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2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件6.1直线与圆


随堂讲义· 第一部分

知识复习专题

专题六 第一讲

解析几何 直线与圆

若直线、圆、椭圆单独命题则属于送分题,因为

高考题是在知识交汇点处命题,因此综合题是高
考题的特点,预测2015年高考直线与充要条件综 合,直线与圆、椭圆综合,以选择题、填空题的 形式出现

,也可能以解答题的形式出现.

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主干 考点 梳理

考点1

两直线平行与垂直

1.两直线平行.

(1)设直线l1,l2是两条不重合的直线,斜 率都存在,分别为k1,k2,则有 k1=k2 l1∥l2?________. (2)设直线l1,l2是两条不重合的直线,斜 l 1∥ l 2 率都不存在,则有________.
2.两直线垂直.

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(1)设直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1, k 1k2=-1 k2,则l1⊥l2? ________ .
(2)若直线l1,l2的斜率一个为0,另一个 l1⊥________ l2 斜率不存在,则 .

主干 考点 梳理

考点2 公式

两点间距离公式及点到直线的距离

1.两点间的距离公式.

点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 的 距 离 为 |P1P2| = ____ __________. (x2-x1)2+(y2-y1)2
2.点到直线的距离公式. 点 (x0 , y0) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d = ______________. |Ax0+By0+C| 3A .两条平行直线间的距离. 2+B2 平行线l1:Ax+By+ C1=0与l2:Ax+By+C2 =0间的距离d′=______________.
|C2-C1| A2+B2

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主干 考点 梳理

考点3

直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系及其判定.

(1)几何法.
设圆心到直线l的距离为d,圆的半径为r,则

直线与圆相离?________; d>r 直线与圆相切?________; d=r 直线与圆相交?________. d<r (2)代数法.

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主干 考点 梳理

? ?Ax+By+C=0, ? 消元后得一元二次方程的 ? ?(x-a)2+(y-b)2=r2

判别式Δ的值,则

Δ<0 ; 直线与圆相离?________
Δ=0 ; 直线与圆相切?________ Δ>0 . 直线与圆相交?________
2.圆与圆的位置关系. (1)几何法. 设两圆的圆心距为 d,半径分别为 r1,r2,则

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主干 考点 梳理

d>r1+r2 两圆外离?_______________ ;
d=r1+r2 两圆外切?_______________ ; |r1-r2|<d<r1 + r2 两圆相交?_______________ ; d=|r1-r2| 两圆内切?_______________(r1 ≠r2); 0≤d<|r1-r2| 两圆内含?___________________(r1 ≠r2).
(2)代数法.
? ?(x-a1)2+(y-b1)2=r21, ? 则 ? ?(x-a2)2+(y-b2)2=r22,

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外离或内含 ?方程组无解; 两圆______________

主干 考点 梳理

外切或内切 两圆___________ ?方程组有一组实数解;

两圆________?方程组有两组不同的实数解. 3.设空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 A , B 两 点 间 距 离 为 d =

相交

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(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2- z1)2 _______________________________ .

主干 考点 梳理

考点自测
1 . 直线 l 过点 ( - 1 , 2) 且与直线 3x + 2y = 0 垂直,则l的方程是( D )

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

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2 2 解析: 由题可得 l 斜率为 ,∴l:y-2= (x+1), 3 3 即 2x-3y+8=0 .故选 D.

主干 考点 梳理

2. (2014· 北京卷)已知圆C:(x-3)2+(y-
4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若 圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最 B 大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4

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解析: 由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,
以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以

只要两圆有交点即可,所以m-1=5.故选B.

主干 考点 梳理

3.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=
9的位置关系为 B ( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 4.(2014· 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,

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直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的
弦长为________.

2 55 5

主干 考点 梳理 解析: 圆(x-2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C(2,-

1),半径为 r=2,点 C 到直线 x+2y-3=0 的距离 |2+2×(-1)-3| 3 为 d= = ,所求弦长为 l = 5 12+22 2 r2-d2=2 9 2 55 4- = . 5 5

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高考 热点 突破

突破点1

直线的倾斜角、斜率、距离问题

例 1(2014· 安徽卷)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( D)
? π? A.?0, ? 6? ? ? π? C.?0, ? 6? ? ? π? B.?0, ? 3? ? ? π? D.?0, ? 3? ?

栏 栏 目 目 链 链 接 接

高考 热点 突破

解析: 如右图,要使过点 P 的直

线 l 与圆有公共点, 则直线 l 在 PA 与 1 PB 之间,因为 sin α= ,所以 α= 2

π π ,则∠AOB=2α= ,所以直线 l 6 3
? π? 的倾斜角的取值范围为?0, ? . 故选 3? ?

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D.

高考 热点 突破

规律方法

对斜率的取值范围有正有负的情况, 要注意分 段.如直线斜率的范围是[-1,1],则倾斜角的取
? π? ?3π ? ? π π? 值范围是?0, ?∪? ,π?,而不是?- , ?. 4? ? 4 ? ? ? 4 4?

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高考 热点 突破

?跟 踪 训 练

1.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y

+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是
①⑤ 写出所有正确答案的序号). ________(

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①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°

高考 热点 突破

解析: 本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平

行线间的距离,考查数形结合的思想. |3-1| 2 1 两平行线间的距离为 d= = 2, = 所以直线 m 2 2 2 1+1 与 l1 的夹角为 30°, l1 的倾斜角为 45°, 所以直线 m 的 倾斜角等于 30°+45°=75°或 45°-30°=15°.

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高考 热点 突破

突破点2

两直线的位置关系

例2“a=-1”是“直线ax+(2a-1)y+1
=0和直线3x+ay+3=0 垂直”的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

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D.既不充分也不必要条件

高考 热点 突破 思路点拨: 本题可以根据两直线垂直的充要条件来解决.

解析: 若直线ax+(2a-1)y+1=0和直线 3x+ay+3=0垂直,则a×3+(2a-1)×a =0.
解得a=0或a=-1. 故a=-1是两直线垂直的充分不必要条 件.

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高考 热点 突破

规律方法
两条直线a1x+b1y+c1=0和a2x+b2y+ c2=0平行的充要条件为a1b2-a2b1=0且 a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1,垂直的充要条件为 a1a2+b1b2=0,要熟练掌握这一结论.

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高考 热点 突破

?跟 踪 训 练

2.当a为何值时,(1)直线x+2ay-1=
0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行?(2)直线2x +ay=2与直线ax+2y=0垂直?

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高考 热点 突破

3a-1 -a -1 解析: 解法一 (1)当 a≠0 时,由 = ≠ 知 1 2a - 1 3a-1≠1, ? ? 1 两直线平行, 解方程组? 当 a=0 时, 1 得 a=6, 3a-1=- , ? 2 ? 两直线方程分别为 x-1=0 和 x+1=0,显然平行. 1 故当 a=0 或 时,两直线平行. 6

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高考 热点 突破

2 ? a? (2)当 a≠0 时,由两直线垂直知- ·?-2?=-1,但 a ? ? 此方程无解,因此两直线不可能垂直. 当 a=0 时,两直线分别为 x=1 和 y=0, 显然这两条直线垂直,故只有当 a=0 时,两直线垂 直. 解法二 (1)若两直线平行, 则 1×(-a)=2a×(3a-1)且 1×(-1)≠(3a-1)×(- 1 1),解得 a=0 或 a= . 6 (2)若两直线垂直,则 2×a+a×2=0,∴a=0.

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高考 热点 突破

突破点3
例3

圆的方程
在平面直角坐标系xOy中,设二次函

数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有 三个交点,经过这三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围.
(2)求圆C的方程. (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)? 请证明你的结论.

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高考 热点 突破

解析: (1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0, b). 令f(x)=0,得x2+2x+b=0.

由题意应有b≠0且Δ=4-4b>0.
∴b<1且b≠0, 即b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1). (2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0.

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这与x2+2x+b=0是同一个方程,
∴D=2,F=b.

高考 热点 突破

令 x = 0 ,得 y2 + Ey + F = 0. 此方程有一个根为 b.∴b2+E· b+F=0. 而 F=b,∴E=-b-1. ∴圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圆 C 过定点(0,1)和(-2,1),证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 不依赖于 b),将 该点的坐标代入圆 C 的方程并变形为

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高考 热点 突破
x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0. 为了使上述方程对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立,必
? ?1-y0=0, 须有? ? ?x20+y20+2x0-y0=0, ? ?x0=0, ? ?x0=-2, 解得? 或? ? ? ?y0=1 ?y0=1.

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经验证:点(0,1),(-2,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过 定点.

高考 热点 突破 规律方法

求圆的方程一般有两种方法:
(1)几何法,通过研究圆的性质、直线与圆、

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圆与圆的位置关系 ,进而求得圆的基本量和方
程. (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程, 再由条件求得各系数.

G 高 考热点 突 破

? 跟踪训 练 3.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y- 7)2=4,从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆 周C的最短路程是 ________. 8 解析 由反射定律得点 A(-1,1)关于 x 轴的对称点 B(-1,
-1)在反射光线上,当反射光线经过圆心时,最短距离为 |BC|-R= (5+1)2+(7+1)2-2=10-2=8.
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G 高 考热点 突 破

突破点4 直线与圆的位置关系
例 4 已知 m∈R,直线 l:mx-(m2+1)y=4m 和圆 C:x2+y2-8x+4y+16=0. (1)求直线 l 的斜率的取值范围. 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两 2 段圆弧?为什么?
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G 高 考热点 突 破

m (1)由直线 l 的方程得其斜率 k= 2 . m +1 若 m=0,则 k=0. 1 1 1 若 m>0,则 k= ≤ = , 1 1 2 m+ m 2 m· m 1 ∴0<k≤ . 2 1 1 若 m<0,则 k= =- 1 1 m+ -m+ m -m ≥- 2 1 =- , 2 ? 1 ? ? ? (-m)· - m ? ? 1

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G 高 考热点 突 破

? 1 1? 1 ∴- ≤k<0.综上所述,k∈?-2,2?. 2 ? ?

(2)圆 C 方程变为:(x-4)2+(y+2)2=4. 其圆心 C(4,-2),半径 r=2. 圆心 C 到直线 l 的距离 2(m2+1) 2(m2+1) d= 2 . 2 2= 4 2 m +(m +1) m +3m +1 设直线 l 被圆 C 所截弦对的圆心角为 α. m +1 α d 1 则 cos = = 4 = 2 2 r m +3m +1 2
2

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4m4+8m2+4 m4+3m2+1

G 高 考热点 突 破

1 = 2

3m4+5m2+3 1 1+ 4 > . m +3m2+1 2
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α π 2 ∴ < ,α< π. 2 3 3 1 故直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆 2 弧. 误区警示:本题极易出现没有对 m 讨论或讨论不全 面的错误.

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规律方法 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法. 1 (2)本题还体现转化的思想: 将弧长之比为 转化为圆心角 2 2 能否等于 π解决,这样问题就变得较清楚明了. 3
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? 跟踪训 练 4.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数a的取值范围是 ( C A.[-3,-1] )
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B.[-1,3]

C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

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小结反思
1.涉及直线的斜率时应注意斜率为0及斜率不 存在两种特殊情况. 2.两条直线平行或垂直的条件应根据直线方程 的形式加以正确选择. 3.通常将直线与圆、圆与圆的位置关系转化为 相应的数量关系进行讨论.
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4.直线与圆、圆与圆的交点问题转化为二元二
次方程组来解决问题.

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5.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充 要条件是D2+E2-4F>0. 6.重视求直线方程及圆的方程时待定系数
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法的应用.
7.解题时注意数形结合思想的应用.


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