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全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题


全国高中数学联赛江苏赛区 2005 年初赛试题
班级 __________ 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 姓名 __________

? ? ? 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后,得到的图像的解析式为: y ? sin( x ? ) ? 2 , 4 4
那么 y ? f ( x

) 的解析式为 ________ A、 y ? sin x B、 y ? cos x C、 y ? sin x ? 2 D、 y ? cos x ? 4

2.如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p、q ? N *) 的正根小于 3,那么这样的二次方程有 ________ A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个

3.设 a ? b ? 0 ,那么 a 2 ? A、2

1 的最小值是 ________ b(a ? b)

B、3

C、4

D、5

4.设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 ? 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四 边形,则这样的平面 ? ________ A、不存在 B、只有 1 个 C、恰有 4 个 D、有无数多个

5.设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an ? 2 ? 16an ?1 ? 63an , n ? N * ,则 a2005 被 64 除的余数为 ________ A、0 B、2 C、16 D、48

6.一条走廊宽 2 m,长 8 m,用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种 颜色的地砖都足够多) ,要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有 ________ A、 308 个 B、 30 ? 257 个 C、 30 ? 207 个 D、 30 ? 217 个

二、填空题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB ,且 2OA ? OB ? (7,9) ,则向量 OB ? ________ 2

8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n , a n 与 2 的等差中项 等于 S n 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为 ________ 9.函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是 ________ 10.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 ,点 E 、 F 、 G 分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点,那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 ________ 11.由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中,1、2、3 都至少出现 1 次,这样的 5 位数共有 ________ 12.已知平面上两个点集: M ? {( x, y) | | x ? y ?1| ? 2( x2 ? y 2 ), x, y ? R} ,

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ? R} ,若 M ? N ? ? ,则 a 的取值范围是 ________

三、解答题(第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点,直线 BM 交边 AC 于点 N ,且 AB 是 ?NBC 的外接圆的 切线,设

BC BM (用 ? 表示) . ? ? ,试求 BN MN
A

N M B D C

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) :对于任意实数 x1 , x2 , ?, xn ,当 ? xi ? 0 时,
i ?1

n

总有 ? xi xi ?1 ? 0 (其中 xn ?1 ? x1 ) .
i ?1

n

15.设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦;若 a 2 b2
为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ

在左准线上存在点 R , ?PR 使 Q 的斜率.

y
R
Q'

Q

M‘ P’ F P

M O

x

16. (1)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2005,求 n 的最小值并说明理由. (2)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2002 2005 ,求 n 的最小值说明理由.


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