.1向量的加法及其几何意义

绍兴市柯桥区高中数学学科导学案 《必修 4》第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 【学习目标】 1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合...

2.2.1向量加法运算及其几何意义

2.2.1向量加法运算及其几何意义_数学_高中教育_教育专区。高一数学导学案编者:赵雪丽 学段:高中 学科:数学 顺序号:2 课题:2.2.1 向量加法运算及其几何意义 ...

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

、教学目标: 1、知识与技能: 掌握向量的加法运算, 并理解其几何意义; 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法 则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题...