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2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案

时间:2012-04-01


2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 (考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

a2011 ?

1. 设数列 {an } 满足 a1 .

? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an

?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... ,则

答案:8041. 由题意, a 2 ? a1 ? 3 , a3 ? a 2 ? 5 ,且 an ? an ?1 ? an ?2 ? an ?3 (n ? 4). ∴ a 2 n ? a 2 n ?1 ? 3 , a 2 n ?1 ? a 2 n ? 5 n ? N ∴ a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? 8 , ∴ a2011 ?
1005 k ?1

?

*

?.

? (a

2 k ?1

? a2 k ?1 ) ? a1 ? 1005 ? 8 ? 1 ? 8041 .
2

2. 不等式 sin x ? a cos x ? a ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围 为 . 答案: a ? 1 或 a ? ?2 .
2

由题意, a cos x ? a ? cos x ? cos x ,即 cos x ? ?1 ? a ? cos x ? a ? 0 对 ?x ? R 成
2 2

2

2

立.

令 f ? t ? ? t ? ?1 ? a ? t ? a (?1 ? t ? cos x ? 1).
2 2

? f ?1? ? 0, ?1 ? ?1 ? a ? ? a 2 ? 0, ? ? ∴? ?? 2 ? f ? ?1? ? 0. ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0. ? ? 解得 a ? ?2或a ? 1 .
3. 已知定义在正整数集上的函数 则

f (n) 满足以下条件: f (3) ? 6 .

(1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数;(2)

f (2011) ?

. ① ② ③

答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ?m ? 1? ? f ?m? ? f ?1? ? m . 令 m ? n ? 1得, f ?2? ? 2 f ?1? ? 1 .

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ? 3? ? f ? 2 ? ? f ?1? ? 2 . 由③②得, f ?1? ? 1, f ? 2 ? ? 3 . 代入①得, f ? m ? 1? ? f ? m ? ? m ? 1. ∴ f (2011) ?
2010 k ?1 2010 k ?1

? [ f (k ? 1) ? f (k )] ? f (1) ? ? (k ? 1) ? 1

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011 2011 ? 2012 ? ? 2023066 . 2 4. 方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011
一共有 个解. 答案:4. 方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ;
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方程 方程

x ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ? 14 ;
x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

一般地,方程 ?

x ? 1 ? 2 ? ? n ? n( n ? 2) 的所有解为

x??

n(n ? 1) n(n ? 3) . 或? 2 2

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的棱长最 大等于 . 答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, 所以, 3a ? 20(a ? N ) ,即 a ?
*

20 3(a ? N * ) ,∴ a ? 11 ,即 amax ? 11 . 3 2 6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能接
. 答案:

触到杯底的球的半径最大是

1 2

.

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r , 由?

? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 2 y?x ? ?
2

由题意,方程 x ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解. ∴ x 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ? 7. 计算:

1 . 2

1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 1 答案: . sin1? 1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ?

? ?

1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ?

1 ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? . ? sin1? ? 89 1 1 1 原式 ? ? . ? cot k ? ? cot(k ? 1)? ? ? ? cot 45? ? cot 90?? ? sin1? sin1? k ? 45 sin1?
8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜 色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 答案:1530. 推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 a n , 则 a3 ? 6 , a 4 ? 18 , a n ?1 ? 2a n ? 6?n ? 3? . ∴ a10 ? 12 ? 2 ? 6 ? 1530 .
7

从而, a n ?1 ? 6 ? 2?a n ? 6? ? a n ? ?a3 ? 6? ? 2

n ?3

?6.

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二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 的最小值.

1 1 1 ? ? ... ? n ?1 n ? 2 2n

1 1 1 37 ? ? ? . 4 5 6 60 1 1 1 37 假设 n ? k ?k ? 3? 时, ? ? ... ? ? . k ?1 k ? 2 2k 60 则当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 37 ? . ? ? ? ... ? ? ? ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 k ? 2 2k 60 37 因此,所求最小值为 . 60
解:当 n ? 3 时, 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成 三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开始时的线段 为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1. 1 ? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ?y? , ? 2 ? 1 ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? y ? x ? , ? 2 ? 1 ? ?x ? . ?? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x 2 ? 如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y ? 面积为

1

,y?x?

1

和 x?

1

围成的三角形,

2
1 8
,而整个区域的面积为

2

2

1 2

(因为 y>x).



1? ? ? ? 1 2? 2 2? P(成功) ? ? . 1 2

1?1

?1 ? 1?

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是

3. (本小题满分 20 分)数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0 ,当 n ? 3 时有

1 . 4

an ?

2 n (a0 ? a1 ? ... ? an? 2 ) . 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10 a ( . ) 证 法 1 : 由 已 知 得 (n ? 1) n ? 2a0 ? a 1 ? .?.an ? 2 , 在 上 式 中 以 n ? 1 代 替 n 得 nan?1 ? 2(a0 ? a1 ? ... ? an?1 ) ,

两式相减得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2an ?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立.

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an ,则 n(n ? 3)bn ?1 ? (n ? 1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn ?1. n?2 b? 由 于 n( n 3 )? ( ? 1 ) ( ? n n? ? ) n 2, 故 1n)1 应 在 bn 与 bn ?1 之 间 . 由 于 2 ?( 2 1 1 1 1 a3 ? 1, a4 ? ,故 b3 ? , b4 ? . 因此当 n ? 3 时,均有 bn ? [ , ] , 3 5 9 9 5 n?2 n 故 an ? (n ? 2)bn ? ? ,证毕. 9 10
设 bn ? n+2 ?n ≥ 3?. 10 5 2 6 1? 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ ,a = ≥ .结论成立. 10 4 3 10 证法 2:用归纳法证明加强命题:an ≥ 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, 2 2 an + 1 = ?a0 + a1 + ? + an-1? = ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? n n ?n + 6??n-3? 2 5 6 n+1 2 > ?1 + + + ? + ?= ?1 + ? n 10 10 10 n 20 2 2 n + 3n + 2 n+3 = > . n 20 10 所以结论对 n + 1 时亦成立. n+2 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ ?n ≥ 3? 成立. 10 n+2 n 因此 an ≥ > ?n ≥ 3? 成立. 10 10 从而本题得证.

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